『今週の問題』

『今週の問題』第71回　解答

◆愛知県の中学校３年生　ゆうきリンリンさんからの解答

【問題１】

長針がどれかの目盛りを差していると言う事は、ちょうど数時間前には短針がその目盛りにいたと言う事です。

短針は1分で0,5°進みます。
そして、長針と短針の間の角度は40°です。
と言う事は『40/0,5』で80分前には短針は今の長針の位置にいた事になります。

そして、長針が今の位置から20分戻ったところが「12」の位置です。
すると、80分前にはあの時計は4時を差していた事になります。

そこから80分を足せば今の時刻「5時20分」が割り出せます。

【問題２】

数分前という事は、短針は1分で0,5度戻り、長針は1分で6度戻ります。
今の長針がある目盛りが角度を2等分するのですから、式は

40－0,5ｘ＝6ｘです。

これを解くと、

ｘ＝ 80
13 分で、 80
13 分前に、

2つの針の間の角度は今長針がある目盛りで2等分されます。

◆広島県　清川　育男さんからの解答

【問題１】

時針は０．５°／分、分針は６°／分回転する。

問題は分針が先行して、差が４０°の状態である。

６－０．５＝５．５＝１１／２。

（１１
２）°／分、差をつめる。

１１時　３３０°
１０時　３００°
　９時　２７０°
　８時　２４０°
　７時　２１０°
　６時　１８０°
　５時　１５０°
　４時　１２０°
　３時　　９０°　
　２時　　６０°

このなかで４０°引いたものが１１の倍数であるのは、

５時　１５０－４０＝１１０　だけである。

１１０÷ １１
２＝２０

したがって題意を満たす時刻は５時２０分である。

答え　５時２０分。

【問題２】

求める時刻が５時Ｘ分とする。

１５０＋０．５Ｘ－１２０＝１２０－６Ｘ

６．５Ｘ＝９０

Ｘ＝１８０
１３

答え　５時１８０
１３分

【問題３】

求める時刻は時針、分針、秒針が１２０°で３等分に分割するときであるが、これは不可能である。

時針と分針の差が１２０°になるのは、４時と８時である。
近似状態は
３時５９分～４時１分か７時５９分～８時１分の間にある。

プログラムを組んで検索しました。

14380
  118  120.166666667823  119.833333332177  119.333333333333

28760
  116.333333339283  119.666666660717  120  118.666666666667

１４３８０秒　３時５９分４０秒

答え　３時５９分４０秒

  DIM A(3)
  LET  C=0
  LET  X=-0.1
  LET  Y=-0.5/60
  LET  Z=-6
  FOR I=0 TO 43200  
     LET  X=X+0.1
     LET  Y=Y+0.5/60
     LET  Z=Z+6
     IF X>360 THEN LET  X=X-360
     IF Y>360 THEN LET  Y=Y-360
     IF Z>360 THEN LET  Z=Z-360
     IF I>=13340 AND I<=14460 THEN
        LET  KA1=X-Z
        LET  KA2=Z-Y
        IF (KA1>117 AND KA<123) AND (KA2>117 AND KA2<123) THEN
           LET  C=C+1
           PRINT I;KA1;KA2;Y;(KA1+KA2+Y)/3
        END IF
     END IF   
     IF I>=28740 AND I<=28860 THEN
        LET  KA1=X-Y
        LET  KA2=Y-Z
        IF (KA1>116 AND KA<124) AND (KA2>116 AND KA2<124) THEN
           LET  C=C+1
           PRINT I;KA1;KA2;Z;(KA1+KA2+Z)/3
        END IF
     END IF
  NEXT I 
　END

◆石川県　平田　和弘さんからの解答

【問題１】

長針と短針の角度が40度でかつ長針がどこかの目盛りをちょうどさしていたとすると、
1目盛りの角度は360÷12＝30度なので、短針と目盛りの角度が
40－30＝10度になります。

短針が10度進むには
10÷30＝1/3時間＝20分かかります。

ここで、長針が0の状態のある時刻から20分進んだときに長針は4の目盛りをさしていて、このとき長針と短針の角度が40度になるには短針が5の目盛りから10度(即ち20分)進んだところにあればよいことがわかります。

要するに5時ちょうどの状態から20分たつと題意を満たす状態になります。

よって現在の時刻は5時20分となります。

【問題２】

問題１より4の目盛りをはさんで長針と短針が同じ角度という条件で求めてみます。

長針は1分間に360÷60＝6度進み、
短針は1分間に30÷60＝1/2度進みます。

□分後題意を満たす状態になったとして、
短針と4の目盛りとの角度は□分後、
　30＋1/2×□となり、
長針と4の目盛りとの角度は□分後、
　120－6×□となるので

30＋1/2×□＝120－6×□　を解いて、

□＝90× 2
13 ＝ 180
13 ＝13＋ 11
13

答えは、

5時 180
13 分＝5時13 11
13 分となります。

◆福岡県　管原康起さんからの解答

【問題１】

答えは5時20分です。
長針と短針の作る角度が40度なので、長針と短針が40度となるのは5時20分と6時40分の二つ
しかし、問題の図のようになるのは5時20分のみ

出し方は、長針は1分間で６度動く。
短針は１時間で３０度、１分間で２分の１度動く。

また、長針はちょうど目盛りを指していたのだから
角度は３０ｎ度（ｎ＝１，２，３、・・・、１２）である。

このことから、ｘ時ｙ分にちょうど４０度になるとすると、長針は１２の目盛りのところから
６ｙ度の角度を作り、

短針は

（３０ｘ＋ 1
2 ｙ）度の角度を作っている。

これらの事から

|長針の作る角度－短針の作る角度|＝４０

長針の作る角度＝３０ｎ
（ｎ＝１，２，３、・・・、１２）

を充たす整数ｘ、ｙを探せばよい。

つまり、

|6y-(30x + 1
2 y)|=40

6y = 30n (n=1,2,・・・12)

の２式を充たす整数ｘｙを求める。
このことから、(x,y)=(5,20)(6,40)がでてくる。

【問題２】

答えは　５時１８０
１３分です。

問題１の解よりx分前が等しい角ができる時間とする。
このとき、

40－ x
2 ＝6x

これを解くと、x= 80
13

つまり、５時２０分の 80
13 分前が求める時間となる。

◆大阪府　mitsu さんからの解答

【問題１】

長針が１から１２のどれかを指しているので，求める時刻は５分刻みのいづれかです．

短針は，１時間に３０度(３６０割る１２)，５分で２．５度(３６０割る１２割る１２)進みます．
長針と短針のなす角度が４０度ですから，３０度刻みで量った余分(１０度)は，５分刻みで４回分(１０割る２．５)になります．

ということは，ｘｘ時２０分または４０分のとき，短針は文字盤の１から１２のどれかの場所から，１０度ずれていることになります．

長針が２０分，４０分を指しているときに，短針が長針と４０度離れているのは，５時と６時の間，６時と７時の間です．

したがって，求める時刻は，５時２０分，６時４０分になります．

【問題２】

数分前に角度が等しくなるのですから，長針より短針のほうが進んでいる時刻になります．
ということは，５時２０分の数分前ということになります．

また，５時２０分をはさんで，短針と長針のなす角度が等しいということは，文字盤の１２のところから測った短針と長針の角度の合計が，５時２０分(１２０度)の倍で２４０度になるということになります．

５時２０分のときの，長針は１２０度，短針は１６０度(１２０たす４０)ですから，その合計は２８０度です．

短針は１分で０．５度(３６０割る６０割る６０)，長針は１分で６度(３６０割る６０)進みますから，１分戻るごとに６．５度ずつ合計の角度が減っていきます．

減らしたい角度は４０度(２８０度ひく２４０度)ですので，(４０割る６．５)分だけ戻れば，題意に適します．

したがって，５時２０分から

８０
１３分(４０割る６．５)をひいて，

５時１３１１
１３分となります．

◆東京都　ぴかさんからの解答

【問題１】

５時２０分

【問題２】

５時１８０
１３分

【おまけの問題】

わかりやすいように，この時計は，

秒針は１秒ごと動くのではなく連続的に動く．
（そういう時計もありますよね）
秒針・長針・短針は正確に連動して動く．
（おもちゃの時計のように１針だけ好き勝手に動かせるものではないとする）
秒針・長針・短針は正確な位置にセットしてある．
（00:00:00にきちんと３針がぴったり目盛りの「１２」の位置にあるようにセットする）

このとき，次の点に注意する．

３針は常に連動して動いていて，例えば，長針と短針の相対的な位置（両者のなす角）を決めてしまうと，秒針の（相対的な）位置は勝手に決めることはできない．

まず，長針と短針が重なる場合を考える．この時の時刻の計算を実際しようと思ったが，すでに「時計に関する問題」の中で解答があったので結果だけ表にすると，(^^)

時刻秒針と長針・短針
のなす角（度）

１時６０／１１分１４４０／１１

２時１２０／１１分２８８０／１１

３時１８０／１１分３６０／１１

４時２４０／１１分１８００／１１

５時３００／１１分３２４０／１１

６時３６０／１１分７２０／１１

７時４２０／１１分２１６０／１１

８時４８０／１１分３６００／１１

９時５４０／１１分１０８０／１１

１０時６００／１１分２５２０／１１

１２時０

これを見てわかるように，長針と短針が重なる場合，許される（長針・短針からの）秒針の相対的位置は，離散的に（しかも等方的に）たった１１通りしか存在しない．
例えば，長針と短針が重なる場合，それから９０度の位置に秒針が存在することはありえない．
（そういう時刻は存在しない）

次に，長針と短針が任意の角をなす場合を考える．
この時も許される（長針・短針からの）秒針の位置は，離散的にたった１１通りしか存在しない．
なぜなら，例えば長針が短針に（時計まわりに）先行してａ度をなす場合，

ａ－６ｘ＝－ｘ
２ →　ｘ＝２ａ
１１　 (*)

より，２ａ
１１分前には長針と短針が重なり，

このときの秒針の位置は，上の表の１１通りの中のどれかであり，

２ａ
１１分後は上の表の秒針の位置から

２ａ
１１分後の位置にしか存在しないからである．

以上のことをふまえて，おまけの問題を考える．
（正三角形をつくるのは３針がそれぞれ１２０度をなしているってことなんだろうか．）

いま，時計方向に長針が短針に先行して１２０度，さらに秒針が長針に先行して１２０度の位置関係(**)にあるとする．
すると，(*)より

２４０
１１＝２１＋９
１１分前は

長針と短針が重なり，秒針は，

２４０－９
１１Ｘ３６０＋２４０
１１Ｘ１
２

＝－４８０
１１

－４８０
１１＋３６０＝３４８０
１１

より，長針・短針に先行すること

３４８０
１１度の位置(***)になければならない．

ところが，上の表より秒針がこの位置にくることはない．
よって３針が(**)の位置関係になることはない．

一番正三角形に近づく時刻は，実際は３針が連動して動くので，どのようにこれを定義すればいいのかよく分からなかったが，以下のように計算してみた．

秒針の位置が上の表と(***)とで最も近い

８時４８０
１１分に注目する．

この時刻から，

２４０
１１分後の９時６０
１１分に

長針と短針は正確に１２０度をなす．

しかしこのとき秒針は正確な正三角形の状態より，

３６００
１１－３４８０
１１＝１２０
１１度

だけ時計まわりに先行している．

この間の時間

１２０
１１ｘ１
３６０＝１
３３分間（約２秒）は，

長針も短針もほとんど動かないと考えてもいい．

よって最も正三角形に近づく時刻は，

９時６０
１１分－１
３３分＝９時１７９
３３分頃

（だいたい９時５分２５秒頃）である．

もう１つの組み合わせについてもたぶん同様にしてできるので省略．

【コメント】

おまけの問題は，もっと単純に
00:00:00からｘ秒後の秒針・長針・短針の「１２」からの絶対的位置をそれぞれ，

ｘ
120 ，ｘ
10 ，6ｘ (mod.360)

とおいて，直接

ｘ
120 ≡ ｘ
10 －120≡6ｘ－240 (mod.360)

などとして解けばいいのかもしれないけど，どうやってこれを解けばいいのかわからなかったので，上のような方法にしてみました．

◆東京都　小林　祐介さんからの解答

【おまけの問題】

時針をh、分針をm、秒針をsとする。

午後8：00の時点では
hm=120°,ms=0°である。
（時計回りに記号間の角度をとったものとする）

12/11時間後ごとに時計の時針と分針は同じ角度をなす。

このとき
8＋12/11時＝9時60/11分＝9時5分300/11秒となるので
hm=120°,ms=1440/11°

秒針は12/11時間ごとに300/11秒分先に進んだ位置に存在し、
msは1440/11°ずつ大きくなっていく。

このことから

　8+12/11時にはms=1440/11°
　8+24/11時にはms=2880/11°
　8+36/11時にはms=360/11°
　8+48/11時にはms=1800/11°
　8+60/11時にはms=3240/11°
　8+72/11時にはms=720/11°
　8+84/11時にはms=2160/11°
　8+96/11時にはms=3600/11°
　8+108/11時にはms=1080/11°
　8+120/11時にはms=2520/11°となる。

この中で120°=1320/11に最も近いのは
8+12/11時

以下この時刻付近の角度の変化を調べてみる。

9時5分からt秒経過したときのh,m,sの位置はそれぞれ

　h:272.5+1/120t
　m:30+1/10t
　s:6t となる。

ここでms=shとなる時刻Ｔを考えてみる。

このときhm＜120°ms=sh＞120°

ここから⊿t、時間が経過したとすると
hmとshは120°に近づくがmsが120°から遠ざかってしまう。

逆に⊿t、時間を遡るとmsは120°に近づくが
hmとshが120°から遠ざかってしまう。

よってms=shの時が最も正三角形に近づくときで、

　6t-(30+1/10t)=272.5+1/120t-6t

　t=36300/1451

答：9時5分36300/1451秒

◆東京都　You.O さんからの解答

【おまけ】

時計の長針・短針・秒針は１分間にそれぞれ６°，０．５°，３６０°進む。

したがって、時計の長針と短針、長針と秒針、短針と秒針がなす角度は１分間にそれぞれ
５．５°，３５４°，３５９．５°ずつ大きくなる。

３つの針の先が正三角形の頂点となるとき、長針と短針、長針と秒針、短針と秒針がなす小さいほうの角はいずれも１２０°となっている。午前０時から正午までの間に長針と短針がこの角度をなす時刻を午前０時から数えてｐ分後とすると、

５．５×ｐ＝３６０×ｎ±１２０（ｎは整数）

したがって、
ｐ＝（３×ｎ±１）×２４０
１１
０≦ｐ＜７２０とすると
ｐ＝２４０
１１，４８０
１１，９６０
１１，１２００
１１，・・・，７４４０
１１，７６８０
１１
これらの中に、長針と秒針がなす小さいほうの角が１２０°となるような時刻、すなわち

３５４×ｐ＝３６０×ｍ±１２０

を満たす整数ｍが存在するような時刻はない。

よって、３つの針の先が正三角形の頂点となるような時刻は存在しない。

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時刻	秒針と長針・短針のなす角（度）
１時６０／１１分	１４４０／１１
２時１２０／１１分	２８８０／１１
３時１８０／１１分	３６０／１１
４時２４０／１１分	１８００／１１
５時３００／１１分	３２４０／１１
６時３６０／１１分	７２０／１１
７時４２０／１１分	２１６０／１１
８時４８０／１１分	３６００／１１
９時５４０／１１分	１０８０／１１
１０時６００／１１分	２５２０／１１
１２時	０

『今週の問題』第71回 解答

『今週の問題』第71回　解答