タングラム問題の解答例です。
タングラム問題の解答例です。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題２−１】
１，４，７，１０，．．，３ｎ−２ ｎは自然数
(３ｎ−２)2
＝９ｎ2−１２ｎ＋４
＝３(３ｎ2−４ｎ＋１)＋１
したがって、３で割ると１余る。
【問題２−２】
２，５，８，１１，．．，３ｎ−１ ｎは自然数
(３ｎ−１)2
＝９ｎ2−６ｎ＋１
＝３(３ｎ2−２ｎ)＋１
したがって、３で割ると１余る
問題２−１、問題２−２から平方数は、
３ｋか３ｋ＋１の形のいずれかになる。
【問題２−３】
a,bがともに３の倍数でないとすると、
a2,b2は
3k+1,3k'+1となる。
(3k+1)+(3k'+1)=3(k+k')+2
3(k+k')+2は平方数にならない。
したがって、a,bの少なくとも一つは３の倍数となる。
【問題３−１】
問題２と同様に平方数を４の剰余で考える。
(４ｎ−３)2
＝１６ｎ2−２４ｎ＋９
＝８(２ｎ2−３ｎ＋１)＋１
(４ｎ−２)2
＝１６ｎ2−１６ｎ＋４
＝８(２ｎ2−２ｎ)＋４
(４ｎ−１)2
＝１６ｎ2−８ｎ＋１
＝８(２ｎ2−ｎ)＋１
a,bがともに４の倍数でないとすると、
a2+b2は
8k+2,8k,8k+5となる。
(8kの場合 a,b,は互いに素という条件があった方がいいのではないでしょうか？)
8k+2,8k+5は平方数にならない。
したがって、a,bの少なくとも一つは４の倍数となる。
問題２−３より、
a×bは１２の倍数になる。
【問題３−２】
平方数を５の剰余で考える。
(５ｎ−４)2
＝２５ｎ2−４０ｎ＋１６
＝５(５ｎ2−８ｎ＋３)＋１
(５ｎ−３)2
＝２５ｎ2−３０ｎ＋９
＝５(５ｎ2−６ｎ＋１)＋４
(５ｎ−２)2
＝２５ｎ2−２０ｎ＋４
＝５(５ｎ2−４ｎ)＋４
(５ｎ−１)2
＝２５ｎ2−１０ｎ＋１
＝５(５ｎ2−２ｎ)＋１
5k+1,5k+4
a,b,cの少なくとも一つが５の倍数。
a,b,cに５の倍数が一つもないと仮定すると、
a2+b2は、
5k+2,5k+3,5k
cは矛盾する。
したがって、a,b,cの少なくとも一つは５の倍数となる。
よってa×b×cは６０の倍数になる。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１の回答】
上から順に以下の操作を行う。
ピンク…半時計軸方向に 90度回転 黄 色…半時計軸方向に180度回転 緑 …鉛直下方向に平行移動 赤 …半時計軸方向に270度回転、 鉛直下方向に平行移動 水平左方向に平行移動 青 …鉛直下方向に平行移動これにより、直角三角形の直角をはさむ辺を一辺とする正方形2つの面積の和が斜辺を一辺とする正方形の面積に等しい事がわかる。
【問題２−１の回答】
余りは1
1,4,7,.....は一般式では
3×n+1[n=0,1,2,3,...]
と表記される。
(3×n+1)2
=9×(n2)+6×n+1
=3×{3×(n2)+2×n}+1
であるから余りは1である。
【問題２−２の回答】
余りは1
2,5,8,.....は一般式では
3×n-1[n=1,2,3,...]
と表記される。
(3×n-1)2
=9×(n2)-6×n+1
=3×{3×(n2)-2×n}+1
であるから余りは1である。
【問題２−３の回答】
a,bのいずれも3で割りきれないと仮定する。
a=3×m±1
[1の係数が正の場合はm=0,1,2,3,...、負の場合はm=1,2,3,...]
b=3×n±1
[1の係数が正の場合はn=0,1,2,3,...、負の場合はn=1,2,3,...]
よって
a2+b2
={9×(m2)±6×m+1}+{9×(n2)±6×n+1}
=3×{3×(m2)±2×m+3×(n2)±2×n}+2
となり、
a2+b2は3で割ると2余る数である。…(1)
ところで、
a2+b2=c2であり、
c2は【問題２−１】【問題２−２】より、3で割り切れる数か、3で割ると1余る数でなくてはならない。 …(2)
(1)と(2)は互いに矛盾するので
‘命題：a,bいずれも3で割りきれない’は誤りである。
よってa,bのいずれかは3の倍数である。
【問題３−１の回答】
(命題1)
a,bのいずれかは4で割りきれる。
(命題1の証明)
a,bのいずれも4で割りきれないと仮定する。
a,bは以下のいずれかの式で表現される。
4×n±1,4×n+2
[n=0,1,2,3,...(4×n-1の時はn=1,2,3,...)]
よって、a2,b2は
(4×n±1)2=16×(n2)±8×n+1…(1)
(4×n+2)2=16×(n2)+16×n+4 …(2)
(step1)
a,bが同時に4×n±1で表現されることはない。
a,bともに4×n±1で表されるならば
a2+b2は8で割ると2余る数である。
8で割ると2余る数は一般に
8×p+2で表される。[p=0,1,2,3,...]
この数(偶数)が平方数であれば、偶数の平方で表されるので
8×p+2=(2×q)2 [q=1,2,3,...]
であり、
4×p+1=2×(q2)
1=2×(q2)-4×pを得る。
左辺が奇数、右辺が偶数となる。
よって、8で割ると2余る数は平方数でない。
a,bともに4×n±1で表される事はない。
(step2)
a,bが同時にa=4×n±1,b=4×n+2で表現されることはない。
a=4×n±1,b=4×n+2で表されるならば
a2+b2は8で割ると5余る数である。
8で割ると5余る数は一般に8×p+5で表される。[p=0,1,2,3,...]
この数(奇数)が平方数であれば、奇数の平方で表されるので
8×p+5=(2×q+1)2 [q=0,1,2,3,...]
であり、
8×p+5=4×(q2)+4×q+1
4=4×q×(q+1)-8×pを得る。
q×(q+1)は偶数でるから右辺が8で割りきれ、左辺は8で割りきれない。
よって、8で割ると5余る数は平方数でない。
a=4×n±1,b=4×n+2で表されることはない。
(step3)
a,bが同時にa=4×n+2,b=4×n±1で表現されることはない。
(case2)に同じ
(step4)
a,bが同時に4×n+2で表現されることはない。
a,bともに4×n+2で表されるならば
a2+b2は8×奇数である。
8と奇数は互いに素であり、8は平方数ではないので、
8×奇数は平方数ではない。
以上より、a,bが両方とも4で割りきれないという仮定は誤りである。
即ち、a,bの少なくとも一方は4で割りきれる。
【問題３−１の証明】
a,bの少なくとも一方は3で割りきれる。
[【問題２−３】より]
a,bの少なくとも一方は4で割りきれる。
[(命題１)より]
よってa×bは3でも4でも割りきれる。
3と4は互いに素であるから、
a×bは3×4=12で割りきれる。
【問題３−２の回答】
(命題2)
a,b,cのいずれかは5で割りきれる。
(命題2の証明)
(case1)
a,bのいずれも5で割りきれない場合
a,bは5×n±1,5×n±2のいずれかの形式で表される。
[n=0,1,2,3,...(5×n-1,5×n-2の時はn=1,2,3,...)]
(5×n±1)2=25×(n2)±10×n+1…(1)
(5×n±2)2=25×(n2)±20×n+4…(2)
よって、a2+b2は
5で割ると2余る数、3余る数
[5で割ると余り0,1,4のいずれかでないと平方数ではないので、この場合はa2+b2は平方数にならない。]
若しくは5で割りきれる数である。
[a2+b2は平方数である場合もある。例 a=3,b=4,c=5]
よってa,bのいずれも5で割りきれない場合は、a,b,cがピタゴラス数であるならば
(このような事例として、a=3,b=4,c=5という事例が存在する。)
a=5×n±1,b=5×n±2
若しくは a=5×n±2,b=5×n±1
であって、cは5で割りきれる数でなくてはならない。
(case2)
a,bのいずれかが5で割りきれる場合
a,b,cのいずれかが5で割りきれる。
すなわち題意を満たす。
この事例としてa=5,b=12,c=13の場合がある。
いずれにおいてもa,b,cの少なくとも1つの数は5で割りきれる。
【問題３−２の証明】
a×bは3×4=12で割りきれる。
[【問題３−１】より]
よって、a×b×cは3×4=12で割りきれる。
a×b×cは5で割りきれる。
[(命題2)より]
5と12は互いに素であるから、
a×b×cは5×12=60で割りきれる。
【最後に】
【問題１】は表現しにくいのですが、頭の中でイメージを描きながらの回答です。
【問題２−３】【問題３−１】【問題３−２】の性質はいままで深く考えた事もありませんでしたが、実に面白い性質です。
特に‘aかbの少なくとも1つが3で割りきれる。’aかbの少なくとも1つが4で割りきれる。’のに対し、5だけが、‘aかbかcの少なくとも1つが5で割りきれる。’という性質を持っているために、証明の仕方に迷いました。
ピタゴラス数にならない場合は証明を、ピタゴラス数になることがある場合はその事例を挙げました。
◆石川県 迷える羊 さんからの解答
【問題１】
上辺 ：緑
右辺 ：紫
左辺上部：赤
左辺下部：青
下辺 ：黄
【問題２−１】
１
【問題２−２】
１
【問題２−３】
≪背理法≫
ａ，ｂが共に３で割りきれない数であると仮定する。
【２−１】，【２−２】より、ａ2，ｂ2は共に３で割ると1余る数字である。
今、ａ2＋ｂ2＝ｃ2だから、
ｃ2は、３で割ると２余る数字となる。
【２−１】，【２−２】より、そのような整数ｃは存在しない。
よって、ａ，ｂのうち少なくとも一つは３で割りきれる数字である。
【問題３−１】
ある整数とその平方数を４で割ったときの余りとの関係は、
ある整数が偶数のとき、その平方数を４で割った余りは、０。
ある整数が奇数のとき、その平方数を４で割った余りは、１。
よって、【２−３】と同様にして、ａ，ｂのうち少なくとも一つは４で割りきれる数字である。
よって、ａ×ｂは１２で割りきれる数字である。
【問題３−２】
問【３−１】と同様に、ある整数とその平方数について５で割ったときの余りを調べる。
χ＝５α＋β とする。
【α，βは整数、０≦β≦４】
χ2＝５(５α2＋２β)＋β2
χ2を５で割ったときの余りは、
β＝０の時、０。
β＝１の時、１。
β＝２の時、４。
β＝３の時、４。
β＝４の時、１。
≪ア≫
ａ，ｂの少なくとも一つが５の倍数である時、
【３−１】より、ａ×ｂは６０の倍数である。
よって、ａ×Ｂ×Ｃは６０で割りきれる。
≪イ≫
ａ，ｂのどちらも５の倍数でない時、
ａを５で割った時の余りをｓ、ｂを５で割った時の余りをｔとする。
＜あ＞
ｓ＝１ or ４，ｔ＝１ or ４のとき、
ａ2＋ｂ2＝ｃ2より、
ｃ2を５で割った時の余りは２でなければならない。
しかし、そのようなｃは存在しない。
＜い＞
ｓ＝２ or ３，ｔ＝２ or ３のとき、
ａ2＋ｂ2＝ｃ2より、
ｃ2を５で割った時の余りは３でなければならない。
しかし、そのようなｃは存在しない。
＜う＞
ｓ＝１ or ４，ｔ＝２ or ３のとき、
ａ2＋ｂ2＝ｃ2より、
ｃ2を５で割った時の余りは０でなければならない。
そのようなｃは存在して、ｃは５の倍数である。
＜え＞
ｓ＝２ or ３，ｔ＝１ or ４のとき、
ａ2＋ｂ2＝ｃ2より、
ｃ2を５で割った時の余りは０でなければならない。
そのようなｃは存在して、ｃは５の倍数である。
よって、ｃは５の倍数である。
以上によって、整数ａ，ｂ，ｃについて
ａ2＋ｂ2＝ｃ2のとき、
ａ×ｂ×ｃは６０で割りきれる。
◆京都府 AAAI さんからの解答
ピタゴラスの定理の証明法はたくさんあります。
その内、私が知っている他の方法を２種類紹介します。
【問題２−１】
3 で割って 1 余る数を x (= 3y +1) とおきます。
x*x = 9y*y +6y +1 = 3(3y*y +2y) +1
よって x*x を 3 で割った余りは 1 となります。
【問題２−２】
前問と同様に題意の数を x (= 3y +2) とおきます。
x*x = 9y*y +6y +4 = 3(3y*y +2y +1) +1
よって x*x を 3 で割った余りは 1 となります。
【問題２−３】
背理法を用いて証明します。
今、a,b どちらも 3 の倍数でないとします。
すると、a*a, b*b を 3 で割った余りはどちらも 1 になります。
c*c = a*a +b*b より、 c*c を 3 で割った余りは 2 (=1 +1)になります。
問題2-1,2-2 より、c が自然数ならば、c*c を 3 で割った余りは 0 または 1 ですので、ここに矛盾が生じます。
よって a,b 少なくとも一方は 3 の倍数です。
【問題３−１】
ある自然数の 2乗を 4 で割った余りは 0 ないし 1 なので、
c*c = a*a +b*b より a,b 共に 4 の倍数でない場合はどちらも 4 で割って 2 余る場合だけです。
すなわち、a,b のうち少なくとも一方は 4 の倍数、または a,b 共に 2 の倍数であるといえます。
故に、a*b は 4 で割り切れます。
問題2-3 より a,b の内少なくとも一方は 3 の倍数であることが分かっていますので、
a*b は 12 (=3 *4) の倍数です。
【問題３−２】
ある自然数の 2乗を 5 で割った余りは 0, 1 ないし 4 なので、
c*c = a*a +b*b より a,b 共に 5 の倍数でない場合は
a*a, b*b いずれか一方が 5 で割って 1 余り、もう一方が5 で割って 4 余る場合だけです。
すなわち、a,b のうち少なくとも一方は 5 の倍数、または c が 5 の倍数であるといえます。
故に、a*b*c は 5 で割り切れます。
問題3-1 より a*b は 12 の倍数であることが分かっていますので、
a*b*c は 60 (=3 *4 *5) の倍数です。
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