◆愛知県の中学校３年生 ゆうきリンリン さんからの解答
【問題１】
3桁の数Ａを『100a＋10b＋c』とします。
これを逆順にした数Ｂは『100c＋10b＋a』です。
この2つの数の差、Ｃは『99a−99c』，
つまり『99(a−c)』となり、99の倍数ということが分かります。
a−cというのは、1桁です。
そして、『99×(2以上の1桁の整数)』というのは、
『198』『297』『396』『495』
『594』『693』『792』『891』の、8つです。
この8つの整数を見ると、10の位には必ず9があり、両側の2つの数を足すと、9になることが分かります。
つまりＣ『99(a−c)』というのは
『100d＋90＋(9−d)』という風にあらわせます。
この数を逆順にした数Ｄは
『100(9−d)＋90＋d』です。
この2つＣ、Ｄを足すと
『100ｄ＋90＋9−ｄ＋900−100ｄ＋90＋ｄ』
→『900＋90＋90＋9』
→『1089』になります。
【問題２】
1より大きな数をｘとします。
ｘの逆数は(1/ｘ)です。
1からこれを引くと、
『1−(１/ｘ)』
→『(ｘ/ｘ)-(1/ｘ)』
→『(ｘ-1)/ｘ』となります。
(ｘ-1)/ｘの逆数はｘ/(ｘ-1)です。
これを1から引くと、
『1-[ｘ/(ｘ-1)]』
→『[(ｘ-1)/(ｘ-1)]−[x/(x-1)]』
→『−1/(x-1)』となります。
この数の逆数は−(x−1)、つまり1−xです。
これにxを足せば、答えは1になります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
A=X*100+Y*10+Z
0＜X≦9,0＜Z≦9,0≦Y≦9とおく。
1) X≧Z+2
A=X*100+Y*10+Z
B=Z*100+Y*10+X
A＞B
C=A-B
=(X-Z)*100+Z-X
=(X-Z-1)*100+90+(10+Z-X)
D=(10+Z-X)*100+90+(X-Z-1)
C+D=900+180+9=1089
2) Z≧X+2
A=X*100+Y*10+Z
B=Z*100+Y*10+X
B＞A
C=B-A
=(Z-X)*100+X-Z
=(Z-X-1)*100+90+(10+X-Z)
D=(10+X-Z)*100+90+(Z-X-1)
C+D=900+180+9=1089
1),2)から常に１０８９になる。
【問題２】
A＞1とおく。
1/A
1/A-1=(1-A)/A
A/(1-A)
1-A/(1-A)=1+A/(1-A)=1/(1-A)
1-A
A+(1-A)=1
A＞1であれば、常に１になる。
【おまけ】
百五減算パズルの応用問題ですね。
X=715A+364B+924C+1001N
Nは整数 （＊）
X≡A (MOD 7)
X≡B (MOD 11)
X≡C (MOD 13)
1≦X≦1000 であるから
A=B=C=0はありえない。
例えば、A=5,B=5,C=5 のとき
X=715*5+364*5+924*5+1001N
=3575+1820+4620+1001N
=10015+1001N
≦1000
１≦X≦1000 N=-10
X=10015-10010=5
（＊）は省略。
◆京都府 AAAI さんからの解答
【問題１】
答は1089です。
わかりやすくするため、
[a,b,c] は 100a+10b+c を表すとします
(例えば、[1,2,3]=123)。
ある3桁の数Aは、[x,y,z]で表せたとします。
ただし、x,y,zは0以上9以下の整数です。
当然、Bは[z,y,x]です。
題意より、z＜x なので、くり下がりを考慮して
A-B を求めると [x-z-1,10+z-x] になります。
∵
[x-z,y-y,z-x]
=[x-z,0,z-x]
=[x-z-1,10,z-x]
=[x-z-1,10-1,10+z-x]
C は A-B で定義されていますので、
C=[x-z-1,9,10+z-x]、
D=[10+z-x,9,x-z-1] が成り立ちます。
よって
C+D
=[x-z-1,9,10+z-x]+[10+z-x,9,x-z-1]
=[(x-z-1)+(10+z-x),9+9,(10+z-x)+(x-z-1)]
=[9,18,9]
=9*100+18*10+9
=1089 となります。
【問題２】
答は1です。
最初に思い浮かべる数を A とします。
これの逆数は 1/A となり、これを1から引くと
(A-1)/A となります。
これの逆数は A/(A-1)、さらに1から引くと
(A-(A-1))/(A-1)=1/(A-1) となります。
最後にこれの逆数を取って(A-1)、最初に思い浮かべた数 A から引くと
A-(A-1)=1 となります。
【おまけ】
最初に思い浮かべる数を A、それを 7,11,13 で割った余りをそれぞれ x,y,z とします。
A=7a+x=11b+y=13c+z
(ただし、0≦x＜7,0≦y＜11,0≦z＜13 かつ a,b,c は整数)
答は 715x+364y+924z を1001で割った余りです。
まず、次の式によって A を91(=7*13)で割った余りが求められます。
A=14A-13A
=(13*14c+14z)-(7*13a+13x)
=91(2c-a)+(14z-13x)
この余りを w とします。
w=14z-13x, d=2c-a, A=91d+w
次に、下の式によって A を1001(=91*11)で割った余りが求められます。
A=364A-363A
=4*91A-33*11A
=(11*364b+364y)-(91*363d+363w)
=1001(4b-33d)+(364y-363w)
この余り 364y-363w に w=14z-13x を代入します。
364y-363w
=7*13*4y-33*11*(14z-13x)
=11*13*33x+7*13*4y-7*11*66z
=11*13*(7*4+5)x+7*13*4y+7*11*(-13*6+12)z
=1001(4x-6z)+(11*13*5x+7*13*4y+7*11*12z)
以上より、余り、すなわち A は
11*13*5x+7*13*4y+7*11*12z
(=715x+364y+924z) となります。
【おまけ問題 略解】
A を求める式の形が、以下の通りであると仮定します。
A = px+qy+rz
ただし、A が1000を超える場合は、答は A を1001で割った余りとします。
また、x,y,z はそれぞれ最初に思い浮かべる数 A を 7,11,13 で割った余りとします。
係数 p,q,r について、x,y,z は互いに独立なので A を 7で割った余りが x となるにはp,q,r を 7で割った余りがそれぞれ、1,0,0 にならなければなりません。
同様に、A を 11で割った余りが y、 13で割った余りが z となるには、p,q,r を 11で割った余りがそれぞれ 0,1,0 、
13で割った余りがそれぞれ 0,0,1 にならなければなりません。
以上のことより
p は 7,11,13 で割った余りがそれぞれ 1,0,0
--> 143で割り切れ、 7で割ると 1余る整数
q は 7,11,13 で割った余りがそれぞれ 0,1,0
--> 91で割り切れ、11で割ると1余る整数
r は 7,11,13 で割った余りがそれぞれ 0,0,1
--> 77で割り切れ、13で割ると1余る整数
ということがわかります。
(p,q,r)=(715,364,924)
以上より、
715x+364y+924z を 1001 で割った余りが A になります。
●考察
この解法は、初めの仮定( A = px+qy+rz )の導き方をはっきりさせない限り、数学的な解法とはいえないでしょう
(そう思うのは私だけでしょうか)。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１の回答】
必ず1089になる。
【理由】
思い浮かべた３桁の元の数Aを
A=a(1)×100+a(2)×10+a(3)とする。
但しa(1)、a(2)、a(3)は0〜９までの整数であり、
abs(a(1)-a(3))≧2
Aの百の位、十の位、一の位の数を逆順にした数(Ｂとする)は
B=a(3)×100+a(2)×10+a(1)
で与えられる。
(case1)A≧Bの時
機械的に計算すると
C=A-B
={a(1)×100+a(2)×10+a(3)}-{a(3)×100+a(2)×10+a(1)}
={a(1)-a(3)}×99
a(1)-a(3)=abs(a(1)-a(3))≧2であるから
a(1)-a(3)=2の時、C=198であり、D=891
a(1)-a(3)=3の時、C=297であり、D=792
a(1)-a(3)=4の時、C=396であり、D=693
a(1)-a(3)=5の時、C=495であり、D=594
a(1)-a(3)=6の時、C=594であり、D=495
a(1)-a(3)=7の時、C=693であり、D=396
a(1)-a(3)=8の時、C=792であり、D=297
a(1)-a(3)=9の時、C=891であり、D=198
全てC+D=1089となる。
(case2)A＜Bの時
(case1)と同様である
【問題２の回答】
必ず1になる。
【理由】
最初にまず心の中に思い浮かべた１より大きな数をxとする。
その数の逆数をとり、それを１から引くと
1-1/x=(x-1)/x
もう一度、その答えの逆数をとり、それを１から引くと
1-1/{(x-1)/x}
=1-x/(x-1)
=-1/(x-1)
最後にその答えの逆数をとり、最初に考えた数を足すと
1/{-1/(x-1)}+x
=-(x-1)+X
=1
【おまけの回答】
元の数は7で割るとq余り、11で割るとs余り、13で割るとu余る時
1001を法として
-286×q+364×s-77×u
と合同な1から1000までの整数である。
【理由】
7,11,13は全て素数であり、互いに素(1以外の共通約数を持たない)
11×13=143,
13×7=91,
7×11=77も互いに素(1以外の共通約数を持たない)である。
具体的には
(-2)×143+4×91+(-1)×77=1
が成立する。
次に7×11×13=1001である。
1〜1000までの整数nがあって
(1)7で割るとq余る
即ちn=7×p+q (0≦q＜7)
(2)11で割るとs余る
即ちn=11×r+s (0≦s＜11)
(3)13で割るとu余る
即ちn=13×t+u (0≦u＜13)
である時には、
n= {(-2)×143+4×91+(-1)×77}×n
= 7×11×13×{(-2)×p+4×r+(-1)×t}+{143×(-2)×q+91×4×s+77×(-1)×u}
= 1001×{-2×p+4×r-t}+{-286×q+364×s-77×u}
即ちnは、1から1000までの整数であってn≡-286×q+364×s-77×u [mod(1001)]
となる整数である。
◆石川県 魔術師ヤン さんからの解答
【問題１】
A=100a+10b+c と置く。
（a＞b+1 a,b,cは、整数。）
aはbより２以上大きいとしたが、
１００の位と1の位をひっくり返して、大きいほうから引くので、aとbの、大小関係を逆にしても同じになる。
B=100c+10b+a
A-B=99a-99c=99(a-c)=C
ここで、Cの、各位の数は、(a-c)によって決まる。
(a-c)は、２から９。
Cの各位の数を、a,cを使ってあらわすと、
１００の位は、（a-c)-1
９９＊n (n=2,3,4,・・・・・9)を考えるとわかる。
１０の位は、常に９
１の位は、10-(a-c) 百の位と似ている。
以上より、
C=100*(a-c-1)+90+10-(a-c)
=99a-99c
D=100*(10-a+c)+90+(a-c-1)
=99c-99a+1089
C+D=1089
以上から、一連の操作をすると常に結果は1089
【問題２】
ある数を、Xとすると、その逆数は、1/x
これを、１から引くと、
1-1/X=(X-1)/X
上の数の逆数は、X/(X-1)
これを、１から引くと、
1-X/(X-1)=-1/(x-1)
上の数の逆数は、-(X-1)/1=1-X
この数に、最初の数 X, を足すと
1-X+X=1
よって、答えは常に１となる。
【おまけ】
思い浮かべた数を、Ｘとすると、
X=7a+b (b=0,1,2,3,4,5,6)
X=11c+d (d=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
X=13e+f (f=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12) と、表せる。
(a,b,c)の組み合わせは、7*11*13=1001
a,b,cの、最小公倍数は、1001で、
（a,b,c)の組み合わせは、Xが、1001になると、１周期を迎える。
だから、a,b,cの値によって、Xが特定できる。
◆大阪府 Taketsuna さんからの解答
【問題１】
A=100x+10y+z とする。
x＞z-1,x,y,zは0から9までの整数
B=100z+10y+x
A-B
=100(x-z)+z-x
=100(x-z-1)+90+(10+z-x)
=C
D=100(10+z-x)+90+(x-z-1)
C+D
=100(x-z-1 + 10+z-x)+90+90+(10+z-x + x-z-1)
=100×9+180+9
=1089
【問題２】
心に思い浮かべる数をｘとする
【おまけ】
いわゆる百五減算ですよね。
11と13の倍数で７で割って1余る数は715
7と13の倍数で11で割って1余る数は364
7と11の倍数で13で割って1余る数は924
頭の中で思い浮かべた数をNとすると
N= 7x+a
N=11y+b
N=13Z+c
715N= 5005x+715a
364N= 4004y+364B
924N=12012z+924c
辺々を加えて
2003N=1001(5x+4y+12z)+715a+364b+924c
N=1001(5x+4y+12z-2N)+ 715a+364b+924c
よって
7で割ったあまりを715倍
11で割ったあまりを364倍
13で割ったあまりを924倍し
それらを加えた数を1001で割ったあまりが求める数である。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題１】
まず、Aの百の位をa、十の位をb、一の位をc
(a＞c＋1)とすると、
A＝100a＋10ｂ＋c、
B＝100c＋10b＋a なので
C＝A−B
＝(100a＋10ｂ＋c)−(100c＋10b＋a)
＝100(a−c)＋(c−a)＝99(a−c)・・・・・(★)
(要するに、a−c＞1より、Cは99の倍数となることがわかります。)
ここで、
Cの百の位をa(1)(≠0)、十の位をb(1)、一の位をc(1)とすると、
C＝100a(1)＋10ｂ(1)＋c(1)、
D＝100c(1)＋10b(1)＋a(1) なのですが、
C＝99a(1)＋{a(1)＋10b(1)＋c(1)}で、
a(1)≠0なので、(★)より
第二項{a(1)＋10b(1)＋c(1)}＝99a(2)とおけるが、
a(1)、b(1)、c(1)は1〜9なので、a(2)＝0、1 の場合しかありえません。
(∵a(2)＞1では、{a(1)＋10b(1)＋c(1)}≧198とならなければならないが、
a(1)、b(1)、c(1)は1〜9なので、
{a(1)＋10b(1)＋c(1)}≦108となり矛盾する。)
1)a(2)＝0 のとき、
a(1)＝b(1)＝c(1)＝0 となってC＝0 となり、Cが3桁の数になりません。
よって、このようなことはありえません。
2)a(2)＝1 のとき、
{a(1)＋10b(1)＋c(1)}＝99
このとき、b(1)＞8 となります。
(∵b(1)≦8では、10b(1)≦80でかつ、a(1)、c(1)は1〜9なので、
{a(1)＋10b(1)＋c(1)}≦98で＝99 とはなりえません。)
よってb(1)＝9・・・・・(★2)
したがって、{a(1)＋c(1)}＝9・・・・・(★3)
C＋D
＝{100a(1)＋10ｂ(1)＋c(1)}＋{100c(1)＋10b(1)＋a(1)}
＝100{a(1)＋c(1)}＋20b(1)＋{a(1)＋c(1)}
＝100×9＋20×9＋9
＝900＋180＋9
＝1089
で、答えは必ず1089となります。
【問題２】
単純に(かつ慎重に)計算して、
a＋1/[1−[1/{1−(1/a)}]]
＝a＋1/[1−[1/{(a−1)/a}]]
＝a＋1/[1−[a/(a−1)]]
＝a−1/[1/(a−1)]
＝a−[a−1]
＝1
となり、1です。
【おまけ】
求める数を7で割ったときの余りをa、
11で割ったときの余りをb、
13で割ったときの余りをcとします。
今、7×11×i が13で割ると1余るようにiを定め、
11×13×j が7で割ると1余るようにjを定め、
13×7×k が11で割ると1余るようにkを定めます。
i＝12、j＝5、k＝4 がその1つの例となります。
このとき、求める数は
(7×11×i)×c＋(11×13×j)×a＋(13×7×k)×b ＝(7×11×12)×c＋(11×13×5)×a＋(13×7×4)×b ＝924c＋715a＋364bという形でかけます。
(∵7で割ると第一項、第三項は7で割り切れ、第二項の余りは1×a＝aとなります。 11で割ると第一項、第二項は11で割り切れ、第三項の余りは1×b＝bとなります。 13で割ると第二項、第三項は13で割り切れ、第一項の余りは1×c＝cとなります。)これを7×11×13＝1001で割った余り(0〜1000)が求める数となります。
ex.
a＝1、b＝1、c＝1 のとき、
924＋715＋364＝2003
2003÷1001＝2...1 で求める答えは1
a＝1、b＝0、c＝1 のとき、
924＋715＋0＝1639
1639÷1001＝1...638 で求める答えは638
a＝1、b＝1、c＝0 のとき、
715＋364＝1079
1079÷1001＝1...78 で求める答えは78
となります。
これは中国の剰余定理(孫子定理)の応用ですね。
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