『今週の問題』第66回　解答

【コメント】

問題２は面倒な問題でしたが、多くの方が挑戦してくださいました。
なかには怪しい回答もあるのですが、不完全なものがあれば、完全なものに直してください。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１−１】

答え　９の倍数。

【問題１−２】

１０００−１＝９９９＝９×１１１
１０００−１０＝９９０＝９×１１０
１０００−１００＝９００＝９×１００
１００−１＝９９＝９×１１
１００−１０＝９０＝９×１０
１０−１＝９

上記のいずれもが９の倍数であるから元の数と各位の数を並び替えた数との差は、９の倍数になる。

【問題１−３】

教えられた数が９の倍数のときは、０である。
９の倍数でないときはその数より大きい最小の９の倍数の数から教えられた数を引いた数である。

例えば、教えられた数が２５のとき、
２７−２５＝２
（２７＞２５　２７÷９＝３）

【問題２】

思い浮かべた数をＸとする。

題意により
10X+A=3P+B.........................a)
10P+C=(100E+Y)*3+D.................b)
0≦Y≦99
0≦A≦9,0≦C≦9,0≦B≦2,0≦D≦2

a),b)からPを消去してXについて解く。

X=9E+(9Y+3D-3C+10B-10A)/100

(9Y+3D-3C+10B-10A)/100=K
Kは負でない整数（＊）　とおく。

100K=9Y+3D-3C+10B-10A
99K+K=9(Y+B-A)+B-A+3D-3C

9の剰余で考える。

K≡B-A+3(D-C) (MOD 9)

R=(B-A)+3(D-C)とおく。

1)R≧0

Rを９で割り余りをR1とする。

X=9E+R1

2)R＜0

R1=R+9N
1≦N,0＜R1＜9 となるように９を加えていく。

X=9E+R1

●補足

Z=(9Y+3D-3C+10B-10A)/100 が負でない整数であることの証明。
(0≦Z≦8)

0≦Y≦99,0≦A≦9,
0≦C≦9,0≦B≦2,0≦D≦2

-1.17≦Z≦9.17
-1≦Z≦9

1) Z≠-1 であることの証明

Z=-1　とする。

9Y+3D-3C+10B-10A=-100
9Y+3D+10B+100=10A+3C

解が存在するためには、

B+1≡A (MOD 3)

●B=0, A=1,4,7
9Y+3D+100=10A+3C
A≠1,A≠4,A=7

10A+3C≦97<100

存在しない。

●B=1 A=2,5,8
9Y+3D+110=10A+3C
A≠2,A≠5,A=8

10A+3C≦107<110

存在しない。

●B=2 A=3,6,9
9Y+3D+120=10A+3C
A≠3,A≠6,A=9

10A+3C≦117<120

存在しない。

証明終わり。

2) Z≠9 であることの証明

Z=9 とする。

9Y+3D-3C+10B-10A=900
9Y+3D+10B=900+3C+10A

解が存在するためには、
B≡A (MOD 3)

●B=0, A=0,3,6,9
A≠3,A≠6,A≠9
9Y+3D=900+3C

9Y+3D≦897<900

存在しない。

●B=1, A=1,4,7
A≠4,A≠7
9Y+3D=900+3C

9Y+3D≦897<900

存在しない。

●B=2, A=2,5,8
A≠5,A≠8
9Y+3D=900+3C

9Y+3D<897<900

存在しない。

証明終わり。

1),2)から0≦Z≦8

以上です。

X=9E+Z
0≦E≦9、0≦X≦89

題意を満たします。

◆千葉県　緑川　正雄 さんからの解答

【問題１−１の回答】

９の倍数

【問題１−２の回答】

４桁の元の数Aが

A=a(1)×1000+a(2)×100+a(3)×10+a(4)

で与えられ、各桁の数を適当に並び替えた数Bを

B=a(i1)×1000+a(i2)×100+a(i3)×10+a(i4)

とする。

(CASE1)
A≧Bのとき
　9999-B
= (9-a(i1))×1000+(9-a(i2))×100+(9-a(i3))×10+(9-a(i4))

であるから、

A-B
= (A+9999-B)-9999
= (a(1)+9-a(i1))×1000+(a(2)+9-a(i2))×100+(a(3)+9-a(i3))×10+(a(4)+9-a(i4))-9999
=(a(1)+9-a(i1))×999+(a(2)+9-a(i2))×99+(a(3)+9-a(i3))×9+(a(4)+9-a(i4))-9999+(a(1)+9-a(i1))+(a(2)+9-a(i2))+(a(3)+9-a(i3))+(a(4)+9-a(i4))
であり、
(a(1)+9-a(i1))×999+(a(2)+9-a(i2))×99+(a(3)+9-a(i3))×9+(a(4)+9-a(i4))-9999
は９で割り切れる。

一方、

(a(1)+9-a(i1))+(a(2)+9-a(i2))+(a(3)+9-a(i3))+(a(4)+9-a(i4))
=36+(a(1)-a(i1)+a(2)-a(i2)+a(3)-a(i3)+(a(4)-a(i4))
=36
も９で割り切れる。

よってA-Bも９で割り切れる。

(CASE2)
A＜Bのとき
(CASE1)に同じ

【問題１−３の回答】

合計の数が、9で割って余りが1,2...,8ならば、消した数は各々8,7,6,...,1であるが、合計の数が9の倍数の時、消した数が特定出来ない。
0と9の区別がつかない

【問題２】

【各記号の意味】

(1)‘０以上９０未満の好きな整数’をxとする。
[Xは0〜89の間の整数]

(2)その数の１０倍に好きな一桁の数Ａを加えてください。
10×x+A
[Aは0〜9の間の整数]

(3)その答えを３で割って、その商をＰ、余りをＢとしてください。
10×x+A=3×P+B
[Pは0〜299の間の整数、Bは0〜2の間の整数]

(4)またＰの１０倍に好きな一桁の数Ｃを加えてください。

10×P+C(=yとする）
[10×P+Cは0〜2999の間の整数、Cは0〜9の間の整数]

(5)その答え(y=10×P+C)を３で割ってください。
その商の百の位をＥ、余りをＤとします。

10×P+C=3×(100×E+10×F+G)+D
[E,F,Gは0〜9の間の整数、Dは0〜2の間の整数]

【問題２の回答】

(a)(4)で定まる数y=10×P+Cは、
Ｚ={0,1,2,3.......,2997,2998,2999}のいずれかの値になる。

(b)(5)の数Eが1つ定まるとy=10×P+Cの候補として

Ｚ⊃Ｚ(E)={E×300,E×300+1,.......,E×300+299}
の300個の数があげられる。

(c)更にDが指定されるとＺ(E)の中で3で割ってD余る数(yの候補)100個があげられる。
100個あげられたyの候補の下2桁は,00〜ら99の100通りある。

(d)更にCが指定されると、Ｚ(E)の中で10で割ってC余る数が、(c)の100個のyの候補の中で10個があげられる。
10個あげられたyの候補の下2桁は(c)であげられた100個の数の中で
y-Cが10で割りきれる10個の数であり、(c)により、
その下1桁は0〜9の10通りとなる。

(e)更にA,Bが指定されると、
(3)により3×P+B-Aは10で割りきれる数である。

即ち(d)の10個のyの候補の最後の1桁は、0〜9の値を持つ数が１つずつなので

(y-C)×3÷10+B-A

が整数となる数は只1つある。

Ｚ(E)の中で定まったyに対して、
(5)よりy-Dは3で割りきれるので
y-300×E-Dは0〜299の間の数であって3で割りきれる。

(y-300×E-D)÷3は0〜99までの間の整数となる。

10の位の数をF、1の位の数をGとすると

(y-300×E-D)÷3=10×F+Gより

y=3×(100×E+10×F+G)+Dを得る。

以上により求めたyを元に、

（ア）y-Cは10で割りきれるので
　P=(y-C)÷10とする。

（イ）3×P+B-Cは10で割りきれ、
　x=(3×P+B-C)÷10とする。

(ウ)xが求める答えである。

◆神奈川県　山宮　貴志 さんからの解答

【問題１】

４桁の数をＡ、Ａの各位の数を適当に並べ替えた数をＢとする。
ＡとＢの各桁の数字の和は等しいから、Ａ、Ｂを９で割った余りも等しい。
よってその余りをｒとすると

Ａ＝９ｐ＋ｒ
Ｂ＝９ｑ＋ｒ

∴　｜Ａ−Ｂ｜＝９｜ｐ−ｑ｜

よって９の倍数である。

【問題２】

数字を簡単に求めるために、次のような表を作ってみました。

まずＡ−Ｂの値に対応するＦの値を下の表から求め、
Ｃ＋Ｆを３で割った余りｒを計算します。そして

ｒ≦Ｄの時はＤ−ｒ、ｒ＞Ｄの時は３＋Ｄ−ｒを計算しその値をＧとします。

あとは下の式にＡ、Ｂ、Ｅ、Ｆ、Ｇを代入して計算すれば最初の数がわかります。

Ａ−Ｂ　　　　Ｆ　　　

　９　　⇒　　３
　８　　⇒　　６
　７　　⇒　　９
　６　　⇒　　２
　５　　⇒　　５
　４　　⇒　　８
　３　　⇒　　１
　２　　⇒　　４
　１　　⇒　　７
　０　　⇒　　０
　−１　⇒　　３
　−２　⇒　　６
χ＝（９０Ｅ＋３０Ｇ＋３Ｆ＋Ｂ−Ａ）／１０

例えば、
Ａ＝４、Ｂ＝２、Ｃ＝７、Ｄ＝１、Ｅ＝３の時は
Ａ−Ｂ＝２なのでＦ＝４、
Ｃ＋Ｆ＝１１なのでｒ＝２、
ｒ＞ＤなのでＧ＝２、

そしてχ＝３４となります。

◆京都府　AAAI さんからの解答

【問題１−１、２】

９の倍数になっています。
何故なら、10進法の整数AにおいてAを9で割った余りはAの各位の数字の合計を9で割った余りに等しく、そのためAの各位を並べ替えて作った 新しい整数Bを9で割った余りも、Aを9で割った余りに等しいからです
(証明は省略)。

A=9a+x, B=9b+y
(0≦x＜9, 0≦y＜9),
A-B=9(a-b)+(x-y)

先程の説明より、x=yが証明されていますので、
x-y=0となりA-Bは9の倍数です。

【問題１−３】

A-Bが9の倍数なので、その各位の数字の和は9の倍数になっています。
そのため、残った数字の合計を9で割った余りを9から引いた数字が答となります
(ただし、余りが0の場合、答は0または9の2通りあります)。

【問題２】

以下、演算子%,/を次の通り定義します
(優先順位は乗除算と同じです)。

x=yn+m (x,y,n,mは整数、0≦m＜y) において
x%yはmを示し、x/yはnを示す

答は 9E+3((D-C)-(A+B)/3)%3)+(B-A)%3 です。

ある整数Xを10倍した場合、それを3で割った余りは変わりません。
そのため、Xを10倍してAを足し、3で割った余りBから、元のXを3で割った余りが求まります

(B-A)%3。

次に先程の商Pも同様にCとDから3で割った余りが求まります

(D-C)%3。

ここで、Pから「10XにAを足した事による商の増加」
(A+B)/3を差し引けば、「Pを3で割った余り」は
「Xを3で割った商をさらに3で割った余り」を示すことになります

(D-C-(A+B)/3)%3。

以上よりXを9で割った余りが求まります

3((D-C)-(A+B)/3)%3)+(B-A)%3。

最後に、Eの値より、
10P+Cを3で割った商Qが
100E≦Q＜100E+99 である事がわかります。

300E≦10P+C＜300E+99*3+2

30E≦P＜30E+29
(なぜならば、E,P,Cはいずれも整数)

P=(10X+A)/3 より、次の式が成り立ちます。

90E≦10X+A＜90E+29*3+2

9E≦X<9E+8
(なぜならば、E,X,Aはいずれも整数)

よってEは、Xを9で割った商である事がわかります。
Xの商と余りがわかったので、Xを冒頭の式から求めることができます。

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