『今週の問題』第65回　解答

◆山口県　Chelsea さんからの解答

【問題１】

三桁の自然数は、a, b, cを一桁の負でない整数
（bc≠0）として、
100a + 10b + c　として表すことができる。

これを9で割ると、余りはa+b+cである。

(∵100a + 10b + c = 9(11a + b) + a + b + c)
よって、a+b+cが割り切れるなら、
100a + 10b + cは割り切れる。

つまり、三桁の自然数の各桁の数字を足した答が9で割り切れれば、元の数は9で割り切れる。

【問題３】

16345284565289が平方数だとすると、
16345284565289=x2とおける。
（xは自然数）

左辺の1の位が9であるから、xの1の位は3である。
xの1の位と2の位が
03,13,23,33,43,53,63,73,83,93のいずれの場合でも、
左辺は、....89の形にはならない。
これは、16345284565289が平方数だと仮定したことから生じた誤りであるから、
16345284565289は平方数ではない。

◆千葉県　E28 さんからの解答

【問題１】

３桁の数の百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとする。
すると３桁の整数は１００ａ＋１０ｂ＋ｃと書ける。

　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
＝(９９＋１)ａ＋(９＋１)ｂ＋ｃ
＝９９ａ＋９ｂ＋(ａ＋ｂ＋ｃ)

９９ａと９ｂはともに９の倍数であるから
ａ＋ｂ＋ｃが９の倍数であるならば
１００ａ＋１０ｂ＋ｃは９の倍数となる。　

【問題２】

３桁の整数を問１同様ａｂｃとする。

条件１より　ｃ＝０、５

条件２より　ｂ＞ａ

条件３より　ｂ＞ｃ
　ｂ＝２ｎ(ｎ＝０、１、２、３、４)

条件４より
ａ＋ｂ＋ｃ＝９、１８、２７
（２７は９９９の時のみでこれは５の倍数でないから除外する）

当然　ａ＝１、２、３、４、５、６、７、８、９
ｂ、ｃ＝０、１、２、３、４、５、６、７、８、９

（１）ａ＋ｂ＋ｃ＝９　の場合

ａ＋２ｎ＋ｃ＝９

ｃ＝０の場合
ａ＋２ｎ＝９・・・・・・(1)

ｃ＝５の場合
ａ＋２ｎ＝４・・・・・・(2)

ａ＝１のとき　(1)より　ｎ＝４　１８０　○
ａ＝２のとき　(2)より　ｎ＝１　２２５　×　　　　　　　　　　　　
ａ＝３のとき　(1)より　ｎ＝３　３６０　○　　　　　　　　　　　　　
ａ＝４のとき　(2)より　ｎ＝０　４０５　×　　　　　　　　　　　　　  
ａ＝５のとき　(1)より　ｎ＝２　５４０　×　　　　　　　　　　　　　
ａ＝６のとき　(2)より　ｎ＝−１　　　　×　　　　　　　　　　　
ａ＝７のとき　(1)より　ｎ＝１　７２０　×　　　　　　　　　　　　　
ａ＝８のとき　(2)より　ｎ＝−２　　　　×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
ａ＝９のとき　(1)より　ｎ＝０　９００　×　　　　　　　　　　　　　　
（２）ａ＋ｂ＋ｃ＝１８　の場合

ａ＋２ｎ＋ｃ＝１８

ｃ＝０の場合
ａ＋２ｎ＝１８・・・・・・・(3)

ｃ＝５の場合
ａ＋２ｎ＝１３・・・・・・・(4)

ａ＝１のとき　(4)より  ｎ＝６  × 
ａ＝２のとき　(3)より  ｎ＝８  ×  　
ａ＝３のとき　(4)より  ｎ＝５  × 
ａ＝４のとき　(3)より  ｎ＝７  × 
ａ＝５のとき　(4)より  ｎ＝４  ○ 
ａ＝６のとき　(3)より  ｎ＝６  × 
ａ＝７のとき　(4)より  ｎ＝３  × 
ａ＝８のとき　(3)より  ｎ＝５  × 
ａ＝９のとき　(4)より  ｎ＝２  ×
（１）、（２）より
１８０、３６０、５８５の３つ

【問題３】

平方数を９で割るとあまりが０,１,４,７の４通りしかないことがわかりました。

つまり平方数であることの必要条件は
９ｎ＋０,１,４,７のいずれかで表せることです。

よって

１＋６＋３＋４＋５＋２＋８＋４＋５＋６＋５＋２＋８＋９
＝６８
６＋８＝１４、１＋４＝５

ゆえに、この数を９で割るとあまりは５ですから、この数は平方数ではありません。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１】

３桁の数Xを
X=a*100+b*10+c
a,b,cは自然数で、
0＜a≦9,0≦b≦9,0≦c≦9とする。

X=a*(99+1)+b*(9+1)+c
=9*(11a+b)+a+b+c

a+b+c が９の倍数であれば、Xは９の倍数となる。

【問題２】

元の数Xを
X=a*100+b*10+c　とする。
５の倍数であるから、c=0,5

９の倍数であるから、
a+b+c≡0 (mod 9)

Y=b*100+a*10+c
Y-X=90*(b-a)＞0
b＞a

Z=a*100+c*10+b
Z-X=9*(c-b)＜0

b＞c,
b=2,4,6,8（２の倍数）

i) c=0のとき

b＞c

b=2,4,6,8

a+b≡0 (mod 9)
b＞a

b=6,a=3 ---> 360

b=8,a=1 ---> 180

ii) c=5のとき

b＞c

b=6,8

5+a+b≡0 (mod 9)

b＞a

a=5,b=8 --->585

答え　１８０，３６０，５８５

【問題３】

ある数Ｘが平方数であるため必要条件

●必要条件１
１の位の数　０，１，４，５，６，９

●必要条件２
Ｘ≡０，１，４，７　(mod 9)

●必要条件３
Ｘ＝a2とすれば
a2-1=(a+1)(a-1)
(a+1)-(a-1)=2　であるから
Ｘは差が２の２数の積＋１。

１６３４５２８４５６５２８９

１の位の数が９であるから必要条件１を満たす。

１＋６＋３＋４＋５＋２＋８＋４＋５＋６＋５＋２＋８＋９＝６８
６＋８＝１４、１＋４＝５

必要条件２を満たさない。
したがって、平方数ではない。

必要十分条件は上記３条件を満たすことである。
１は例外。

◆石川県　迷える羊 さんからの解答

【問題１】

任意の３桁の自然数の百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとする。
【ａ,ｂ,ｃは整数、０＜ａ≦９、０≦ｂ,ｃ≦９】

元の数の各桁を足した値が９で割り切れる時、その商をｄとすると、
【ｄは自然数】

　ａ＋ｂ＋ｃ＝９ｄ…（ア）

元の３桁の数は、１００ａ＋１０ｂ＋ｃだから、

　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝９(１１ａ＋ｂ)＋(ａ＋ｂ＋ｃ)

式（ア）を代入すると、

　１００ａ＋１０ｂ＋ｃ＝９(１１ａ＋ｂ＋ｄ)

今、ａ，ｂ，ｄは全て自然数であるから、元の３桁の数は９で割り切れる。

【問題２】

任意の３桁の自然数の百の位をａ、十の位をｂ、一の位をｃとする。
【ａ,ｂ,ｃは整数、０＜ａ≦９、０≦ｂ,ｃ≦９】

条件（１）より、この数は５の倍数だから、
　ｃ＝０ or ５ 　　　…（ア）

条件（２）より、この数の百の位と十の位を入れ替えてできる３桁の数は、元の数より大きい数だから、
　ａ＜ｂ　　 　　…（イ）

条件（３）より、この数の十の位と一の位を入れ替えてできる３桁の数は、元の数より小さい偶数だから、
　ｃ＜ｂ、ｂは偶数 …（ウ）

条件（４）より、この数は９の倍数だから、
　ａ＋ｂ＋ｃは９の倍数…（エ）

＜１＞ｃ＝０のとき、
条件（ウ）より、
ｂ＝２,４,６,８

ｂのそれぞれの値について条件（イ）,（エ）を満たすａの値は、
ａ＝３【ｂ＝６のとき】
ａ＝１【ｂ＝８のとき】

＜２＞ｃ＝５のとき、
条件（ウ）より、
ｂ＝６,８

ｂのそれぞれの値について条件（イ）,（エ）を満たすａの値は、
ａ＝５【ｂ＝８のとき】

逆に、
（ａ,ｂ,ｃ）＝（３,６,０）,（１,８,０）,（５,８,５）のとき、
条件（１）〜条件（４）は全て成立する。

よって、条件を全て満たす３桁の数字は、
３６０,１８０,５８５、の３つである。

【問題３】

任意の自然数の２乗した数を、９で割った余りについて考える。

任意の自然数をｎとする。

＜１＞ｎ＝３ａのとき、
【ａは自然数】

ｎ2＝９ａ2

よって、ｎ2を９で割った余りは、０である。

＜２＞ｎ＝３ａ＋１のとき、
【ａは０以上の整数】

ｎ2＝９ａ2＋６ａ＋１

よって、ｎ2を９で割った余りは、１,４,７である。

＜３＞ｎ＝３ａ＋２のとき、
【ａは０以上の整数】

ｎ2＝９ａ2＋１２ａ＋４

よって、ｎ2を９で割った余りは、１,４,７である。

以上によって、任意の平方数を９で割った余りは、０,１,４,７である。

そこで、
１６３４５２８４５６５２８９を９で割った余りを計算する。

各桁の数字を合計して、

１＋６＋３＋４＋５＋２＋８＋４＋５＋６＋５＋２＋８＋９
＝６８
よって、余りは５である。

従って、１６３４５２８４５６５２８９は、平方数ではありえない。

【感想】問【３】は問【１】の前置きが無いと、考え難そう。
例えば、平方数とは素因数分解したときに同じ数が偶数個ずつあるのだが、問題の数を素因数分解するだけでも一苦労しそうである。
（４３１×３４９２４０９４１１９）

◆新潟県　ゆりりん さんからの解答

【問題１】

3桁の数を、100a+10b+cとおく。

a+b+c=9kなので、
(100a+10b+c)-(a+b+c)=99a+9b

ここでもちろん99a+9bは9の倍数である。

a+b+cも9の倍数であるから、
100a+10b+cも9の倍数になる。

【問題２】

3桁の数を100a+10b+cとする。

c=0,5・・1より

a＜b・・2より

b＞c 、b=2n・・3より

a+b+c=9k・・4より

(１)c=5のとき
b=6 , 8(3より)

(b,c)=(6,5)のとき a=7 不適

(b,c)=(8,5)のとき a=5 適する

(２)c=0のとき
b=2 ,4 ,6 ,8

(b,c)=(2,0)のとき a=7 不適
(b,c)=(4,0)のとき a=5 不適
(b,c)=(6,0)のとき a=3 適する
(b,c)=(8,0)のとき a=1 適する

よって、585、360、180

【問題３】

16345284565289という数字なので、
4000000以上の数字で適当に当てはめました。

1桁目が9なので、最後の数字が3か7になることが分かります。

そうやって考えていくと、
4042933のとき、元の数字以上になります。
4042927のとき、元の数字以下になります。

4042933〜4042927の間に２乗して１桁目が９になる数字はないので、
２乗して 16345284565289になる数字はない。

◆千葉県　緑川　正雄 さんからの解答

【問題１の回答】

３桁の数字abcは
a×100+b×10+cで表される。
(a,b,cは整数かつ1≦a≦9,0≦b≦9,0≦c≦9)

ところで
a×100+b×10+c=(a+b+c)+(99×a+9×b）
であり、99×a+9×bは9で割り切れるので

a×100+b×10+cが9で割り切れれば、
a+b+cは9で割り切れ
a+b+cが9で割り切れれば、
a×100+b×10+cは9で割り切れる。

【問題２の回答】

180,360,585

３桁の数字abc
a×100+b×10+cが
(a,b,cは整数かつ1≦a≦9,0≦b≦9,0≦c≦9)
(条件1より)この数は5の倍数なので、
c=0又はc=5

(条件2より)この数の、百の位の数と十の位の数を入れ替えてできる３桁の数が、元の数よりも大きくなるので

a×100+b×10+c＜b×100+a×10+c

即ち　b＞a

(条件3より)この数の、十の位の数と一の位の数を入れ替えてできる３桁の数は、元の数よりも小さくかつ偶数なので

a×100+b×10+c＞a×100+c×10+b

即ち　b＞cかつbは偶数

(条件4より)この数は９の倍数なので
a+b+cは9の倍数。

(Case1)C=0の時

(条件3)よりb=2,4,6,8

(条件2)と(条件4)より
b=2に対しaは存在しない。
b=4に対しaは存在しない。
b=6に対しa=3
b=8に対しa=1

よって、この場合は180と360とが該当する。

(Case1)C=5の時

(条件3)よりb=6,8
(条件2)と(条件4)より
b=6に対しaは存在しない。
b=8に対しa=5

よって、この場合は585が該当する。

【問題３の回答】

16345284565289はいかなる正の整数の2乗にも等しくない。

【問題３の回答の理由】

n=16345284565289がある正の整数kの2乗
即ちn=k2で表されると仮定する。

この時kを十分大きな正の整数mとmに較べて十分小さい数pの和
k=m+pで表す。

このとき
n=k2
=(m+p)2より、

n-m2
=2×m×p+p2
=2×m×(p+p2÷(2×m))

p2÷(2×m)＜1程度になるようにmの値を求めれば、pの値が(もし存在すれば)特定し易くなる。

ところでnをおおまかに評価すると

(4.04×106)2＜n＜(4.05×106)2
mを4041000〜4049000の中から1000きざみの数のうち、2乗した数が最もnに近くなる値から選ぶ

この場合p＜1000により
p2÷(2×m)＜1となる。

以下手計算を行うと

4041000×4041000=16329681000000＜n
4042000×4042000=16337764000000＜n
4043000×4043000=16345849000000＞n
を得る。

よって、m=4042000と置く。
0＜p＜1000となる。

更に、pの取り得る範囲をより厳密に求める。

n-m2
=16345284565289-16337764000000
=7520565289

p+p2÷(2×m)
=(n-m2)÷(2×m)
=7520565289÷8084000

は930.3から930.4の間の数である。

930.3＜p+p2÷(2×m)＜930.4
よって、
p＜p+p2÷(2×m)＜930.4
一方
p2÷(2×m)＜1000000÷8084000＜1/8=0.125
よって、
p＞930.3-p+p2÷(2×m)＞930.3-0.125=930.175
最終的に930.175＜p＜930.4

これは、正の整数値pが存在しないことを意味する。
よって、nはいかなる正の整数の2乗にも等しくない。

◆東京都　月カツラ さんからの解答

【問題１】

ある３桁の数をａｂｃとします。
（百の位の数字をａ、十の位がｂ、１の位をｃ）

この３桁の数字は
　ａ（９９＋１）＋ｂ（９＋１）＋ｃ　となります。

これを展開すると
　９９ａ＋９ｂ＋ａ＋ｂ＋ｃ になります。

ここで「９９ａ」は９の倍数です。
「９ｂ」も９の倍数です。

ａ＋ｂ＋ｃが９の倍数になっていればこのはじめのある数は９の倍数です。
そしてａ＋ｂ＋ｃは各桁の足し算になっています。
よって各桁の足し算が９の倍数になっていればその数は９の倍数です。

これは何桁でも同じように説明が出来ます。

【問題２】

ある３桁の数をａｂｃとします。
（百の位の数字をａ、十の位がｂ、１の位をｃ）

条件１より　ｃは０または５

条件２より　ａ＜ｂ

条件３より　ｂ＞ｃ　で　ｂは偶数

条件４より　ａ＋ｂ＋ｃ＝９ｎ（ｎは自然数）

こんなことから考えて、いくつか挙げますと
１８０、３６０、５８５。

【問題３】

平方数を９で割ったときのあまりはかならず０、１、４、７になるんですね。

１６３４５２８４５６５２８９は各桁を足すと６８。

６＋８＝１４、１＋４＝５

ということで初めの数を９で割ったときのあまりは５。
よってこの数は平方数ではないということが分かりました。

◆大阪府　Taketsuna さんからの解答

【問題１】

100x+10y+z とする

x+y+z　が　９の倍数であるとすると

100x+10y+z
= 99x+x+9y+y+z
= 99x+9y+x+y+z

x+y+z、99x+9yが９の倍数より

100x+10y+zは９の倍数

【問題３】

各桁の数を足す操作を繰り返して答えが一桁になる演算を
「桁和を求める」と、呼ぶことにする

ある平方数の桁和を求めると、必ず結果は１，４，７，９のいずれかになる。
これを証明する。

帰納法により行う。

1桁の数の平方数の桁和は１，４，７，９になる。

12=1　22=4
32=9　42=16=7
52=25=7　62=9
72=49=13=4　82=64=1
92=81=9

仮定
ｎ桁の数の平方数の桁和が1,4,7,9のいずれかになると仮定する

(n+1)桁の平方数の桁和が1,4,7,9になることをしめす。

(n+1)桁の数を

an*10n+an-1*10n-1+.....+ a0*100
と表すと

その平方数は

(an*10n+an-1*10n-1+.....+ a0*100)*(an*10n+an-1*10n-1+..... +a0*100)
その桁和は　展開した式で現れる各数の桁和になるから
(an+an-1+an-2+...+a0)*(an+an-1+...+a0)
の桁和である

この式のan+an-1+...+a0の値は明らかにｎ桁より小さい数である。

仮定よりｎ桁以下の数の平方数の桁和は1,4,7,9になるから
(n+1)桁の数の平方数の桁和は1,4,7,9になる

Q.e.d.

よって、16345284565289　の桁和は　５　となり、平方数になっていない。

◆神奈川県　ch3cooh さんからの解答

【問題１】

各桁をx1,x2,x3,x4...と一桁にばらし、その和を取る。

その値が複数の桁になった場合、
各々の桁をy1,y2,y3...としその和を取る。
以後、１桁になるまで繰り返す。
その答えが、'9'の場合は9で割り切れる。
(拡張として3,6,9の場合は3で割り切れる。)

理由:
１）9に対して9を順番に足して行くと、一桁目から１を引き二桁目に１を加えるため上記の条件が成り立つ。

２）100以上の桁に値がある場合は1桁目を合わせた上で下から順番に合わせて行けばOK

３）90に9を足した場合も上記の条件が成立する。

４）桁上がりがある場合も、9が0となり、上の桁に1が加わるため成立する。

５）これらの操作で作成できない正の整数はない

AM電波は、帯域として27KHz使用することを認められているから、そのような周波数になる(はず？)

【問題２】

360,180,585の３つのみ

条件を数式にする。
不明の値は x, 各桁の値を上の桁からx1,x2,x3とする。

1) x3= {0,5}

2) x1＜x2

3-1) x2= even {0,2,4,6,8}
3-2) x2＞x3

4) 問題1の条件

●求め方

x3= 0 [1]

　x2= {2,4,6,8} [3-1,3-2]

　x2= 2 => x1= 7[ 4) ] fail [2)]

　x2= 4 => x1= 5[ 4) ] fail [2)]

　x2= 6 => x1= 3[ 4) ] success [2)]

　x2= 8 => x1= 1[ 4) ] success [2)]

x3= 5 [1]

　x2= {6,8} [3-1,3-2]

　x2= 6 => x1= 7[ 4) ] fail [2)]

　x2= 8 => x1= 5[ 4) ] success [2)]

この順番が無駄が最も少ないような気がする。

【問題３】

平方数ではない。

開平方の計算方式では無駄が多い。
通常の開平方とは逆に、下から開いて行く。

16345284565289
一番下の桁は9ゆえに、答えの１桁目は3

16345284565289-9=16345284565280

A: **9

２桁目は上の答えの２桁目を0にしなくてはNG
ゆえに2

580=2*2*100+9*2*10なので

16345284565280-580
=16345284564700

A: *29

16345284564700

ここで、３桁目の値に注目、答えが奇数になっている

Xを1,2桁目が0の値として、
X+29が答えとすると、今までの計算から

(X+29)2-292
= X2+X*58

偶数にあらゆる整数をかけても答えは偶数、
ゆえにXの最初の条件を満たす値が存在しないことは明白である。
ゆえに、平方数ではない。

◆神奈川県　山宮　貴志 さんからの解答

【問題１】

　１００а＋１０ｂ＋ｃ
＝９９（１１а＋ｂ）＋а＋ｂ＋ｃ

よってа＋ｂ＋ｃが９の倍数なら
１００а＋１０ｂ＋ｃは９の倍数である。

すなわち各桁の和が９の倍数であれば元の数は９の倍数である。

【問題２】

１と４の条件からその整数は４５の倍数である。
あとは３桁の４５の倍数から２と３の条件を満たす整数を拾っていけば、
答えは１８０、３６０、５８５の３つ。

【問題３】

平方数を３で割ると余りは必ず０か１である。なぜなら

(３ｎ)2＝９ｎ2・・・・余り０

(３ｎ＋１)2＝９ｎ2＋６ｎ＋１・・・・余り１

(３ｎ＋２)2＝９ｎ2＋１２ｎ＋４・・・・余り１

そこで問題の数を３で割ると余りは２なので平方数ではない。

感想

問題３はまず５で割ってみましたがだめだったので次に４で割ってみましたが、これもだめだったので３でやったらうまくいきました。
問題１は中学の試験で出ました。
全部簡単でした。

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