数学の部屋へもどる◆石川県 迷える羊 さんからの解答
【問題１−１】
１０と１２の最小公倍数は、６０である。
６０÷１２＝５だから、大きいサイコロ５面の幅と小さいサイコロ６面の幅がそろうので、左端がそろうのは６個目。
【問題１−２】
最初の１の面の左上の点を原点として、大きいサイコロの６の面がｎ回目に出る時の
左上の点の位置をＦ(ｎ)、
右上の点をＧ(ｎ)とするとき、
Ｆ(ｎ)＝７２ｎ−１２
Ｇ(ｎ)＝７２ｎ
同様に小さいサイコロの
左下の点をｆ(ｋ)、
右下をｇ(ｎ)とする。
ｆ(ｋ)＝６０ｋ−１０
ｇ(ｋ)＝６０ｋ
今、大きいサイコロの６の目の上に、小さいサイコロの６の面がはみ出さずにのるとすると、
Ｆ(ｎ)≦ｆ(ｋ)
Ｇ(ｎ)≧ｇ(ｋ)
計算すると、
０≦７２ｎ−６０ｋ≦２
今、条件を満たす最小の自然数ｎ，ｋは、
ｎ＝５、ｋ＝６
【おまけ１−１】
２通り。
まず、１の面を上にして考える。
２の面は１の面の真下にくる事はないから、２の面を手前にして考える。
この時、６の面は真下、５の面は奥にくる事が決まっているので、３と４だけが位置が決まらない。
そこで右と左の面に３と４のどちらが入っているかによって、２種類のサイコロが存在する事がわかる。
【おまけ１−２】
２と３と６の模様は向きによって、２種類の見え方があるから、そのどちらの向きで書いてあるかを考えるとサイコロはそれぞれ２通りの場合がある。
よって、サイコロに１〜６の絵を書きこむ方法は、
２×２×２×２＝１６通り。
【おまけ１−３】
まず、１の面を上にする。
真下の面に入る数は５種類の中から選べるので、５通り。
４つの側面に残る４つの数字を入れるので、２４通り。
その中で１の面に垂直な軸で回転すると同じものになるのが、４組ずつあるから、６通り。
よって、３０通り。
◆神奈川県 みき ひろひと さんからの解答
【問題１−１】
６個目
「１０」と「１２」の最小公倍数は「６０」。
よって、６０ｃｍのところで辺が一致する。
このとき１２ｃｍのさいころは５個並んでいるので、
「左端がそろう」のは６個目。
【問題１−２】
３０個目
問題条件の周期性より、題意に適合するのは
・２つのさいころの「６」の目の右端が一致する
・２つのさいころの「６」の目の左端が一致する
＝２つのさいころの「５」の目の右端が一致する
の２つの場合。
しかし問題１−１より、右端が一致するとき
１０ｃｍのさいころの目は必ず「６」となるので、前述の事象の２つ目はありえない。
よって「２つのさいころの「６」の目の右端が一致する」場合を考える。
・１２ｃｍのさいころを５個並べた時に右端が一致する
・１２ｃｍのさいころの「６」の目は６個ごと現れる
ということから「５」と「６」の最小公倍数
すなわち３０個ごとに問題文の事象が発生する。
よって最初は３０個目。
【おまけ１−１】
２通り
【おまけ１−２】
１６通り
「１」「４」「５」を固定させて考えると
「２」「３」「６」の目の書き方はそれぞれ２通りあるので
「２」「３」「６」の目の組み合わせは８通り。
１−１より「１」「４」「５」の固定の仕方は２通り。
よって８×２＝１６通り。
◆岡山県 Von Hinge さんからの解答
【問題１−１】
結論から言うと１０と１２の最小公倍数６０を１２で割った値に１を足して答えは６個目です。
なぜそのように考えられるかというと、
問題文の『さいころ』『ｃｍ』などの余分な語句を取り除いて、さいころを並べる操作や数え方を四則演算などに置き換えると、
『１２ｃｍのさいころ』→『１２（ただの数）』
『１０ｃｍのさいころ』→『１０』
『左端がそろう』→『倍数が一致する』
『１２のさいころで数えたとき左端から何個目か』
↓
『公倍数を１２で割って１足すといくらか』
となり問題文は
『０の次に１２と１０の倍数が一致しその倍数を１２で割って１足すといくらになりますか』
となりますがもう少しきれいに直すと
『１２と１０の最小公倍数を１２で割って１足すといくらになりますか』
となるので
１２＝２×２×３
１０＝２×５ より
１＋２×２×３×５÷１２
＝１＋５
＝６（個目）
【問題１−２】
今度はさいころの辺の長さでなくさいころのマス目の数で考えていますので、１−１と同様にして問題文を変えると、
さいころの辺の比が６：５なので
『１２ｃｍのさいころ』→『６』
『１０ｃｍのさいころ』→『５』
『１２cmのさいころの６の目の上に１０cmのさいころの６の目がはみ出さずにのる』
↓
『６と５の倍数が一致する』
『左端がそろうのは１２のさいころで数えたとき左端から何個目か』
↓
『そのときの倍数（公倍数）はいくらか』
となり問題文は
『６と５の最小公倍数はいくらか』となり
６×５＝３０（個目）
【おまけ１−１】
まず１を書きこむとすると、１の面に接している面に書かれている数は２，３，４，５であるので、それらの組み合わせを考えると
２３５４
２４５３
３２４５
３５４２
４２３５
４５３２
５３２４
５４２３
の８通りです。
しかしさいころの１の面を中心にして
９０度、１８０度、２７０度回転させると
２３５４、３５４２、５４２３、４２３５は同じで
２４５３、４５３２、５３２４、３２４５は同じとみなせます。
よって２通り。
で１と６を入れ替えて４通りになりそうですが、１を上にして
側面が２３５４と６を上にして側面が２４５３は同じものなので、書き方は２通りである。
【おまけ１−２】
２、３，６の見方は３つとも２通りなので
２×２×２＝８通り
１−１の２通りをかけて
１６通り。
【おまけ１−３】
まず１と向かい合う数は２〜６の５通り
１と接する数は４つなので仮にＡ，Ｂ，Ｃ、Ｄとします。
するとＡ，Ｂ、Ｃ、Ｄの並べ方かたは
ＡＢＣＤ
ＡＢＤＣ
ＡＣＢＤ
ＡＣＤＢ
ＡＤＢＣ
ＡＤＣＢ
とあとＢ、Ｃ、Ｄを先頭にして
計２４通り（４！通り）
そのうち回転させれば一致するものは除くと、６通りになります
（（４−１）！通り（円順列））
よって５×６＝３０通り
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