『今週の問題』第56回　解答

◆神奈川県　みき ひろひと さんからの解答。

【問題１】

６通り

（１，６）（２，５）（３，４）
（４，３）（５，２）（６，１）以上６通り

【問題２】

４
――――
３６		（＝ １
―――
９		）

合計「２」は（１，１）の１通り
合計「３」は（１，２）（２，１）の２通り
合計「１２」は（６，６）の１通り

よって全組み合わせ（３６通り）のうちの４通りが１回目負け

【問題３】

８
――――
３６		（＝ ２
―――
９		）

合計「７」は６通り
合計「１１」は２通り

よって全組み合わせ（３６通り）のうちの８通りが１回目勝ち

【問題４】

２５
―――――
３２４

２回目で勝つ→（４，５，６，８，９，１０）のいずれかを２回連続で出す。

合計「４」「１０」は３通り
合計「５」「９」は４通り
合計「６」「８」は５通り

よって

( 3×3
――――
36×36		+4×4
――――
36×36		+5×5
――――
36×36		 )×2
＝ (９＋１６＋２５)×２
――――――――――
３６×３６
＝ １００
――――――
１２９６
＝ ２５
―――――
３２４

◆石川県　迷える羊 さんからの解答

【問題１】

６通り。

【問題２】

(１＋２＋１)
――――――
３６		＝ １
―――
９

【問題３】

(６＋２)
――――――
３６		＝ ２
―――
９

【問題４】

１回目に（４，５，６，８，９，１０）が出る確率は、

ａ＝４，１０のとき、 ３
――――
３６

ａ＝５，９のとき、 ４
――――
３６

ａ＝６，８のとき、 ５
――――
３６

２回目も同じ数が出る確率は、それぞれの２乗である。

よって、２回目に勝つ確率は、

(９＋１６＋２５)×２
―――――――――――
３６×３６
＝ ２５
―――――
３２４

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１】

（１，６）（６，１）（２，５）
（５，２）（３，４）（４，３）

答え　６通り

【問題２】

（１，１）
（１，２）（２，１）
（６，６）

４
――――
３６		＝ １
―――
９

答え　 １
―――
９

【問題３】

（１，６）（６，１）
（２，５）（５，２）
（３，４）（４，３）
（５，６）（６，５）

８
――――
３６		＝ ２
―――
９

答え　 ２
―――
９

【問題４】

（( 1
――
12		)2+( 1
――
9		)2+( 5
――
36		)2）×2
＝ ２５
―――――
３２４

答え　 ２５
―――――
３２４

【おまけ】

等比数列の和の極限値を求める。

私が勝つ確率
　２４４／４９５＝０．４９２９２９

コンピュータが勝つ確率　
　２５１／４９５＝０．５０７０７０

２５１
―――――
４９５		− ２４４
――――
４９５		＝ ７
――――
４９５

７／４９５だけコンピュータの勝つ確率が高い。

サイコロを振らない方が７／４９５だけ有利です。

プログラムを組んでシミュレーションした結果は、１千万回の試行で、

私が勝つ確率　　　　　　０．４９２９５５２

コンピュータが勝つ確率　０．５０７０４４８
でした。
（運よく無限ループに入らないで結果が出ました。）　

◆長崎県　Dr.Berserker さんからの解答

【問題１】

普通、このようなゲームでは、二つのさいころは区別しないはず。

なので、（１、６）（２、５）（３、４）の３通り。
さもなくば、６通り。

【問題２】

ここから先は、二つのさいころを区別して考えた方がわかりやすいはず。

２になる場合の数は１、
３になる場合の数は２、
１２になる場合の数は１、

あわせて、
４／３６＝０．１１１１１・・・・・ですね。

【問題３】

７になる場合の数は６、
１１になる場合の数は、（６、５）（５、６）の二つですね。なので、

８/３６＝０．２２２２２２２２・・・・・

【問題４】

それぞれについて確率を求めてみます。

４：３／３６＝０．０８３３３３
５：４／３６＝０．１１１１１１
６：５／３６＝０．１３８８８８
８：５／３６＝０．１３８８８８
９：４／３６＝０．１１１１１１
１０：３／３６＝０．０８３３３３

それぞれについて、勝つ確率はこの二乗であり、また、これらは互いに背反なので、それぞれの二乗の和を取ると、

１００／１２９６＝０．０７７１

【おまけ】

一回目の目の和がＡであったとし、また、目の和がＡになる確率をＰとします。

２回目で勝つ確率は、Ｐ2、

３回目で勝つ確率は、２回目で、７とＡが出てきてはいけないので、

Ｐ×(１−Ｐ− ６
―――
３６		)×Ｐ

４回目以降の確率は、

Ｐ2×(１−Ｐ− ６
―――
３６		)k

となります。（Ｋ≧０、Ｎ≧２）

これは、Ｎ≧２の範囲で、等比数列となっているので、この和は、

(Ｐ2×(１−Ｐ− １
――
６		)k)／(１−１＋Ｐ＋ １
――
６		)

となり、この極限値は、

Ｐ2／(Ｐ＋ １
――
６		)

となります。このＰに、それぞれのＡの確率を代入して、和を取ると

2
―――
1296		×(9÷9
――
36		 +16÷10
――
36		+25÷11
――
36		)
＝2
―――
1296		×(36+1.6×36+ 25
――
11		×36)
＝ 1
――
18		×(1＋ 16
――
10		＋ 25
――
11		)
＝ １３４
――――
４９５

０≦Ｋ≦∞、Ｎ≧２としたので、１回目に勝つ確率を足しあわせると、

１３４
――――
４９５		＋ ８
―――
３６
＝ ２４４
――――
４９５
＝０．４９２９２９・・

◆石川県　平田　和弘 さんからの解答

【問題１】

(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)　の6通りあります。

【問題２】

合計が2のとき、(1,1)　の1通り
合計が3のとき、(1,2),(2,1)　の2通り
合計が12のとき、(6,6)　の1通り

のとき負けるので、1回目で負ける確率は

4/36＝1/9　となります。

【問題３】

合計が7のとき、問題１より　6通り
合計が11のとき、(5,6),(6,5)　の2通り

のとき勝ちとなるので、1回目で勝つ確率は

8/36＝2/9　となります。

【問題４】

2回目で勝つ確率は、1回目で引き分け(もう1回投げられる)て2回目で勝つので、
1回目で4,5,6,8,9,10を出して2回目で同じ数字を出せばよい。

合計が4のとき、
　(1,3),(3,1),(2,2)　の3通り

合計が5のとき、
　(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)　の4通り

合計が6のとき、
　(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)　の5通り

合計が8のとき、
　(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)　の5通り

合計が9のとき、
　(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)　の4通り

合計が10のとき、
　(4,6),(6,4),(5,5)　の3通り

で、4,5,6,8,9,10はそれぞれ独立事象なので、

2×( 3
――
36		× 3
――
36		+ 4
――
36		× 4
――
36		+ 5
――
36		× 5
――
36		)
2×( 9
――――
1296		+ 16
――――
1296		+ 25
――――
1296		)
＝ １００
――――――
１２９６
＝ ２５
―――――
３２４
＝0.07716049382・・・・

◆東京都　かぶ さんからの解答

【問題１】

確率計算の便宜上、２つのサイコロを区別すると

（１，６）（２，５）（３，４）
（４，３）（５，２）（６，１）の６通り。

【問題２】

１回目で負けるのは、最初に出た目の和が２，３，１２のいずれかになった場合である：

和が２になるのは（１，１）
和が３になるのは（１，２）（２，１）
和が１２になるのは（６，６）

よって負ける場合の数は４通り

目の出方は全体で３６通りあるから、
１回目で負ける確率は１／９

【問題３】

１回目で勝つのは、最初に出た目の和が７，１１のいずれかになった場合である。

和が７になるのは（問題１より）６通り
和が１１になるのは（５，６）（６，５）の２通り

よって負ける場合の数は８通りだから、
１回目で勝つ確率は２／９

【問題４】

まず、１回目では「引き分け」なければならない。

そのためには
和が４，１０（各３通り→確率各１／１２），
５，９（各４通り→確率各１／９）
６，８（各５通り→確率各５／３６）のいずれかになることが必要である。

さらに２回目で勝つには、１回目と同じ目が出なければならない。

例えば
「４」で勝つ確率は( 1
――
12		)2

「５」で勝つ確率は( 1
――
9		)2
　・・・

このように他の「６」「８」「９」「１０」についても確率を求め、逐一足していくと、求める確率は、

2・（( 1
――
12		)2+( 1
――
9		)2+( 5
――
36		)2）
＝ ２５
―――――
３２４

【おまけ】

まず、１回目で勝つ確率は（問題３より）２／９

次に、２回目以降で勝つ確率を考える。
これは「１回目に４，５，６，８，９，１０を出しつつ勝つ確率」と言い換えてもいい：

例えば１回目の試行で「４」（確率１／１２）が出たとき
２回目で
　勝つ（４が出る）確率１／１２、
　負ける（７が出る）確率１／６

３回目で
　勝つ（４が出る）確率１／１２、
　負ける（７が出る）確率１／６

・・・・・・
（それぞれ「前回の試行での引き分け」を基準１とした確率である）

このように、何回目の試行で勝負が決まるにしても、
各試行毎の勝ち負けの確率は１：２に分配されているから、全体的に見ても
「４」で＜勝つ／負ける＞確率は１：２に分配される

よって「４」で勝つ確率は
１
―――
１２		× １
――
３		＝ １
―――
３６

同様のことを他の「５」「６」「８」「９」「１０」でもやると、
「１０」で勝つ確率は「４」と同じ１／３６
「５」「９」で勝つ確率はそれぞれ、
１
――
９		× ２
――
５		＝ ２
―――
４５

「６」「８」で勝つ確率はそれぞれ、
５
―――
３６		× ５
――
１１		＝ ２５
――――
３９６

これまで出てきた「勝つ確率」を全て足すと：

2
―
9		+2×( 1
――
36		+ 2
――
45		+ 25
―――
396		）
＝ ２４４
―――――
４９５		・・・答

☆これは、

「負ける確率」
＝１− ２４４
―――――
４９５
＝ ２５１
―――――
４９５

と比べて少ないので、サイコロを振る側から見るとやや分の悪い賭けであると言える。

◆東京都　めがしんじ さんからの解答

【問題１】

(1,6):(2,5):(3,4):(4,3):(5,2):(6,1)＝6通り

さいころの出方の延べ数＝6×6＝36通り

【問題２】

2となる延べ数：(1,1)＝1通り
3となる延べ数：(1,2):(2,1)=2通り
12となる延べ数：(6,6):＝1通り

よって、
1回目に負ける確率＝(1+2+1)/36=1/9

【問題３】

11となる延べ数:(5,6):(6:5)＝2通り

よって、
1回目に勝つ確率＝（2+6）/36＝2/9

【問題４】

　n回目(n≧2)に勝つ確率
＝(n-1)回目まで引き分ける確率×n回目に勝つ確率

さいころの出目の合計は2〜12でそれぞれ確率が違うので個別に確率を算出する。

出目の合計

2 (1,1)                              ＝1通り→1/36
3 (1,2):(2,1)                        ＝2通り→1/18
4 (1,3):(2,2):(3,1)                  ＝3通り→1/12
5 (1,4):(2,3):(3,2):(4,1)            ＝4通り→1/9 
6 (1,5):(2,4):(3:3):(4,2):(5,1)      ＝5通り→5/36 
7 (1,6):(2,5):(3,4):(4,3):(5,2):(6,1)＝6通り→1/6
8 (2,6):(3,5):(4,4):(5,3):(6,2)      ＝5通り→5/36
9 (3,6):(4,5):(5,4):(6,3)            ＝4通り→1/9
10(4,6):(5,5):(6,4)                  ＝3通り→1/12
11(5,6):(6,5)                        ＝2通り→1/18
12(6,6)                              ＝1通り→1/36

1回目に引き分ける場合＝（4,5,6,8,9,10）

●1回目に4,10が出た時、2回目以降に勝つ確率

1回目に4,10が出る確率＝(1/12)×2=1/6

2回目以降、
　1回の操作で引き分ける確率
＝１−勝つ確率−負ける確率

2回目以降、
　1回の操作で勝つ確率
＝さいころの出目が1回目の数字となる確率
＝1/12

2回目以降、
　1回の操作で負ける確率
＝7が出る確率
＝1/6

よって
1回の操作で引き分ける確率
＝1-1/12-1/6
=3/4

よって1回目に4,,10が出て、n回目以降に勝つ確率＝P1とすると
P1= 1
――
6		×( 3
――
4		)n-2× 1
――
12
(n=2,3,4...)

●同様に、5,9が出た時と6,8が出た時をP2,P3として計算すると

P2= 2
――
9		×( 13
――
18		)n-2× 1
――
9
(n=2,3,4...)

P3= 5
――
18		×( 25
――
36		)n-2× 5
――
36
(n=2,3,4...)

よってn(n≧2)回目に勝つ確率

P=P1+P2+P3

2回目に勝つ確率はn=2を代入して

25/324

【おまけ】

上の式を、n≧2で合計してn→∞で極限値を算出する。
（式は複雑なので割愛）

1回目に勝つ確率＋2回目以降に勝つ確率
＝ 1
――
9		+( 1
――
18		+ 4
――
45		+ 25
―――
198		)
＝ 244
―――
495
≒49.29%

従って、勝つ確率が若干低い

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