『今週の問題』第55回　解答

◆神奈川県　みき ひろひと さんからの解答。

【問題１−１】

すいか、２分の１
そのまんま？

【問題１−２】

直感：すいか＋すいか
確率：ブタ＋すいか

計算してみました。

ビ＋ビ：１／３６
ビ＋ブ：４／３６
ビ＋す：６／３６
ブ＋ブ：４／３６
ブ＋す：１２／３６
す＋す：９／３６

●実験結果（試行数 １００）

ビ＋ビ： ４回
ビ＋ブ：１８回
ビ＋す： ８回
ブ＋ブ：１７回
ブ＋す：２５回
す＋す：２８回

あれ？

【おまけ】

ブタ２面・すいか３面のサイコロとブタ３面・すいか２面のサイコロを作ればよい。

【問題２−１】

１４／３６

【問題２−２】

間違い

正しい答えは約１．４３（？）

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１−１】

すいか　３／６＝１／２

【問題１−２】

すいか、すいか

【問題１−３】

すいか、すいか
　１／２×１／２＝１／４

すいか、ブタ
　（１／２×１／３）×２＝１／３

すいか、ビール
　（１／２×１／６）×２＝１／６

ブタ、ブタ
　１／３×１／３＝１／９

ぶた、ビール
　（１／３×１／６）×２＝１／９

ビール、ビール
　１／６×１／６＝１／３６

１
――
４		＋１
――
３		＋１
――
６		 ＋１
――
９		＋１
――
９		＋１
―――
36
＝９＋１２＋６＋４＋４＋１
―――――――――――――
３６
＝３６
――――
３６
＝１

計算してみると、
すいか、ブタ　の確率が一番高い。
１／３

【おまけ】

すいかの出る確率　１／ｓ

ブタの出る確率　　１／ｐ

( １
――
ｓ		)2＝２× １
――
ｓ		×１
――
ｐ

２ｓ＝ｐ

題意を満たすのは、
ｓ＝３、ｐ＝６　
１
――
ｓ		 ＝１
―――
３		 ，１
―――
ｐ		 ＝１
―――
６

すいかが２面、ブタが１面、ビールが３面あるサイコロを作ればよい。

【問題２−１】

１／１　２／１　３／１　４／１　５／１　６／１
１／２　２／２　３／２　４／２　５／２　６／２
１／３　２／３　３／３　４／３　５／３　６／３
１／４　２／４　３／４　４／４　５／４　６／４
１／５　２／５　３／５　４／５　５／５　６／５
１／６　２／６　３／６　４／６　５／６　６／６
整数になる場合
１　　　２　　　３　　　４　　　５　　　６
　　　　１　　　　　　　２　　　　　　　３
　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　２
　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１
１４
――――
３６		 ＝７
――――
１８

【問題２−２】

この考えは間違い。
１
―――
６		 ， ６
―――
１

積は１になるが和は１にならない。

和
―――
３６
＝ ２１
―――
３６		 ×(1＋ 1
―
2		 ＋ 1
―
3		 ＋ 1
―
4		 ＋ 1
―
5		 ＋ 1
―
6		 )
＝ ７
―――
１２		 × ４９
―――
２０
＝ ３４３
―――――
２４０

【おまけ】

サイコロ１のすいかの面数a1，
サイコロ２のすいかの面数a2
サイコロ１のブタの面数b1，
サイコロ２のブタの面数b2 とする。

a1
―――
6		 × a2
―――
6
＝ a1
―――
6		 × b2
―――
6		 ＋ a2
―――
6		 × b1
―――
6

a1×a2
=a1×b2+a2×b1

6≧a1,a2,b1,b2≧0,
a1×a2＞0,
a1+b1≦6,
a2+b2≦6

２２組だと思います。

NO 1
a1b1a2b2確率
10112.77777777777778E-2

NO 2
a1b1a2b2確率
10225.55555555555556E-2

NO 3
a1b1a2b2確率
11205.55555555555556E-2

NO 4
a1b1a2b2確率
10338.33333333333333E-2

NO 5
a1b1a2b2確率
11308.33333333333333E-2

NO 6
a1b1a2b2確率
1140.111111111111111

NO 7
a1b1a2b2確率
1150.138888888888889

NO 8
a1b1a2b2確率
1160.166666666666667

NO 9
a1b1a2b2確率
2022.111111111111111

NO 10
a1b1a2b2確率
2121.111111111111111

NO 11
a1b1a2b2確率
2033.166666666666667

NO 12
a1b1a2b2確率
2230.166666666666667

NO 13
a1b1a2b2確率
2142.222222222222222

NO 14
a1b1a2b2確率
2240.222222222222222

NO 15
a1b1a2b2確率
2250.277777777777778

NO 16
a1b1a2b2確率
2260.333333333333333

NO 17
a1b1a2b2確率
3033.25

NO 18
a1b1a2b2確率
3132.25

NO 19
a1b1a2b2確率
3340.333333333333333

NO 20
a1b1a2b2確率
3350.416666666666667

NO 21
a1b1a2b2確率
3360.5

NO 22
a1b1a2b2確率
4242.444444444444444

【コメント】

違うさいころを使うことを認めると、こんなにあるんですね。

◆石川県　迷える羊 さんからの解答

【問題１−１】

西瓜、１／２

【問題１−２】

西瓜と豚

西瓜と豚、１２／３６
西瓜と西瓜、９／３６
西瓜とビール、６／３６
豚と豚、　４／３６
豚とビール、　４／３６
ビールとビール、１／３６

【おまけ】

『西瓜の面』の数を『豚の面』の数の２倍にする。

【問題２−１】

『Ｂ／Ａが整数になる』という事は、
『ＢはＡの倍数である【Ｂ＝Ａを含む】』という事と同値である。

Ｂ＝１、Ａ＝１
Ｂ＝２、Ａ＝１，２
Ｂ＝３、Ａ＝１，３
Ｂ＝４、Ａ＝１，２，４
Ｂ＝５、Ａ＝１，５
Ｂ＝６、Ａ＝１，２，３，６
確率は、７／１８

【問題２−２】

Ｂ／Ａの合計をＳとすると、

Ｓ＝Σ（Ｂ／Ａ）

＝ 1+2+3+4+5+6
―――――――
１		 ＋…＋ 1+2+3+4+5+6
――――――――
６		 

＝２１×（７２０＋３６０＋２４０＋１８０＋１４４＋１２０）÷７２０
＝ １０２９
―――――――
２０

Ｂ／Ａの平均値は、Ｓ／３６なので
Ｓ
―――
３６		 ＝ ３４３
――――――
２４０		 ＞１

（理由）
ｆ(χ)＝χ＋ １
――
χ		 とする。

　【χは正の実数】

ｆ(χ)＝ (χ−１)2
―――――――
χ		 ＋２

今、(χ−１)2，χはともに正の実数だから、
ｆ(χ)はχ＝１の時に、最小値２になる。

Ｓ＝ｆ(6)+ｆ(5)+ｆ(4)+2ｆ(3)+ｆ(5/2)+3ｆ(2)+ｆ(5/3)+2ｆ(3/2)+ｆ(4/3)+ｆ(5/4)+ｆ(6/5)+6ｆ(1)／２
Ｓ＞３６

よって平均値は１より大きい。

なお、Ｂ／Ａの相乗平均を計算すると１になる。

◆大阪府の高校生　ＣＨＥＣＫ さんからの解答

【問題１−１】

出る目の全ての場合の数は６通りで、ビール、ブタ、スイカの出る確率はそれぞれ
１／６，１／３，１／２

よってスイカが一番出やすく、
その確率は１／２

【問題１−２】

直感：スイカは一番出やすいが、スイカ＋スイカの組み合わせは１通りしか存在しない。
対してブタは２番目だが、ブタ＋スイカの組み合わせは２通り存在する。
だから、スイカ＋スイカかブタ＋スイカのどちらか。

計算：直感で書いた２つ以外の組み合わせは明らかにこの２つよりも確率が低い。
よって、この２つについてのみ考えると、

スイカ＋スイカ＝１／２×１／２＝１／４
ブタ＋スイカ＝１／３×１／２×２＝１／３

よって、ブタとスイカの組み合わせが一番出やすく、
その確率は１／３

【おまけ】

ブタ、スイカの出る確率をそれぞれ
ｐ／６、ｑ／６とすると、（ｐ、ｑともに１以上６以下の整数）

ブタ＋スイカ＝ｐ／６×ｑ／６×２＝ｐｑ／１８
スイカ＋スイカ＝ｑ／６×ｑ／６＝ｑ2／３６

これが等しくなればよいので、
　２ｐｑ＝ｑ2

∴ｑ（ｑ−２ｐ）＝０
よって（ｐ，ｑ）＝（１，２）（２，４）（３，６）

すなわち、ブタの目とスイカの目の数の比が１：２であればよい。
（もしくはブタもスイカもないさいころ？）

【問題２−１】

Ｂ＝１のときＡ＝１
　∴１／６×１／６＝１／３６

Ｂ＝２，３，５（素数）のとき、Ａ＝ＢまたはＡ＝１
　∴１／６×１／３×３＝１／６

Ｂ＝４のときＡ＝１，２，４
　∴１／６×１／２＝１／１２

Ｂ＝６のときＡ＝１，２，３，６
　∴１／６×２／３＝１／９

以上の和をとって７／１８

【問題２−２】

正しくない
（∵全ての分数の出来る確率は全て等しく、その期待値（平均）はその確率×出る目の数の総和で表される。
Ａが大きい場合とＢが大きい場合は同じ確率で起こるが、その分数が１より大きいか小さいかで分けたとき、１より大きいものの和の方が１より小さい和よりも明らかに１との差が大きい。
よって平均は１を越える。）

１つの分数が出来る確率は１／３６で全て等しい

分数の全ての和は

(１＋ 1
―
2		 ＋ 1
―
3		 ＋ 1
―
4		 ＋ 1
―
5		 ＋ 1
―
6		 )(1＋2＋3＋4＋5＋6)
＝ １０２９
――――――
２０

よって平均は

＝ １０２９
――――――
２０		 × １
―――
３６
＝ ３４３
――――――
２４０

◆千葉県　緑川　敦 さんと緑川　正雄 さんからの解答

【問題１】

【問題１−１の答え】

すいか

確率は3÷6=1/2

【問題１−２の答え】

ブタとすいか

【問題１−３の答え】

ブタとすいか
ビールとビール
　1/6×1/6=1/36

ビールとブタ
　1/6×2/6+2/6×1/6=4/36=1/9

ビールとすいか
　1/6×3/6+3/6×1/6=6/36=1/6

ブタとブタ
　2/6×2/6=4/36=1/9

ブタとすいか
　2/6×3/6+3/6×2/6=12/36=1/3

すいかとすいか
　3/6×3/6=9/36=1/4

【おまけの答え】

ブタの個数1、すいかの個数2、ビールの個数3

ブタの個数をm、すいかの個数をnとする。

「ブタ+すいか」の出る確率はm/6×n/6×2であり、
「すいか+すいか」の出る確率はn/6×n/6である。

この値が同じならば、m/6×n/6×2=n/6×n/6

n=0又はn=2×m
この場合、すいかが0であるという解(n=0)は除く。

m=1,n=2
即ちブタの個数を1、すいかの個数2、ビールの個数3

及び

m=2,n=4
即ちブタの個数を2、すいかの個数4、ビールの個数0
後者の解も除く。

【問題２−2の答え】

　B/Aの平均

={(1/1+...+6/1)+(1/2+...+6/2)+(1/3+...+6/3)+(1/4+...+6/4)+(1/5+...+6/5)+ (1/6+...+6/6)}÷36
=(1＋2＋3＋4＋5＋6)( １＋ 1
―
2		 ＋ 1
―
3		 ＋ 1
―
4		 ＋ 1
―
5		 ＋ 1
―
6		 )÷36
=21×1764÷720÷36
= ３４３
――――――
２４０

　◆　問題へもどる

　◆　今週の問題へ

数学の部屋へもどる