数学の部屋へもどる◆東京都 K さんからのコメント。
【おまけ】について
もしＡ,Ｂ,Ｃ 同時に投げた場合。
Ａが勝つ確率
| 1 6 | ×0＋ | 1 6 | × | 3 6 | × | 1 6 | ＋( | 1 6 | × | 3 6 | × | 5 6 | )×4＝ | 7 24 |
Ｂが勝つ確率
| ( | 1 6 | ×0)×3＋( | 1 6 | × | 6 6 | × | 5 6 | )×3＝ | 10 24 |
Ｃが勝つ確率
| 1 6 | × | 1 6 | × | 3 6 | ＋( | 1 6 | × | 2 6 | × | 3 6 | )×4＋ | 1 6 |
× | 6 6 | × | 6 6 |
＝ | 7 24 |
３つ同時に投げたらＢが勝つ確率が高くなるんですね。
◆神奈川県 みき ひろひと さんからの解答。
【問題１】
２７
サイコロの向かい合う（相対する）面の和は「７」。
一番上のサイコロの「１」の裏は「６」だから、
７＋７＋７＋６＝２７
【問題２−１】
６
【問題２−２】
イ ４ ，ウ ３
【おまけ その１】
Ｂ
Ａ，Ｂの目の組み合わせは３６通り。
Ａの目の方が大きくなるのは１５通り（約４２％）。
Ｂの目の方が大きくなるのは２１通り（約５８％）。
よって「Ｂ」。
ちなみに実験結果は４４対５６で「Ｂ」が勝ちました。
【おまけ その２】
Ｃ
「おまけ その１」と同様に
Ｂの目の方が大きくなるのは１５通り（約４２％）。
Ｃの目の方が大きくなるのは２１通り（約５８％）。
よって「Ｃ」。
ちなみに実験結果は４８対５２で「Ｃ」が勝ちました。
【おまけ その３】
「おまけ その１・その２」と同様に
Ｃの目の方が大きくなるのは１５通り（約４２％）。
Ａの目の方が大きくなるのは２１通り（約５８％）。
よって「Ａ」。
ちなみに実験結果は４１対５９で「Ａ」が勝ちました。
うーん、こういうことがあるんですねぇ。
というか、こういう問題が作れるんですねぇ。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
７×３＋６＝２７
答え ２７
【問題２−１】
答え ア−６
【問題２−２】
答え イ−４ ウ−３
おまけ
６×６の表を作り、星取りを出す。
【おまけ−１】
| A:B= |
15 ―― 36 | : |
21 ―― 36 | = |
5 ―― 12 | : |
7 ―― 12 | =0.416:0.583 |
【おまけ−２】
| B:C= |
15 ―― 36 | : |
21 ―― 36 | = |
5 ―― 12 | : |
7 ―― 12 | =0.416:0.583 |
【おまけ−３】
| C:A= |
15 ―― 36 | : |
21 ―― 36 | = |
5 ―― 12 | : |
7 ―― 12 | =0.416:0.583 |
確かに三すくみになっています。
プログラムを組んでシュミレーションを試みました。
一千万回で、
０．４１６７１５：０．５８３２８５でした。
◆千葉県の小学校３年生 緑川 敦 さんからの解答。
【問題１の答え】
２７
【問題２−１の答え】
６
【問題２−２の答え】
イが４ ウが３
【おまけ１の答え】
Ｂの勝ち
【おまけ２の答え】
Ｃの勝ち
【おまけ３の答え】
Ａの勝ち
【緑川 正雄 さんからのコメント】
問題１、問題２−１、問題２−２はサイコロを紙で作って確認しました。
おまけ１、おまけ２、おまけ３ はホームページの画面よりの実験結果です。
各々100回ずつ実験した結果は
おまけ１ではＢが、53回の勝ち
おまけ１ではＣが、55回の勝ち
おまけ１ではＡが、60回の勝ち
となりました。
机上の計算では、 おまけ１ではＢが、おまけ２ではＣが、おまけ３ではＡの勝つ確率が7/12になりました。
題意の通り、三すくみという結論です。釈然としませんが
P(B＞A)＞1/2、P(C＞B)＞1/2であっても
P(C＞A)＞1/2であるとは限らない。
という事に納得した次第です。
◆新潟県 mack さんからの解答。
【問題１】
まず、下の３個のサイコロの見えない面の和は
７×３＝２１
そして、１番上にあるサイコロの見えない面は６であるから
答え・・・２１＋６＝２７
【問題２−１】
サイコロの１の面の裏側にあたるから
ア・・・６
【問題２−２】
うまい説明が出来ない上に自信がないのですが
イ・・・４ ウ・・・３
【おまけ その１】
サイコロＢの方が大きい場合の組み合わせを考える。
サイコロＢ サイコロＡ ２がでたとき・・・・・１ ３がでたとき・・・・・１ ４がでたとき・・・・・１ １５がでたとき・・・・１、６、１１、１２、１３、１４ １６がでたとき・・・・１、６、１１、１２、１３、１４ １７がでたとき・・・・１、６、１１、１２、１３、１４６面のサイコロ２個の目を比較すると全部で３６通りの組み合わせがある。
【おまけ その２】
先ほどと同様に今度もＢが大きい場合を考える
サイコロＢ サイコロＣ ２がでたとき・・・・・なし ３がでたとき・・・・・なし ４がでたとき・・・・・なし １５がでたとき・・・・５、７、８、９、１０ １６がでたとき・・・・５、７、８、９、１０ １７がでたとき・・・・５、７、８、９、１０３６通りのうちＢの方が大きくなる組み合わせは全部で１５だからＣの方が大きい目が出やすい。
【おまけ その３】
サイコロＡが大きくなる組み合わせを考える。
サイコロＡ サイコロＣ １・・・・・・・・・・・なし ６・・・・・・・・・・・５ １１・・・・・・・・・・５、７、８、９、１０ １２・・・・・・・・・・５、７、８、９、１０ １３・・・・・・・・・・５、７、８、９、１０ １４・・・・・・・・・・５、７、８、９、１０Ａの方が大きくなるのは２１通りである。
＜感想＞
これがはたしてちゃんとした「三すくみ」なのでしょうか。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題１】
2段めから4段めは表と裏の目の和が7なので、
7×3＝21
また、1段目は表が1なので裏の目は6
よって、21＋6＝27 となります。
【問題２−１】
1の裏の目なので6です。
【問題２−２】
イは右側の図の３の裏の目になります。
ということでイは４になります。
【おまけその１】
さいころAとBには同じ目がないので引き分けはない。
1)A＝1 のとき、Aが勝つ確率は
Bのどの目がでても勝てないので
1/6×0＝0
2)A＝6〜14 のとき、Aが勝つ確率はそれぞれ
B＝2,3,4のとき勝ちなので
1/6×3/6＝1/6×1/2＝1/12
以上、独立事象なので、Aが勝つ確率は
1/12×5＝5/12
で、Bの方が大きい目が出易い。
【おまけその２】
さいころBとCには同じ目がないので引き分けはない。
1)B＝2〜4 のとき、Bが勝つ確率は
Cのどの目がでても勝てないので
1/6×0＝0
2)B＝15〜17 のとき、Bが勝つ確率はそれぞれ
C＝5,7,8,9,10のとき勝ちなので
1/6×5/6＝5/36
以上、独立事象なので、Bが勝つ確率は
5/36×3＝5/12
で、Cの方が大きい目が出易い。
【おまけその３】
さいころCとAには同じ目がないので引き分けはない。
1)C＝5 のとき、Cが勝つ確率は
A＝1のとき勝ちなので
1/6×1/6＝1/36
2)C＝7〜10 のとき、Cが勝つ確率はそれぞれ
A＝1,6のとき勝ちなので
1/6×2/6＝2/36
3)C＝18 のとき、Cが勝つ確率はそれぞれ
A＝1,6,11,12,13,14のとき勝ちなので
1/6×6/6＝1/6
以上、独立事象なので、Cが勝つ確率は
1/36＋2/36×4＋1/6＝15/36＝5/12
で、Aの方が大きい目が出易い。
(感想)
これが三すくみの状態ですね。
しかも3つとも確率が同じです。
ということは3つのさいころを同時に振ると結果(確率)は公平なのでしょうか？
◆石川県 迷える羊 さんからの解答
【問題１】
６＋７＋７＋７＝２７
【問題２】
ア＝６、イ＝４、ウ＝３
【おまけ】
サイコロＡ，Ｂ，Ｃの目をそれぞれａ，ｂ，ｃとする。
＜１＞ａ＞ｂとなる確率を、Ｐ（ａ＞ｂ）とすると、
≪１≫ａ＝ １のとき、
ａ＞ｂとなるｂの値は存在しない。
確率は、（１／６）×（０／６）＝０
≪２≫ａ＝ ６のとき、
ａ＞ｂとなるｂの値は、２，３，４
確率は、（１／６）×（３／６）＝３／３６
≪３≫ａ＝１１のとき、
確率は、（１／６）×（３／６）＝３／３６
≪３≫ａ＝１２のとき、
確率は、（１／６）×（３／６）＝３／３６
≪３≫ａ＝１３のとき、
確率は、（１／６）×（３／６）＝３／３６
≪３≫ａ＝１４のとき、
確率は、（１／６）×（３／６）＝３／３６
よって、Ｐ（ａ＞ｂ）＝５／１２
Ｂの方が大きい目が出やすい。
＜２＞同様に、Ｐ（ｂ＞ｃ）＝５／１２
Ｃの方が大きい目が出やすい。
＜３＞同様に、Ｐ（ｃ＞ａ）＝５／１２
Ａの方が大きい目が出やすい。
≪感想≫『おまけ』の現象は面白いです。
数字だけ見るとＣが勝ちそうな気もしますが、おそらくＡのサイコロに１１以上の数が４個もある
（４×５／３６の勝が見こめる）のが勝因ではないでしょうか。
Ｂには１１以上の数が３個しかなく、それらの数が必要以上に大きい数字なのでその他の数字（２，３，４）が小さくなっていることがＣに勝てない原因でしょう。
◆千葉県の中学校３年生 井上 真 さんからの解答
【問題１】
合計は、２７！！！！！！
【問題２−１】
アに入るのは６！！！！！
【問題２−２】
イ、ウに入るのは４、３！
【おまけ その１】
問題では、どちらの方が大きい数が出るか、ということだったけれど解らないので、どちらの方が勝率が高いか、ということであの答えになりました。
まずＡの
１より大きいかずが６個、
６より大きい数が３個、
１１より大きい数が３個、
１２より大きい数が３個、
１３より大きい数が３個、
１４より大きい数が３個Ｂにあって、
合計で２１個Ｂの方にＡより大きい数があります。
同じようにして、Ａの方に全部で１５個Ｂより大きい数がありました。
よって、答えはＢです。
【おまけ その２】
これも上と同じやり方で、答えはＣです。
【おまけ その３】
これも同じやり方で、答えはＡです。
結局Ａ＜Ｂ、Ｂ＜Ｃ、Ｃ＜Ａ と、なって三すくみのようになりました。
◆大阪府の中学校１年生 頑張れ甲陽学院 さんからの解答
【問題１】
答２７
【問題２−１】
答ア、６
【おまけ】
1/6x0=0
1/6x1/2=1/12
1/12x5=5/12
1/6x1/6x3+1/6x1x3=7/12
AとBで大きい目が出る確率が、
A：5/12 B:7/12 でB
BとCで大きい目が出る確率が、
B:5/12 C:7/12 でC
CとAで大きい目が出る確率が、
C:5/12 A:7/12 でA
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