数学の部屋へもどる◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題１】
25
×202
―――――
1010
なので、□＝2 となります。
【問題２−１】
●2番目ごとの試行のとき、
50÷2＝25、50−25＝25(枚)が表となります。
●3番目ごとの試行のとき、
50÷3＝16...2 で16(枚)が対象となります。
このうち、6番目ごとのものは再び表になります。
その枚数は50÷6＝8...2で8(枚)です。
要するに16枚のうち、8枚が裏になり、8枚が表に戻るので
25−8＋8＝0 で、25(枚)が表となります。
●4番目ごとの試行のとき、
50÷4＝12...2 で12(枚)が対象となります。
このうち、
1)4でわれ(もちろん2でもわれ)3でわれないものが再び表に戻ります。
その枚数は4でわれるもの12(枚)で、このうち3でもわれるものは
12÷3＝4(枚)なので、3でわれないものは
12−4＝8(枚)です。
2)2でも3でも4でもわれるものは裏になるのでその枚数は、
50÷12＝4...2 で4(枚)です。
したがって求める答えは、
25＋8−4＝29(枚)となります。
【問題２−２】
16＝2×2×2×2＝24 で、16の約数の個数は1を除いて2,4,8,16の4個です。
これらのときに裏返されるので回数は4回です。
【問題２−３】
たとえば、12は、12＝22×31で、
約数は1を除いて、2,3,4,5,12の5個です。
したがって5回裏返されます。
これは、12の因数分解の指数に注目して、
(2＋1)×(1＋1)−1＝6−1＝5 より計算できます。
●1)ケース1
4回ちょうどで裏返る場合は16のときと同じとなります。
4回裏返るとすれば、指数が
(□＋1)×(〇＋1)＝5 でなければならないので
(□と〇は入れ替えても一般性を失わないので)
□＝0となります。
このとき、それぞれ〇＝4となりますが、
X4≦50 より、X＝2 となります。
これは24＝16となるので、16と同じ回数だけ裏返されたカードはありません。
●2)ケース2
5回以上裏返るもののうち、5回目が26番目ごと以上のとき、実際には4回しか裏返らないので、16の場合と同じとなります。
このときの数を求めてみます。
(□＋1)×(〇＋1)≧6 でなければならないので
(□と〇は入れ替えても一般性を失わないので)
また、1〜50までの(約数の個数−1)のうち最大となるのは48の9個なので
・2-1) ＝6 のとき
2-1-1)
□＝0のときは、〇≧5 となります。
要するに、素因数分解がY5の形をしていてかつ≧26のものは
32＝25
2-1-2)
□＝1のときは、〇＝2 となります。
要するに、素因数分解が
X1×Y2の形をしていてかつ≧26のものは
28＝7×22
44＝11×22
45＝5×32
50＝2×52
・2-2) ＝7,8,9 のとき
5回目が26番目ごと以上のものが存在しないので該当なしとなります。
以上より、32,28,44,45,50 が求める数となります。
【おまけ】
すべてのカードはそのカードの(約数の個数−1)回裏返されるので、50回試行が終了したときに表になっているカードは、
(約数の個数−1)が偶数になっているときとなります。
すなわち、平方数のとき、必ず表になります。
1〜50のうち平方数は1,4,9,16,25,36,49となります。
(1はもともと試行対象とならないので表のままです。)
よって求める答えは、
1,4,9,16,25,36,49となります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
ブランクをχとする。
１≦χ≦９
（１０χ＋５）（１００χ＋χ）
＝５０５χ（２χ＋１）
題意より、
χ（２χ＋１）＝１０
χ２＋χ−１０＝０
（χ−２）（２χ＋５）＝０
２χ＋５＞０であるからχ＝２
２５
×）２０２
────────
５０５０
【問題２−１】
イ）２，３，４と互いに素であるもの
１，５，７，１１，１３，１７，
１９，２３，２５，２９，３５，
３１，３７，４１，４３，４７，４９
１７枚
ロ）２，４の倍数、すなわち４の倍数でかつ３の倍数でないもの
２度裏返って表になる。
４，８，１６，２０，２８，３２，４０，４４
８枚
ハ）２，３の倍数、すなわち６の倍数でかつ４の倍数でないもの
２度裏返って表になる。
６，１８，３０，４２
４枚
１７＋８＋４＝２９
答え ２９枚
【問題２−２】
１６＝２×２×２×２
１６の約数は、１，２，４，８，１６である。
この場合１は除いた２，４，８，１６で裏返る。
答え ４回
【問題２−３】
１および２６以上の約数を除いて４個の約数を持つ数
１６＝２×２×２×２＝２4
４＋１−１＝４
２８＝２×２×７＝２2×７
（２＋１）×（１＋１）−１＝５
２８は除く。５−１＝４
３２＝２4
４＋１−１＝５
３２は除く。５−１＝４
４４＝２2×１１
（２＋１）×（１＋１）−１＝５
４４は除く。５−１＝４
４５＝３2×５
（２＋１）×（１＋１）−１＝５
４５は除く。５−１＝４
５０＝２×５2
（１＋１）×（２＋１）−１＝５
５０は除く。５−１＝４
答え １６，２８，３２，４４，４５，５０
【おまけ】
１，４，９，１６，２５，３６，４９
１と平方数が表になる。
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
【問題１】
□５
×□５□
――――――
５０５０ ←これから，□は偶数 と分かる。
↑
これから，□の２乗は５以下 と分かる。
したがって，□＝２
実際，これで成り立つ
【問題２−１】
●２番目ごとの裏返し
５０÷２＝２５枚が裏
したがって，２５枚が表
●３番目ごとの裏返し
５０÷３＝１６…２ １６枚裏返す事になるが，
６の倍数（８枚）は裏になっているので，表を向く
したがって，
２５―（１６−８）＋８＝２５枚が表
●４番目ごとの裏返し
４の倍数１２個は２番目ごとの裏返しで裏返っている。
しかし３の倍数（つまり12の倍数）４枚は表。
したがって，
２５＋（１２−４）―４＝２９枚
答え ２９枚
【問題２−２】
まず，規則を整理しておく
Ｎの約数の個数をｎとすると，
ｍ番目（ｍ≧Ｎ）までの裏返しをしたとき，
Ｎのカードは（ｎ―１）回裏返る。
また，５０までの自然数の素因数分解した形とそのときの約数の個数は
２×３×５×７＞５０なのでつぎの３つの場合しかない。
(1) ＡＰ
ｎ＝(Ｐ＋１)
(2) ＡＰ×ＢＱ
ｎ＝(Ｐ＋１)(Ｑ＋１)
(3) ＡＰ×ＢＱ×ＣＲ
ｎ＝(Ｐ＋１)(Ｑ＋１)(Ｒ＋１)
Ａ，Ｂ，Ｃは素数，Ｐ，Ｑ，Ｒは自然数
１６は(1)の場合で
１６＝２４
ｎ＝４＋１―１＝４
答え ４回
【問題２−３】
２５番目までの裏返しをしたとき（ｍ＝２５），１６と同じ回数裏返るカードは，
Ｎ≦２５で ｎ＝５ となるカードと，
２６≦Ｎ≦５０では，まだＮ番目ごとの裏返しがされてないので，ｎ＝６となるカード
●Ｎ≦２５のカード
(1)の場合
３４＞２５となり，１６以外には存在しない
(2)(3）の場合
Ｐ＋１≧２，Ｑ＋１≧２，Ｒ＋１≧２なので
ｎ＝５となることはあり得ない
●２６≦Ｎ≦５０のカード
(1)の場合
Ｐ＝５から ２５＝３２ だけ
（３５＞５０だから）
(2)の場合
(Ｐ＋１)(Ｑ＋１)＝６から
(Ｐ＋１，Ｑ＋１)＝（２，３），（３，２）
したがって， （Ｐ，Ｑ）＝（１，２），（２，１）
２６≦Ｎ≦５０の範囲では，
２×５２，２２×７，
２２×１１，３２×５
すなわち，５０，２８，４４，４５ の４枚
(3)の場合
(Ｐ＋１)(Ｑ＋１)(Ｒ＋１)≧８から，ｎ＝６になることはない。
答え ２８，３２，４４，４５，５０の５枚，１６を含めると６枚
◆東京都 vic.R さんからの解答
【問題２−１】
●1．一度も裏返さないカード
1)１
2)２、３で割れない数のカード
・2、3以外の素数
5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47
5・5＝25、5・7＝35、7・7＝49
●2. 二度裏返した数（三度は裏返さない）のカード
・2、3の倍数で４の倍数でない
6,18,30,42
・4の倍数で３の倍数でない
4,8,16,20,28,32,40,44
以上 1+13+3+4+8=29
【問題２−２】
各数番目ごとに各数おきに裏返すのだから、２５までのカードは ２以上の約数の個数だけ裏返すことになる。
16の約数の個数は５個、約数１をのぞいて4個。
つまり4回裏返す。
【問題２−３】
n>1の自然数nを素因数分解したときp,q,r…を素数とすると
n＝paqbrc…とあらわせる
(a,b,c…は＞0)
nの約数は
pxqyrz…,
ただし 0≦x≦a,0≦y≦b,0≦z≦c で表される
したがってnの約数の個数T(n)は
(a+1)(b+1)(c+1)… となる
16と同じ回数裏返すカードということは、25まで裏返しているので
1)1から25までの数において16と同じ約数の数(=5)
2)26から50までの数において26以上の約数をのぞいて16と同じ約数の数
をもとめることである
1)1≦n≦25,T(n)=5
@n=paの場合
T(n)=a+1=5 したがってa=4
この範囲では、適合するpは2以外なくn=16のみ
An=paqbの場合
T(n)=(a+1)(b+1)=5
この式で,a,bいずれもが＞０にはできないので適合するものはない
最小の素数３つ2*3*5=30であるから、3個以上の素数の組み合わせは考える必要がない
2)26≦n≦50,T(n)=6
@n=paの場合
T(n)=a+1=6 したがってa=5
この範囲では 適合するのpは２以外なくn=32
An=paqbの場合
T(n)=(a+1)(b+1)=6
a,b=0でないようにとけば ２*３＝６
a,bは1,2となる
この範囲での数は
22・7=28,
22・11=44,
32・5=45,
52・2=50 の4数
Bn=paqbrcの場合
T(n)=(a+1)(b+1)(c+1)=6
a,b,c=0でないようにはとけないので適合せず
最小の素数４つ2*3*5*7=210であるから、4個以上の素数の組み合わせは考える必要がない
以上から 28,32,44,45,50
【おまけ】
50番まですべてについて作業を実施するので、50までの数について
約数の数−１回裏返していることになる
表向きのカードは０ならびに偶数回裏返したことになる
すなわち表向きのカードの数は奇数個の約数をもつことになる
約数の数は T(n)=(a+1)(b+1)(c+1)…であるからこれが奇数ということは
各因数(a+1),(b+1),(c+1)…は全て奇数であることになる。
したがって素因数の指数a,b,c,…は全て偶数である
すなわち、nは平方数である
50までの平方数は、 1,4,9,16,25,36,49
この数のカードが表になっている
◆東京都 しんちー さんからの解答。
【問題１】
□の中の文字を a とおいて、
(10a+5)(100a+a)=5050
すなわち 505a(2a+1)=5050
だから
2a2+a-10=(2a+5)(a-2)=0。
よって a=2。[答] 2。
【問題２】
「n 番目ごとに裏返す」ということは「n の倍数を裏返す」ということ。
【問題２−１】
表になっているのは0回もしくは2回裏返されたもの。
●0回 …
2,3,4 いずれの倍数でもないということは 2,3 の倍数でないということ。
まず、2または3の倍数の個数を求める。
2の倍数は int(50/2)=25個、
3の倍数は int(50/3)=16個、
6の倍数はint(50/6)=8個あるから条件を満たすのは
25+16-8=33個、
よって 2,3 の倍数でないのは
50-33=17個。
●2回 … 以下の3パターンがある。
a) 2と3の倍数であるが4の倍数でない。
これを満たすのは 6 の奇数倍の数で
6×1、…、6×7 の4個。
b) 2と4の倍数 (つまり4の倍数) であるが3の倍数でない。
これは4の(3の倍数以外)倍なので
4×1、4×2、4×4、…、4×11 の8個。
c) 3と4の倍数であるが2の倍数でない。
これはありえない。
よって2回裏返されるのは12個。
従って表になっているのは
17+12=29個。
[答] 29個。
【問題２−２】
16の約数は 1,2,4,8,16 の5個。
1を除いて、[答] 4回。
【問題２−３】
4回裏返されるのは
a) 25以下 … 約数が5個。
b) 26以上 … 約数が6個。
a) 5は素数だから求める数の素因数分解は
p4 (以下 p,q は素数)しかありえない。
よって25以下では 24=16 のみ。
b) 6 = 1×6 = 2×3 だから
(i) p5 型。
このとき条件を満たすのは 35=32 のみ。
(ii) p×q2型。
このとき条件を満たすのは
22×7=28、22×111=44、
32×5=45、52×2=50。
従って a)、b) より
[答] (16)、28、32、44、45、50。
【おまけ】
表になっているのは偶数回裏返されたカードなので約数が奇数個である。
これは平方数であることと同値である。
よって [答] 1,4,9,16,25,36,49。
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