数学の部屋へもどる【逆小町算解答】
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
９×８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝１００
◆岐阜県 ぶい さんからの解答
９＊８＋７＋６＋５＋４＋３＋２＋１＝１００
適当にやったらできました（＾＾）
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
6＝3+2+1 または 6＝3*2*1
および 5+4-7＝2 に注意して
98-7+6+5+4-3-2-1＝100
98-7-6+5+4+3+2+1＝100
98-7+6+5+4-3*2*1＝100
98-7-6+5+4+3*2*1＝100
などが解答です。
◆石川県 数学好き さんからの解答
98-76+54+3+21=100
98+7+6-5-4-3+2-1=100
◆神奈川県 マサト さんからの解答
98+7-6+5-4+3-2-1=100
◆神奈川県 数楽者 さんからの解答
９８−７＋６＊５／４＋３／２＊１＝１００
計算途中で1/2がでてきますが、結果は整数になります。
◆千葉県 緑川正雄 さんからの解答
9×8+7×6-5×4+3×2×1=100
◆石川県 marvoh さんからの解答
９＋８７−６＋５＋４＋３−２×１
◆東京都 じっさん さんからの解答
今回も、当てずっぽうでいくつか見つけました。
9*8+7+6+5+4+3+2+1=100
9*8+7+6+5+4+3*2*1=100
9*8+7+6+5+4*3-2*1=100
9*8+7*6-5-4-3-2*1=100
9*8+7*6-5-4*3+2+1=100
9*8*7/6+5+4+3*2+1=100
9*8*7/6+5*4-3-2+1=100
9*8*7/6+5+4*3-2+1=100
98/7*6+5+4+3*2+1=100
98/7*6+5*4-3-2+1=100
98/7*6*5/4-3-2*1=100
98/7*6*5/4-3*2+1=100
9+87+6-5+4-3+2*1=100
9+87-6+5+4+3-2*1=100
9+87+6-5-4+3*2+1=100
9+87-6-5+4*3+2+1=100
9+87+6*5/4/3*2-1=100
9-8-7+6*54/3-2*1=100
9*8+7+6+54/3-2-1=100
9*8-7-6+5/4*32+1=100
9+8*7-6+5/4*32+1=100
9+8+7*6+5/4*32+1=100
98-7+6-54/3+21=100
やっているうちに、１つ法則を見つけました。
9*8-7-6 = 9+8*7-6 = 9+8+7*6 (=59)
一般化できます。
４つの連続した数を x, x-1, x-2, x-3 とすると、
x*(x-1)-(x-2)-(x-3)=x*x-3x+5
x+(x-1)*(x-2)-(x-3)=x*x-3x+5
x+(x-1)+(x-2)*(x-3)=x*x-3x+5
で同じになります。
◆神奈川県 みき ひろひと さんからの解答
９８−７−６＋５＋４＋３＋２＋１＝１００
◆神奈川県 ひーぽん さんからの解答
98-7+6+5+4-3-2-1=100
【プログラムで解いてみる】
Internet Explorer ４．０以上またはNetscape Navigator３．０以上の方はコンピュータに計算させることができます。
Internet Explorer ４．０の方がお勧めです。
（NNは計算終了後、しばらく動かなかったので暴走かと思いました。）
かなり遅いので、３個発見するごとに「継続」するか聞いてくるようにしました。
やってみようという方は、電話代が無駄ですからインターネットを切断してから、計算ボタンをクリックしてください。
◆結果を知りたい方はこちらです。
ぜひ見てくださいね。
数が多すぎるので４つに分けます。
◆東京都 しんちー さんからの解答
【問題３】
答からいうと「不可能」。
題意を満たすように数字を選べたと仮定する。
大きい方ほうから小さい方を引くのではなくて、
「カードの数字−裏に書いた数字」
(以下「符号付き差」と呼ぶ) を求めると、カードおよび裏に書く数字は1〜6だから、とりうる値は
±5, ±4, ±3, ±2, ±1, 0 である。
また、上の方法で求めた6つの値を加えると 0 になる。
絶対値をとると「差」としてとりうるのは
0,1,2,3,4,5
の6種類なので題意を満たすにはこれらが1つづつ表われなければならない。
よって実際に「符合付き差」として表れるのは例えば
0, 1, -2, 3, -4, -5
のような 0〜5 の数に正号か負号をつけたものになるが
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
が奇数であることから、どう頑張っても和を 0 には出来ない。
よって仮定があやまりであった。
(証明終)
◆京都府 釜坂 正芳 さんからの解答。
【問題３】
表と裏に書かれている数の差の最大値は５であるから，６枚とも全て異なるためには，
０，１，２，３，４，５のすべてをつくる必要がある。
また，表の和も裏の和も２１で等しい（あたり前）ので，＜表−裏＞の和は０になる。
しかし ０□１□２□３□４□５ の□に，どのように＋，−を入れても，奇数が３個（１，３，５）であるから０にはならない。
したがって，不可能。
一般に，１〜Ｎ（Ｎ≧２）で，
Ｎ(Ｎ−１)/２が奇数のときは不可能。
【おまけ】
Ｎ＝２，３ 不可能
Ｎ＝４のとき
表 １ ２ ３ ４ ・・・a 裏 ３ ２ ４ １●得られた解から他の解を求める方法を考えてみます。
［操作１］
裏表逆にする
表 １ ２ ３ ４ ・・・ａ-１ 裏 ４ ２ １ ３［操作２］
表 ４ ３ ２ １ → 表 １ ２ ３ ４・・・ａ-２ 裏 １ ４ ２ ３ 裏 ４ １ ３ ２［操作３］
表 １ ２ ３ ４・・・ａ-３ 裏 ２ ４ ３ １以上の操作で，１つの解が得られると，３つの派生した解が得られ，計４個の解が得られる。
Ｎ＝５のときの １例
表 １ ２ ３ ４ ５ 裏 ４ ２ ５ ３ １Ｎ＝６，７ 不可能
Ｎ＝８のときの １例
表 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 裏 ７ ４ ８ ５ ２ ６ ３ １いよいよＮ＝９のときです。
３つほど見つけたところで力つきました。
（元来，なまけものなので・・・小町算には答えようともしない）
一応，前述の操作（操作２では１０の補数）を施した計１２個の裏のみを列記しておきます。
○798253641，946857132，964758213，879352461
○874659321，987354216，987154632，498657321
○859642731，968524713，973864152，793685241
【感想】
まだまだ，ありそうですが，プログラムですべての解を送ってこられる方がおられるでしょう・・・（他力本願）。
また，Ｎ(Ｎ−１)/２が偶数のときは可能だと思いますが，やはり証明が・・・
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題２】
最小 ９−８７６５４３２１＝−８７６５４３１２
最大 ９８７６５４３２１
【問題３】
差がすべて異なるなるためには、それぞれ差が０，１，２，３，４，５でなければならない。
差を５にすることの出来るカードは６が書かれているカードに１を書いた場合しかない。
差を４にすることの出来るカードは５が書かれているカードに１を書いた場合しかない。
同じ数字を２度使うことはできないので差がすべて異なることはありえない。
【おまけ】
１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８×９＝１００
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答
【問題２】
最小は、9-87654321＝-87654312 最大は、987654321
【問題３】
結論は不可能です。
元の数字と裏に書いた大きい数字−小さい数字の差をマトリックスを考えます。
縦をカードに書いてある元の数字として横を裏に書いた数字とします。
下記のようになります。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
大きい数字−小さい数字の差は0〜5なので、5より消していきますが、この状態では対称形なので、左下の5を()で囲んでその数字のところの行(横１列)と列(縦１列)を消します。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | - | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | - | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 3 | - | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 4 | - | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 5 | - | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| 6 | (5) | - | - | - | - | - |
この後、たとえば2つあるうちのどちらか4を消します。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | - | 1 | 2 | 3 | 4 | - |
| 2 | - | - | - | - | - | (4) |
| 3 | - | 1 | 0 | 1 | 2 | - |
| 4 | - | 2 | 1 | 0 | 1 | - |
| 5 | - | 3 | 2 | 1 | 0 | - |
| 6 | (5) | - | - | - | - | - |
この後3,2,1,0について同様に順次数字を消しますが、「-」以外の所で行および列が重ならないようにはできません。
もう一方の4についても同様です。
【おまけの問題】
問題３と同様に考えて
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 1 | - | - | - | - | - | - | - | (7) | - |
| 2 | - | - | - | - | - | - | (5) | - | - |
| 3 | - | - | - | (1) | - | - | - | - | - |
| 4 | - | - | - | - | - | (2) | - | - | - |
| 5 | - | - | - | - | (0) | - | - | - | - |
| 6 | - | - | - | - | - | - | - | - | (3) |
| 7 | - | - | (4) | - | - | - | - | - | - |
| 8 | - | (6) | - | - | - | - | - | - | - |
| 9 | (8) | - | - | - | - | - | - | - | - |
とすれば、行、列が重ならずにできます。
| 元の数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 裏に書いた数字 | 8 | 7 | 4 | 6 | 5 | 9 | 3 | 2 | 1 |
| 大きい数字-小さい数字 | 7 | 5 | 1 | 2 | 0 | 3 | 4 | 6 | 8 |
私も「Ｎ(Ｎ−１)/２が偶数のときは可能という説」には賛成です。
具体的に、n＝8,9,12,13,16,17 のとき求めてみましたところ確かにできました。
(数字がきちんと並んでいないので見にくいと思いますが・・・)
でも求め方の規則性がよくわかりません？
1)n＝8 のとき、
| 元の数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 裏に書いた数字 | 5 | 8 | 4 | 7 | 3 | 6 | 2 | 1 |
| 大きい数字-小さい数字 | 4 | 6 | 1 | 3 | 2 | 0 | 5 | 7 |
2)n＝9 のとき、問題３と同じ
3)n＝12 のとき、
| 元の数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 裏に書いた数字 | 11 | 10 | 9 | 6 | 8 | 5 | 7 | 12 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 大きい数字-小さい数字 | 10 | 8 | 6 | 2 | 3 | 1 | 0 | 4 | 5 | 7 | 9 | 11 |
4)n＝13 のとき、
| 元の数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 裏に書いた数字 | 12 | 11 | 10 | 9 | 6 | 8 | 7 | 5 | 13 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 大きい数字-小さい数字 | 11 | 9 | 7 | 5 | 1 | 2 | 0 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
5)n＝16 のとき、
| 元の数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 裏に書いた数字 | 15 | 14 | 13 | 12 | 7 | 9 | 11 | 8 | 10 | 16 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 大きい数字-小さい数字 | 14 | 12 | 10 | 8 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 | 6 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
6)n＝17 のとき、
| 元の数字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
| 裏に書いた数字 | 16 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 7 | 10 | 6 | 9 | 17 | 8 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| 大きい数字-小さい数字 | 15 | 13 | 11 | 9 | 7 | 5 | 0 | 2 | 3 | 1 | 6 | 4 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
◆神奈川県 数楽者 さんからの解答
【問題２】
最大 ９８７６５４３２１
最小 ９−８７６５４３２１
【問題３】
出来ません
２つの数の和と差の奇偶は一致します。
差がすべて異なっていれば、それらは０から５であり、合計は１５で奇数です。
しかし、すべての数の合計は、１から６までの和の２倍で偶数です。
したがって、差がすべて異なることはありません。
【おまけ】
１から９の場合、次のようにすれば可能です。
ここで（表、裏）とします。
(1,9)(2,6)(3,4)(4,7)(5,5)
(6,8)(7,2)(8,1)(9,3)
差は順に8,4,1,3,0,2,5,7,6であり、すべて異なっています。
（適当に書いていたら出来てしましました)
◆千葉県 緑川正雄 さんからの解答
【問題２】
［最大値］987654321
［最小値］9-87654321=-87654312
【問題３】
出来ない
［証明］背理法による証明
以下の命題が成立するものと仮定する。
(命題)表の数と裏の数の差の絶対値が全て異なる値となるように出来る。
{1,2,3,4,5,6}の任意の二つの数の差の絶対値の最小値は0、最大値は5であり、
0,1,2,3,4,5の値をとりうるので、(命題)が成立するならば、表の数と裏の数の差の絶対値からなる集合は
{0,1,2,3,4,5}である。
よって、
蚤bs(表の数-裏の数)
=0+1+2+3+4+5=15…(*)
ところで、
0=舶\の数-迫の数
=(表の数-裏の数)
であるから、
蚤bs(表の数-裏の数)は偶数 …(**)
|
A1,A2,…,Anが整数の時、 abs(A1)とA1,abs(A2)とA2,…,abs(An)とAnの各々の組み合せは、 片方が偶数であればもう一方も偶数 片方が奇数であればもう一方も奇数 従って、
A1+A2+…+Anが偶数ならば ところで、
(表の数-裏の数)=0は偶数なので、 |
ここに(*)と(**)とは矛盾するので(命題)は成立しない。
【問題４】
(表の数,裏の数)の一例をあげると
(1,9)(9,2)(2,8)(6,1)(8,4)
(3,6)(5,3)(4,5)(7,7)
［理由］回答例では
abs(表の数-裏の数)は左から順番に
8,7,6,5,4,3,2,1,0であり、各々の値が異なる。
表の数も裏の数も各々1,2,3,4,5,6,7,8,9を各1回ずつしか使用していない。
【感想】
【問題１】，【問題２】と【問題３】にどういう関係があるのかを考えているう
ちに、【問題１】から(**)が頭に浮かびました。
【問題１】は小町算（逆小町算）と呼ばれるそうですが、今まで縁の薄かった問題です。
連想を豊かにする(？)のに役立ちました。
◆東京都 じっさん さんからの解答
【問題２】
最小は、 9-87654321=-87654312
最大は、 987654321 です。
例えば、
987654321 ＞ 98765432*10 ＞ 98765432*(1桁の数)のように、「なし」でつなげた方がかけるよりも大きな数になります。
従って、最大は全部をつなげた 987654321 になります。
最初の 9 はマイナスにできないので、
最小は 9-87654321になります。
【問題３】
1〜6 では全て異なることはありません。
表の数と裏の数はどちらも２個ずつあるので、奇数も偶数も偶数個あります。
表と裏の差は最大が 6-1=5 で、最小が 0 なので、全て異なるためには、差は 0〜5 の６種類となります。
ここで、差の合計を求めると、
0+1+2+3+4+5=15 で奇数となります。
差が偶数の場合、表も裏も偶数または表も裏も奇数です。
従って、差が偶数のカードが何枚あっても、偶数・奇数がどちらも偶数個あります。
差が奇数の場合、表と裏の片方が偶数で片方が奇数です。
従って、差が奇数のカードが奇数枚あれば偶数・奇数がどちらも奇数個、偶数枚あれば偶数・奇数がどちらも偶数個あります。
差の合計が奇数になるためには、差が奇数のカードが奇数枚なければなりません。
すると、全体で偶数・奇数がどちらも奇数個となってしまいます。
しかし、実際は奇数も偶数も偶数個なので、差を６種類全て異なるようにすることは不可能です。 【おまけ】
1〜9 の場合は、差の合計は
0+1+2+3+4+5+6+7+8=36 で偶数なので、可能です。
例：
表 1 9 7 2 4 8 5 6 3 裏 9 2 1 7 8 5 6 4 3 差 8 7 6 5 4 3 2 1 0
◆神奈川県 ひーぽん さんからの解答
【問題３】
全部異なる整数になる事はありえません。
例えば、1と2のカードの裏に1と2の数字を書いて二つの異なる整数にすることは不可能です。
1〜3のカードの裏に1〜3の数字を書いた時も不可能です。
初めて可能になるのは1〜4のカードの場合ですが、このとき、カードは
表1234
裏3241
となっていて、表から裏をひいたものが3.0.
裏から表をひいたものが2.1.0.となっています。
つまり表から裏を引いたものの合計と裏から表をひいたものの合計は等しくなっていて、なおかつ全部の合計は 1〜4のカードの裏に1〜4の数字を書いて全部違う差にするのに必要な0〜3の合計（6）と等しくなっています。
さて、1〜6のカードの裏に1〜6の数字を書いてその差を全部違う整数にするためには0〜5の整数が必要ですが、
0〜5の合計は15で奇数です。
従って、表の数から裏の数をひいたものと、裏の数から表の数をひいたもの
を等しくすることはできず、不可能ということになります。・・・・と思います・・・・
1〜9の場合は0〜8の合計が偶数なので可能なのでは？
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