数学の部屋へもどる◆静岡県 ヨッシー さんからの解答
【問題１−１】
８０÷５＝１６，
（８０＋１２０）÷５＝４０ より
１６秒から４０秒
【問題１−２】
６００÷５＝１２０
太郎は、１２０秒ごとに同じ位置を通る。
１６＋１２０＝１３６，４０＋１２０＝１６０より
１３６秒から１６０秒
【問題２−１】
１８０÷４＝４５，
（１８０＋１２０）÷４＝７５より
４５秒から７５秒
【問題２−２】
次郎は、７５秒ごとに点Ｐに帰ってくる。
点Ｑを通るのは、その３０秒前
（１２０÷４＝３０）
７５ｎ−３０秒から７５ｎ秒
【問題３】
太郎がＰ→Ｑを通るのは、
16-40,
136-160,
256-280,
376-400,
496-520 秒の間
次郎がＱ→Ｐを通るのは、
45-75,
120-150,
195-225,
270-300,
345-375,
420-450,
495-525,
570-600 秒の間
上記の２人の時間が最初に重なるのは、
太郎 136-160 と、次郎 120-150
136秒 の時点で次郎は、Ｑより
（１３６−１２０）×４＝６４ｍ Ｐよりにいて、Ｐまで５６ｍの地点にいる。
太郎は、そこからＰをスタートするので、
５６÷（５＋４）＝56/9
１３６＋５６／９＝１４２と２／９（秒）
２分２２と２／９秒
【問題４】
太郎が、Ｑ→Ｐを通るのは、
80-104,
200-224,
320-344,
440-464,
560-584
太郎が次郎を追い越すためには、この区間に太郎が先に入り先に出ないといけない。
それは、太郎 200-224 次郎 195-225 である。
２００秒時点で、次郎はＱより
（２００−１９５）×４＝２０ｍ先にいる。
太郎は、そこから次郎を追いかけるので、
２０÷（５−４）＝２０
２００＋２０＝２２０（秒）＝３分４０秒
【おまけ】
太郎は１２０秒、次郎は７５秒でコースを１周するので、その最小公倍数である６００秒（１０分）ごとに２人の位置関係は同じになる。
よって、０から６００秒までを調べ、あとは６００の整数倍を加えればよい。
２人が出会うのは、問題３の場合の他に
太郎 256-280 次郎 270-300 と
太郎 496-520 次郎 495-525 がある。
前者の出会う時刻は ４分３５と５／９秒、
後者は ８分２８と８／９秒
【答え】 ３カ所
１０ｋ＋２分２２と２／９秒、
１０ｍ＋４分３５と５／９秒、
１０ｎ＋８分２８と８／９秒
ｋ，ｍ，ｎは０以上の整数
また、追い抜くのは、問題４の１カ所だけである。
◆石川県 Takashi さんからの解答
【問題１−１】
≪１−１≫
１６秒〜 ４０秒
≪１−２≫
１３６秒〜１６０秒
≪２−１≫
４５秒〜 ７５秒
≪２−２≫
７５ｎ−３０秒〜７５ｎ秒
≪３≫
太郎と次郎の移動時間をｔ【秒】、太郎と次郎がＰＱ間にいる時にＰからの距離をそれぞれａ,ｂ【ｍ】とする。
次郎がＰＱ間をＱからＰに向かって移動している時間は、
７５ｎ−３０≦ｔ≦７５ｎ【ｎは自然数】
＜１＞４５≦ｔ≦７５のとき、
太郎は点Ｑから点Ｂの方へ２５ｍいった所を出発して、点Ｂで折り返し、元の場所に着く。
よって、太郎と次郎は出会わない。
＜２＞１２０≦ｔ≦１５０のとき、
太郎は点Ａを出発して、点Ｐから点Ｑの方へ７０ｍいった所に着く。
太郎がＰＱ間に存在する時間は、
１３６≦ｔ≦１５０
その時のａ,ｂは、
ａ＝５（ｔ−１３６）
ｂ＝４（１５０−ｔ）
今、太郎と次郎が出会うとすると、ａ＝ｂだから
ｔ＝１２８０／９
よって、太郎と次郎が最初に出会うのは、
２分２２．２２・・・秒後
≪４≫
問３の時、太郎と次郎はそれぞれ反対向きにすれ違う。
＜３＞１９５≦ｔ≦２２５のとき、
太郎は点Ｂから点Ｑの方へ７５ｍいった所を出発して、点Ｑ,Ｐを通り、点Ｐから点Ａの方へ５ｍいった所に着く。
太郎がＰＱ間に存在する時間は、
２００≦ｔ≦２２４
その時のａ,ｂは、
ａ＝５（２２４−ｔ）
ｂ＝４（２２５−ｔ）
今、太郎と次郎が出会うとすると、ａ＝ｂだから
ｔ＝２２０
よって、太郎が次郎を最初に追い越すのは、３分４０秒後
≪おまけ≫
太郎の運動は１２０秒周期で、次郎は７５秒周期だから、最小公倍数の６００秒後に太郎と次郎は、初めて同時にスタート地点に戻る。
よって、６００秒以降は最初と同じ結果を繰り返す。
＜２＞ｔ＝１２８０／９のとき、
ａ＝ｂ＝２８０／９
＜３＞ｔ＝２２０のとき、
ａ＝ｂ＝２０
＜４＞２７０≦ｔ≦３００のとき、
ｔ＝２４８０／９、
ａ＝ｂ＝８８０／９
＜５＞３４５≦ｔ≦３７５のとき、
太郎と次郎は出会わない。
＜６＞４２０≦ｔ≦４５０のとき、
太郎と次郎は出会わない。
＜７＞４９５≦ｔ≦５２５のとき、
ｔ＝４５８０／９、
ａ＝ｂ＝５８０／９
＜８＞５７０≦ｔ≦６００のとき、
太郎と次郎は出会わない。
よって、太郎と次郎の出会う場所と時間は、ｎを任意の自然数として
| ＰからＱへ | スタートから | |
| ２０ｍ地点 | ６００ｎ− ３８０ 秒後 | |
| ２８０／９ｍ地点 | ６００ｎ−４１２０／９秒後 | |
| ５８０／９ｍ地点 | ６００ｎ− ８２０／９秒後 | |
| ８８０／９ｍ地点、 | ６００ｎ−２９２０／９秒後 |
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
８０÷５＝１６
１２０÷５＝２４
１６＋２４＝４０
答え １６秒から４０秒の間。
【問題１−２】
太郎は１往復が６００ｍである。
６００÷５＝１２０
１６＋１２０＝１３６
１３６＋２４＝１６０
答え １３６秒から１６０秒の間。
【問題２−１】
１８０÷４＝４５
１２０÷４＝３０
４５＋３０＝７５
答え ４５秒から７５秒の間。
【問題２−２】
次郎は１周が３００ｍである。
３００÷４＝７５
ｎ回目
４５＋７５×（ｎ−１）＝７５ｎ−３０
７５ｎ−３０＋３０＝７５ｎ
答え （７５ｎ−３０）秒から７５ｎ秒の間。
【問題３】
太郎がｎ回目にＰＱの間でＰ→Ｑのとき
１６＋１２０×（ｎ−１）＝１２０ｎ−１０４
１２０ｎ−１０４＋２４＝１２０ｎ−８０
（１２０ｎ−１０４）秒から（１２０ｎ−８０）秒の間。
太郎（Ｐ→Ｑ）と次郎がＰＱ間に初めている時間帯は、
太郎 １３６秒から１６０秒
次郎 １２０秒から１５０秒
したがってともにいる時間帯は、１３６秒から１５０秒の間となる。
ＰからＸｍのところで出合うとする。
（６００＋８０＋Ｘ）÷５＝（６００−Ｘ）÷４
Ｘ＝２８０／９＜１２０
（６００＋８０＋２８０／９）÷５
＝１２８０／９
＝１４２＋２／９（秒）
これは題意を満たす。
答え ２分（２２＋２／９）秒後。
【問題４】
太郎が（Ｑ→Ｐ）でＰＱ間にいる時間帯。
４００÷５＝８０
８０＋１２０×（ｎ−１）＝１２０ｎ−４０
１２０ｎ−４０＋２４＝１２０ｎ−１６
（１２０ｎ−４０）秒から（１２０ｎ−１６）秒の間。
題意を満たす条件
１）太郎と次郎がＰＱ間にいてかつ次郎が先行していること。
２）追い越す地点をＱからＸｍとしとき
Ｘ≦１２０であること。
太郎 ２００秒から２２４秒（ｎ＝２）
次郎 １９５秒から２２５秒（ｎ＝３）
（１８０＋３００×２＋Ｘ）÷４＝（４００＋６００＋Ｘ）÷５
Ｘ＝１００＜１２０
１１００÷５＝２２０（秒）
題意を満たす。
答え ３分４０秒後。
【おまけ】
次郎が１周するのに要する時間
３００÷４＝７５
太郎が１往復するのに要する時間
６００÷５＝１２０
７５と１２０の最小公倍数は６００
６００秒＝１０分で１サイクルする。
６００秒までの太郎（Ｐ→Ｑ）と次郎がＰＱ間にいる時間帯。
| ｎ | １ | ２ | ３ | ４ | ５ |
| 太郎 | 16−40 | 136−160 | 256−280 | 376−400 | 496−520 |
| 次郎 | 45−70 | 120−150 | 195−225 | 270−305 | 345−375 |
| ｎ | ６ | ７ | ８ | ||
| 次郎 | 425−450 | 495−525 | 570−605 |
１）問題３。
２）
（６００×２＋８０＋Ｘ）÷５＝（３００×４−Ｘ）÷４
Ｘ＝８８０／９＜１２０
２４８０／９（秒）＝４分（３５＋５／９）秒
３）
（６００×４＋８０＋Ｘ）÷５＝（３００×７−Ｘ）÷４
Ｘ＝５８０／９＜１２０
４５８０／９（秒）＝８分（２８＋８／９）秒
以上、３回出合う。「追い越す」とは別と考えました。
１０分で１サイクルするので、一般解は
１）、２）、３）＋１０（ｎ−１）ｎは自然数。
出合う個所の個数だけを求めるのであれば、４、５は互いに素である。
（４＋５）×１２０÷（１２０＋１８０）＝３．６
[３．６]＝３ [ ]はガウスの記号。
答え ３回。
「もうひとつの算数にチャレンジ」に類題が以前に出題されました。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１−１の回答】
太郎が初めてＰ地点にたつのは、出発してから
80÷5=16(秒後)である。
太郎が初めてＱ地点にたつのは、出発してから
(80+120)÷5=40(秒後)である。
よって、太郎が初めて「ＰＱ間をＰ→Ｑの方向に走る」のは、
出発してから16秒から40秒の間である。
【問題１−２の回答】
太郎がＡを出発して
Ａ→Ｐ→Ｑ→Ｂ→Ｑ→Ｐ→Ａを1回走るのにかかる時間 (周期)は
(80+120+100)×2÷5=120(秒)である。
よって太郎が1往復した後初めてＰ地点にたつのは、出発してから
120+80÷5=136(秒後)である。
1往復した後初めてＱ地点にたつのは、出発してから
120+(80+120)÷5=160(秒後)である。
太郎が2回目に「ＰＱ間をＰ→Ｑの方向に走る」のは、出発してから
136秒から160秒の間である。
【問題２−１の回答】
次郎がＰ地点を出発してから初めてＱ地点にたつのは、出発してから
180÷4=45(秒後)である。
2回目にＰ地点にたつのは、出発してから
(180+120)÷4=75(秒後)である。
よって、太郎が初めて「ＰＱ間をＱ→Ｐの方向に走る」のは、
出発してから45秒から75秒の間である。
【問題２−２の回答】
次郎がＰを出発して初めてＱ地点にたつのは、出発してから45秒後であり、
Ｑ→Ｐ→Ｒ→Ｑを1回走るのにかかる時間(周期)は
(120+180)÷4=75(秒)である。
次郎がＰ地点を出発してからn回目にＱ地点にたつ時間は、出発してから
45+75×(n-1)+0=75×n-30 (秒後)である。
n+1回目にＰ地点にたつ時間は、出発してから
75×n (秒後)である。
よって、次郎がn回目に「ＰＱ間をＱ→Ｐの方向に走る」のは、出発してから
75×n-30秒から75×n秒の間である。
【問題３及びおまけについて】
太郎と次郎が出会う時点では、
太郎は「ＰＱ間をＰ→Ｑの方向に走っている」
次郎は「ＰＱ間をＱ→Ｐの方向に走っている」
2人が出発してt秒後に出会ったのであれば、
太郎のＰ地点からの距離、5×t-600×K-80
次郎のＱ地点からの距離、4×t-300×L-180
に対して
0≦5×t-600×K-80≦120 (式1)
0≦4×t-300×L-180≦120 (式2)
かつ
(5×t-600×K-80)+(4×t-300×L-180)=120 (式3)
が成立する。(K,Lは0又は自然数である。)
(式3)より
t=(600×K+300×L+380)/9 (式4)
(式4)を(式1)に代入すると
1/3≦8×K-5×L≦59/15 (式5)を得る。
K,Lともに0又は自然数であるから
8×K-5×L=1,2,3
以下(式5)を満たすK,Lを順次求める
| (関係式1) | 8K-5L |
| K=1の時L=1 | ３ |
| K=2の時L=3 | １ |
| K=3の時は該当するLは存在しない | |
| K=4の時L=6 | ２ |
| K=5の時は該当するLは存在しない | |
| K=6の時L=9 | ３ |
| K=7の時L=11 | １ |
| K=8の時は該当するLは存在しない | |
| K=9の時L=14 | ２ |
| K=10の時は該当するLは存在しない | ２ |
| K=10の時は該当するLは存在しない | |
| K=11の時L=17 | ３ |
| K=12の時L=19 | １ |
| K=13の時は該当するLは存在しない | |
| K=14の時L=22 | ２ |
| K=15の時は該当するLは存在しない | |
| K=16の時L=25 | ３ |
| K=17の時L=27 | １ |
| ・ ・ ・ |
以下順次繰り返す。
【問題３の回答】
2人が初めてＰＱ間で出会うのは、
(K,L)=(1,1)の組み合わせであり、
2人が出発してから1280/9秒後
すなわち2分200/9秒後である。
【おまけの回答】
2人が出会う出会い方は、
8×K-5×Lの取り得る3つのパターンが存在する。
即ち出会う地点は3ケ所存在する。
出会うのは、2人が出発してから
(600×K+300×L+380)/9秒後である。
ここにKとLは関係式１
すなわち8×K-5×L=1,2,3(K,Lは0又は自然数))を満足しなくてはならない。
【問題４の回答】
太郎が次郎を追い越す時点では、
太郎は「ＰＱ間をＱ→Ｐの方向に走っている」
次郎は「ＰＱ間をＱ→Ｐの方向に走っている」
太郎が次郎を出発してt秒後に追い越したのであれば、
太郎のＱ地点からの距離、5×t-600×K-400
次郎のＱ地点からの距離、4×t-300×L-180
に対して
0≦5×t-600×K-400≦120 (式1)
0≦4×t-300×L-180≦120 (式2)
かつ
5×t-600×K-400=4×t-300×L-180 (式3)が成立する。
(K,Lは0又は自然数である。)
(式3)より
t=600×K-300×L+220 (式4)
(式4)を(式1)に代入すると
29/15≦5×L-8×K≦7/3 (式5)を得る。
K,Lは0又は自然数であるから
5×L-8×K=2 でなくてはならない
(式5)を満たすK,Lを順次求める
| (関係式2) | 5L-8K |
| L=1の時は該当するKは存在しない | |
| L=2の時K=1 | ２ |
| L=3の時は該当するKは存在しない | |
| L=4の時は該当するKは存在しない | |
| L=5の時は該当するKは存在しない | |
| L=6の時は該当するKは存在しない | |
| L=7の時は該当するKは存在しない | |
| L=8の時は該当するKは存在しない | |
| L=9の時は該当するKは存在しない | |
| L=10の時K=6 | ２ |
| ・ ・ ・ |
太郎が次郎をＰＱ間で初めて追い越すのは、
L=2,K=1の時、すなわち、2人が出発してから
600×1-300×2+220=220(秒後)
3分40秒後である。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
【問題１−１】
AP間80(m)およびPQ間120(m)を5m/秒で進むので、
80÷5＝16秒後にPに到達し、
さらに120÷5＝24秒後にQに到達するので、
太郎が初めてPQ間をP→Qに走るのは
16秒から(16＋24＝)40秒の間となります。
【問題１−２】
AB間の往復距離は
2×(80＋120＋100)＝600(m)なので、
時間は600÷5＝120秒かかるので
太郎が2回目にPQ間をP→Qに走るのは
(16＋120)秒から(40＋120)秒の間となります。
即ち、136秒から160秒の間となります。
【問題２−１】
PRQ間180(m)およびQP間120(m)を4m/秒で進むので、
180÷4＝45秒後Qに到達し、
さらに120÷4＝30秒後にPに到達するので
次郎が初めてPQ間をQ→Pに走るのは
45秒から(45＋30＝)75秒の間となります。
【問題２−２】
Q地点にいた次郎が再びQ地点に来るには
180＋120＝300(m)走らなければならないのでその時間は
300÷4＝75秒後となります。
従って、次郎がn回目にPQ間をQ→Pに走るのは
45＋75(n−1)秒から75＋75(n−1)秒の間となります。
即ち、45＋75(n−1)秒から75n秒の間となります。
【問題３】
太郎がn回目にPQ間をP→Qに走るのは
16＋120(n−1)秒から40＋120(n−1)秒の間なので
1回目より順次書くと
| 太郎 | Ｐ | → | Ｑ |
| 1回目 | 16 | 40 | |
| 2回目 | 136 | 160 | |
| 3回目 | 256 | 280 | |
| 4回目 | 376 | 400 | |
| ・ ・ | ・ ・ | ・ ・ |
となります。
また、問題２−２より、
次郎がn回目にPQ間をP→Qに走るのは
45＋75(n−1)秒から75n秒の間なので
1回目より順次書くと
| 次郎 | Ｐ | ← | Ｑ |
| 1回目 | 75 | 45 | |
| 2回目 | 150 | 120 | |
| 3回目 | 225 | 195 | |
| 4回目 | 300 | 270 | |
| ・ ・ | ・ ・ | ・ ・ |
となります。
上記を見比べて初めて出会うのは、
太郎が、
| Ｐ | Ｑ | |
| 2回目 136 | 160 |
かつ
次郎が、
| Ｐ | Ｑ | |
| 2回目 150 | 120 |
の間なので、詳しく時間を求めてみます。
次郎が136秒後にいる地点を求めると、
136−120＝16(秒)、16×4＝64(m)
即ち地点Qより64(m)進んだところにいます。
このとき太郎と次郎の距離は
(120−64)(m)で、毎秒(5＋4)m/秒で近づくので、136秒後の地点より
(120−64)÷(5＋4)＝56/9秒後に出会います。
従って求める答えは、
136＋56/9(秒)
＝142＋2/9(秒)
＝2(分)22＋2/9(秒)後となります。
【問題４】
問題３と同様に考えて、
太郎がn回目にPQ間をQ→Pに走るのは
80＋120(n−1)秒から104＋120(n−1)秒の間なので
1回目より順次書くと
| 太郎 | Ｐ | ← | Ｑ |
| 1回目 | 104 | 80 | |
| 2回目 | 224 | 200 | |
| 3回目 | 344 | 320 | |
| 4回目 | 464 | 440 | |
| ・ ・ | ・ ・ | ・ ・ |
となります。
また、問題２−２より、次郎がn回目にPQ間をP→Qに走るのは
45＋75(n−1)秒から75n秒の間なので
1回目より順次書くと
| 次郎 | Ｐ | ← | Ｑ |
| 1回目 | 75 | 45 | |
| 2回目 | 150 | 120 | |
| 3回目 | 225 | 195 | |
| 4回目 | 300 | 270 | |
| ・ ・ | ・ ・ | ・ ・ |
となります。
上記を見比べて初めて追い越すのは、
太郎が、
| Ｐ | Ｑ | |
| 2回目 224 | 200 |
かつ
次郎が、
| Ｐ | Ｑ | |
| 2回目 225 | 195 |
の間なので、詳しく時間を求めてみます。
次郎が200秒後にいる地点を求めると、
200−195＝5(秒)、5×4＝20(m)
即ち地点Qより20(m)進んだところにいます。
このとき太郎と次郎の距離は20(m)で、
毎秒(5−4)m/秒で近づくので、200秒後の地点より
20÷(5−4)＝20秒後に追い越します。
従って求める答えは、
200＋20(秒)
＝220(秒)
＝3(分)40(秒)後となります。
◆愛媛県の中学校３年生 吉海 太郎 さんからの解答
【問題１−１】
８０÷５＝１６
２００÷５＝４０
１６秒から４０秒
【問題１−２】
６８０÷５＝１３６
８００÷５＝１６０
１３６秒から１６０秒
【問題２−１】
１８０÷４＝４５
３００÷４＝７５
４５秒から７５秒
【問題２−２】
７５ｎー３０（秒）から７５ｎ（秒）
【問題３】
太郎が２度目にＰからＱに向かうとき
Ｐからの時間をｎ秒とすると
４（ｎ＋１６）＋５ｎ＝１２０
９ｎ＝５６
ｎ＝６＋２／９
よって １４２＋２／９（秒）
◆東京都 しんちー さんからの解答
まず太郎、次郎は1周にそれぞれ120秒、75秒かかるので
LCM(75,120)=600(秒)までを考えればよい。
ここで太郎、もしくは次郎がn回目にPから右にx(m)進んだ地点に到達する時間Tを考える。
ただし 0 ≦ x ≦ 120 とする。
nの範囲は太郎が 1≦n≦5、
次郎が 1≦n≦8 である。
さて、2人が正面から出会う場合条件は
T = 120n1 - 104 + 5/x = 75n2 - x/4
120n1 - 75n2 + 9/20 x = 104
ここで x の範囲より
0 ≦ 9/20 x ≦ 54 であるから
0 ≦ 104 - 120n1 + 75n2 ≦ 54
すなわち
50 ≦ 120n1 - 75n2 ≦ 104
を得る。
中央の式は15の倍数であるからその値は60, 75, 90のいずれかである。
つまり
8n1 - 5n2 の値は4か5か6である。
8n1 - 5n2 = 4 とすると
4(2n1 - 1) = 5n2 であるから
n1 = 3、n2 = 4 とわかる。
これを条件式に代入して
(x,T) = (880/9, 2480/9) を得る。
(小数でいうと 97.777… と 275.5…)
同様に式の値が 5, 6 のときはそれぞれ
(x,T) = (580/9, 4580/9), (280/9, 1280/9) となる。
(小数では (64.44…, 508.88…), (31.11…, 142.22…))
これと同じく2人が同じ向きで出会う、すなわち太郎が次郎を追い抜く場合も
T = 120n1 - 16 - x/5 = 75n2 - x/4
を解いて (x,T) = (20, 220) を得る。
従って答えは
【問題３】：約1分22秒後
【問題４】：3分40秒後
【おまけ】：
n を非負整数として、
約(10n+2)分22秒後にPから約31mのところですれ違う
(10n+3)分40秒後にPから20mのところで追い越す
約(10n+4)分36秒後にPから約98mのところですれ違う
約(10n+8)分29秒後にPから約64mのところですれ違う
◆長野県 深澤 隆英 さんからの解答
【問題１−１】
１６秒〜４０秒
Ｐ点通過は、80÷5＝16(秒)
Ｑ点通過は、200÷5＝40(秒)
【問題１−２】
１３６秒〜１６０秒
Ｐ点通過は、
((80＋120＋100)×2＋80)÷5＝136(秒)
Ｑ点通過は、
(300×2＋80＋120)÷5＝160(秒)
【問題２−１】
４５秒〜７５秒
Ｐ点通過は、
180÷4＝45(秒)
Ｑ点通過は、
(180＋120)÷4＝75(秒)
【問題２−２】
（７５ｎ−３０）秒〜７５ｎ秒
ｎ回目のＰ点通過は、
(300(n−1)＋180)÷4＝(75n−30)秒
ＰＱ間は、120÷4＝30(秒)かかるので、ｎ回目のＱ点通過は、
(75n−30)＋30＝75n(秒)
【問題３】
２分２２と2/9秒
ｘ秒後に出会うとすると、
5x−600＝−4(x−120)＋200
これを解いて、
x＝1280/9＝142と2/9
【問題４】
３分４０秒
ｘ秒後に追い越すとすると、
−5x＋1200＝4x+980
これを解いて、x＝220
◆ 問題へもどる
◆ 今週の問題へ