数学の部屋へもどる◆北海道 くーりー さんからの解答
【問題１−１】
{(12-3*1)+(4*1)}/2*8
=52[cm2]
【問題１−２】
・０≦χ≦３
{(12-3*χ)+(4*χ)}/2*8
=4*χ+48[cm2]
・３＜χ≦４
{(12-3*χ)+(12-4*(χ-3))}/2*8
=-28*χ+144[cm2]
【問題２】
4*t+3*t=12
t=12/7[秒後]
【問題３】
4*t+3*t=12*3
t=36/7[秒後]
【問題４】
4*t+3*t=12*5
t=60/7[秒後]
◆岩手県の中学校３年生 ＲＹＯＴＡ さんからの解答
【問題１−１】
四角形ＰＢＣＱの面積
＝（４＋９）×８×１／２
＝５２
（答）５２ｃｍ2
【問題２】
ｔ秒後とする。
ＣＱ＝４ｔ、ＢＰ＝１２−３ｔ
４ｔ＝１２−３ｔ
ｔ＝１２／７
（答） １２／７秒後
【問題３】
４秒後にＰ＝Ｂ。
そのときＱはＤから４ｃｍ．
ここからｓ秒後を考える。
ＣＱ＝８−４s、ＰＢ＝３s
８−４s＝３s
Ｓ＝８／７
よって、４＋８／７
（答）（４＋８／７）秒後
【問題４】
６秒後にＱ＝Ｃ．
そのとき、ＰはＢから６ｃｍのところ。
８秒後には、Ｐ＝Ａ，ＱはＣから８ｃｍ．
ここから、u秒後を考える、
ＰＡ＝３ｕ
ＤＱ＝４−４ｕ
３ｕ＝４−４ｕ
ｕ＝４／７
よって、８＋４／７
（答）（８＋４／７）秒後
◆石川県 Takashi さんからの解答
【問題１−１】
ＰＢ＝１２−３×１＝９
ＱＣ＝４×１＝４
四角形ＰＢＣＱの面積は、
（ＰＢ＋ＱＣ）×ＣＢ÷２＝５２ｃｍ2
【問題１−２】
χ秒後の四角形ＰＢＣＱの面積を、Ｓ(χ)とする。
＜ａ＞
０≦χ≦３のとき、
ＰＢ＝１２−３χ
ＱＣ＝４χ
Ｓ(χ)＝４χ＋４８
＜ｂ＞
３＜χ≦４のとき、
点Ｑは点Ｄで折り返して点Ｃに向かって動いている。
ＰＢ＝１２−３χ
ＱＣ＝１２−４（χ−３）＝２４−４χ
Ｓ(χ)＝−２８χ＋１４４
【問題２】
スタートしてから３秒後には点Ｑは点Ｄの位置に来ているから、
０＜χ＜３として考える。
ＰＢ＝１２−３χ
ＱＣ＝４χ
ＰＢ＝ＱＣを解くと、χ＝１２／７秒後。
【問題３】
３＜χ＜４のとき、ＰＱとＢＣは平行になり得ないので、
４＜χ＜６として考える。
ＰＢ＝ ３χ−１２
ＱＣ＝−４χ＋２４
ＰＢ＝ＱＣを解くと、χ＝３６／７秒後。
【問題４】
＜ａ＞
６≦χ≦８のとき、
ＰＢ＝３χ−１２
ＱＣ＝４χ−２４
よって、ＰＢ＝ＱＣとなるような解は存在しない。
＜ｂ＞
８＜χ＜９のとき、
ＰＢ＝−３χ＋３６
ＱＣ＝ ４χ−２４
ＰＢ＝ＱＣを解くと、χ＝６０／７秒後。
【おまけ】
ＰＢ＝ＱＣとなるある瞬間から次にＰＢ＝ＱＣとなるまでの点Ｐ、Ｑの運動に注目する。
点Ｐの移動軌跡と点Ｑの移動軌跡をあわせると、辺ＡＢの２倍の長さである事がわかる。
３ｔ＋４ｔ＝２４
ｔ＝２４／７
ＰＱとＢＣが平行になる時刻χは、
χ＝（２４ａ−１２）／７
【ａは任意の自然数】
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
PB=12-3=9 CQ=4
(9+4)*8/2=52
答え ５２ｃｍ2
【問題１−２】
i) 0≦X≦3 48+4X
ii) 3≦X≦4 144-28X
【問題２】
１２×１÷（３＋４）＝１２／７
答え １２／７秒後
【問題３】
１２×３÷（３＋４）＝３６／７
答え ３６／７秒後
【問題４】
１２×５÷（３＋４）＝６０／７
答え ６０／７秒後
【おまけ】
４回目は、１２秒後でＢＣとＰＱが重なる。
常識的にはＰＱ／／ＢＣとは言わないでしょうね。
５回目は、３回目のポイント。
Ｐ、Ｑの進行方向は３回目のときと逆。
６回目は、２回目のポイント。
Ｐ、Ｑの進行方向は２回目のときと逆。
７回目は、１回目のポイント。
Ｐ、Ｑの進行方向は１回目のときと逆。
２４秒後に最初の状態（振り出し）にもどる。
１回目のポイントを第１ポイント、２回目のポイントを第２ポイント、３回目のポイントを第３ポイントとする。
Ｎは自然数。
●第１ポイント
１２／７＋２４＊（Ｎ−１）秒後
１５６／７＋２４＊（Ｎ−１）秒後
●第２ポイント
３６／７＋２４＊（Ｎ−１）秒後
１３２／７＋２４＊（Ｎ−１）秒後
●第３ポイント
６０／７＋２４＊（Ｎ−１）秒後
１０８／７＋２４＊（Ｎ−１）秒後
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【はじめに】
図のDC及びABに平行な座標軸を選び、A及びDに対応する値を0とする。
時刻x(0≦x≦6)において
点Pは X(x)=12-3×ABS(x-4) …(式1)
点Qは Y(x)=4×ABS(x-3) …(式2)
四角形PBCQの面積Sは
S=8×12-{X(x)+Y(x)}×8÷2
=96-{12-3×ABS(x-4)+4×ABS(x-3)}×4
=48+12×ABS(x-4)-16×ABS(x-3)
【問題１−１の回答】
S=48+12×ABS(1-4)-16×ABS(1-3)
=48+36-32
=52(ｃｍ2)
【問題１−２の回答】
0≦x≦3の時
S=48+12×(4-x)-16×(3-x)
=48+4×x (ｃｍ2)
3＜x≦4の時
S=48+12×(4-x)-16×(x-3)
=144-28×x (ｃｍ2)
【問題２から問題４及びおまけについて】
点Pは12÷3×2=8(秒)で、点Qは12÷4×2=6(秒)で 最初(x=0)の地点に戻る。
よって （6と8の最大公約数)=24 (秒)までの、XとYが等しくなる時刻xを求めれば一般解は求まる。
但し、(式1)は0≦x≦8で有効な式であり、
一般にはx=8×m+z
(mは0又は自然数,0≦z＜8)とすると、
X(x)=12-3×ABS(z-4)
=12-3×ABS(x-8×m-4)
同様に、(式2)は0≦x≦6で有効な式であり、
一般にはx=6×n+u
(nは0又は自然数,0≦u＜6)とすると、
Y(x)=4×ABS(u-3)
=4×ABS(x-6×n-3)
0≦x≦24において、X(x)=Y(x)となるxを求めると
x=12/7,36/7,60/7,84/7=12,108/7,132/7,156/7
の7通りの解が求まる。
【問題２の回答】
PQとBCが最初に平行となる時間は、
出発してから12/7秒後である。
【問題３の回答】
PQとBCが2度目に平行となる時間は、
出発してから36/7秒後である。
【問題４の回答】
PQとBCが3度目に平行となる時間は、
出発してから60/7秒後である。
【おまけの回答】
PQとBCが平行となる時間は、出発してから
12/7+24×n 秒後
36/7+24×n 秒後
60/7+24×n 秒後
12+24×n 秒後
108/7+24×n 秒後
132/7+24×n 秒後
156/7+24×n 秒後
である。
ここに、nは0又は自然数である。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
【問題１−１】
PB＝12−3×1＝9
CQ＝4
CB＝8
なので、求める四角形(台形)PQCBの面積は
(9＋4)×8÷2＝52 (cm2) です。
【問題１−２】
Qは3秒後にDに到達するので、
0≦X≦4 のうち、
0≦X≦3 と 3≦X≦4 で場合分けをします。
1)0≦X≦3 のとき、
PB＝12−3X
CQ＝4X
CB＝8
なので、求める四角形(台形)PQCBの面積は
{(12−3X)＋4X}×8÷2＝4X＋48 (cm2) です。
2)3≦X≦4 のとき、
PB＝12−3X
CQ＝12−(4X−12)＝24−4X
CB＝8
なので、求める四角形(台形)PQCBの面積は
{(12−3X)＋(24−4X)}×8÷2＝144−28X (cm2) です。
【問題２からおまけまで】
PはAB間を8秒で往復し、QはCD間を6秒で往復するので、これらの最小公倍数である24秒でP、Qともスタート地点にそれぞれ戻ります。
従って、0≦X≦24での解を求めれば求める一般解は、
X＋24n (n＝0,1,2・・・・)で求められます。
さて、PB及びCQを最大0≦X≦24の区間でそれぞれ区切って計算すると、
●PB
1-1) 0≦X≦ 4 のとき、PB＝12−3X
1-2) 4≦X≦ 8 のとき、PB＝3X−12
1-3) 8≦X≦12 のとき、PB＝36−3X
1-4)12≦X≦16 のとき、PB＝3X−36
1-5)16≦X≦20 のとき、PB＝60−3X
1-6)20≦X≦24 のとき、PB＝3X−60
●CQ
2-1) 0≦X≦ 3 のとき、CQ＝4X
2-2）3≦X≦ 6 のとき、CQ＝24−4X
2-3) 6≦X≦ 9 のとき、CQ＝4X−24
2-4）9≦X≦12 のとき、CQ＝48−4X
2-5)12≦X≦15 のとき、CQ＝4X−48
2-6)15≦X≦18 のとき、CQ＝72−4X
2-7)18≦X≦21 のとき、CQ＝4X−72
2-8)21≦X≦24 のとき、CQ＝96−4X
となるので、以下順次、求めてみます。
◆1.
上記1-1)かつ、2-1) のとき、即ち、
0≦X≦3 で、PB＝CQ として、
12−3X＝4X
これを解いて、
X＝12/7 で、0≦X≦ 3 を満たします。
◆2.
上記1-1)かつ、2-2) のとき、即ち、
3≦X≦ 4 で、PB＝CQ として、
12−3X＝24−4X
これを解いて、
X＝12 で、3≦X≦ 4 では不適となります。
◆3.
上記1-2)かつ、2-2) のとき、即ち、
4≦X≦ 6 で、PB＝CQ として、
3X−12＝24−4X
これを解いて、
X＝36/7 で、4≦X≦ 6 を満たします。
◆4.
上記1-2)かつ、2-3) のとき、即ち、
6≦X≦ 8 で、PB＝CQ として、
3X−12＝4X−24
これを解いて、
X＝12 で、6≦X≦ 8 では不適となります。
◆5.
上記1-3)かつ、2-3) のとき、即ち、
8≦X≦ 9 で、PB＝CQ として、
36−3X＝4X−24
これを解いて、
X＝60/7 で、8≦X≦ 9 を満たします。
◆6.
上記1-3)かつ、2-4) のとき、即ち、
9≦X≦12 で、PB＝CQ として、
36−3X＝48−4X
これを解いて、
X＝12 で、9≦X≦12 を満たします。
但しこのときは、PQがCBに重なるので除きます。
◆7.
上記1-3)かつ、2-5) のとき、即ち、
12≦X≦12 で、PB＝CQ として、
36−3X＝4X−48
これを解いて、
X＝12 で、12≦X≦12 を満たします。
但しこのときは、PQがCBに重なるので除きます。
◆8.
上記1-4)かつ、2-5) のとき、即ち、
12≦X≦15 で、PB＝CQ として、
3X−36＝4X−48
これを解いて、
X＝12 で、12≦X≦15 を満たします。
但しこのときは、PQがCBに重なるので除きます。
◆9.
上記1-4)かつ、2-6) のとき、即ち、
15≦X≦16 で、PB＝CQ として、
3X−36＝72−4X
これを解いて、
X＝108/7 で、15≦X≦16 を満たします。
◆10.
上記1-5)かつ、2-6) のとき、即ち、
16≦X≦18 で、PB＝CQ として、
60−3X＝72−4X
これを解いて、
X＝12 で、16≦X≦18 では不適となります。
◆11.
上記1-5)かつ、2-7) のとき、即ち、
18≦X≦20 で、PB＝CQ として、
60−3X＝4X−72
これを解いて、
X＝132/7 で、18≦X≦20 を満たします。
◆12.
上記1-6)かつ、2-7) のとき、即ち、
20≦X≦21 で、PB＝CQ として、
3X−60＝4X−72
これを解いて、
X＝12 で、20≦X≦21 では不適となります。
◆13.
上記1-6)かつ、2-8) のとき、即ち、
21≦X≦24 で、PB＝CQ として、
3X−60＝96−4X
これを解いて、
X＝156/7 で、21≦X≦24 を満たします。
以上より、0≦X≦24では、
X＝12/7(問題２の答え)、
36/7(問題３の答え)、
60/7(問題４の答え)、
108/7、
132/7、
156/7 (秒後)となります。
一般的には、
12/7＋24n (n＝0,1,2・・・・)
36/7＋24n (n＝0,1,2・・・・)
60/7＋24n (n＝0,1,2・・・・)
108/7＋24n (n＝0,1,2・・・・)
132/7＋24n (n＝0,1,2・・・・)
156/7＋24n (n＝0,1,2・・・・)
(秒後) となります。
(感想)
おまけの問題中、X＝12は重なるので平行でないということで除外すればO.K.でしょうか。
規則性(結果からみると24/7ずつ増えている)を利用して方程式を使わずに求められるような気もしますが・・・。
【問題２からおまけ別解】
PはAB間を8秒で往復し、QはCD間を6秒で往復するので、これらの最小公倍数である24秒でP、Qともスタート地点にそれぞれ戻ります。
従って、0≦X≦24での解を求めれば求める一般解は、
X＋24n (n＝0,1,2・・・・)で求められます。
と、ここまでは前回と同じで、
QもAB上を4cm/sで進むと考えて、PとQが重なるときが平行なときになります。
PとQはAB間12cmを3＋4＝7cm/sで進むので、
最初に重なるのは12÷7＝12/7秒後となります。
その後は出会ってから、
12cmの往復の距離＝24cmを7cm/sで進むので、
24/7秒ずつ加算したものが答えとなります。
従って求める答えは、
12/7(問題２の答え)、
36/7(問題３の答え)、
60/7(問題４の答え)、
84/7、
108/7、
132/7、
156/7 (秒後) となりますが、
84/7＝12 のときは、PQとCBが重なるので除外します。
よって求める答えは、
12/7(問題２の答え)、
36/7(問題３の答え)、
60/7(問題４の答え)、
108/7、
132/7、
156/7 (秒後) となります。
(感想)
解答を送ったすぐ後に考え付きました。
実は前回の螺旋の問題(問題３)で、図の視点を変えて円柱を上から見るという考え方がヒントになりました。
前回送ったの解答は実際には時間がかかりすぎるので、こうでないと入試には間に合わないのでしょうね。
前回(第44回の問題３)同様、落とし穴が必ずありますね。
(入試らしい？)
◆長崎県 Dr.Berserker さんからの解答。
【問題１】
点Ｐは、点Ａから３cmのところにあり、点Ｑは、点Ｃから４cmのところにある。
求める面積は、ＢＰ＝９cm、ＣＱ＝４cm、ＢＣ＝８cmなる台形になるので、
（９＋４）×８÷２＝５２cm2
・・・のはずです。
さて、χ秒後の面積ですが、
ＢＰ＝１２−３χ、
ＣＱ＝４χ、
ＢＣ＝８なる台形になるはずなので、
（０≦χ≦３）
Ｓ＝４８−４χ
（３≦χ≦４）
Ｓ＝１４４−２８χ
【問題２】
ＰＱ／／ＢＣは即ちＢＰ＝ＣＱなので、以下の方程式を解くと、
１２−３χ＝４χ
χ＝１２／７＝１．７１４２８５７１４秒後
・・・かな？
【問題３】
４≦χ≦６で、
ＢＰ＝３χ−１２
ＣＱ＝２４−４χとなるので、以下同様に、
χ＝３６／７＝５．１４２８５７１４３秒後
【問題４】
８≦χ≦９で、
ＢＰ＝３６−３χ
ＣＱ＝４χ−２４となるので、以下同様に
χ＝６０／７＝８．５７１４２８５７１秒後
◆兵庫県 yuko さんからの解答。
【問題１−１】
１秒後、
ＰＢ＝１２−３×１＝９
ＱＣ＝４×１＝４
よって、四角形ＰＢＣＱの面積は、
（９＋４）×８×１／２＝５２（cm2）
【問題１−２】
０≦χ≦３のとき、QはＤ方向、ＰはＢ方向へ移動中なので、
ＰＢ＝１２−３χ
ＱＣ＝４χ
よって、四角形ＰＢＣＱの面積は、
（１２−３χ＋４χ）×４＝４８−４χ（cm2）
３＜χ≦４のとき、QはＣ方向、ＰはＢ方向へ移動中なので、
ＰＢ＝１２−３χ
ＱＣ＝２４−４χ
よって、四角形ＰＢＣＱの面積は、
（１２−３χ＋２４−４χ）×４＝１４４−２８χ（cm2）
【問題２】
時間経過によるＰ及びＱの移動方向は以下の通り。
| ０〜３ | 〜４ | 〜６ | 〜８ | 〜９ | 〜12 | 〜15 | |
| Ｐ | → | → | ← | ← | → | → | ← |
| Ｑ | ← | → | → | ← | ← | → | ← |
そしてPB及びQCの変化をグラフ(略)にすると、
交点(つまりＰＢ＝ＱＣとなる点)は、それぞれが逆方向に移動中か、
2点が同時にBC上にいる時
(χ＝12(２ｎ＋１)．．．ｎは自然数)と分かる。
以上より、1度目に平行になる(ＰＢ＝ＱＣとなる)のは、
１２−３χ＝４χ……（０≦χ≦３）
χ＝１２／７(秒後)
【問題３】
同様に、
３χ−１２＝２４−４χ……（４＜χ≦６）
χ＝３６／７(秒後)
【問題４】
３６−３χ＝４χ−２４……（８＜χ≦９）
χ＝６０／７(秒後)
【おまけ】
【問題２】〜【問題４】より、
χ＝１２／７×(２ｎ＋１)秒後．．．ｎは自然数
◆京都府 海下 貴博 さんからの解答。
【問題１−１】
ＢＰ＝９cm ＣＱ＝４cm
Ｓ＝１／２ × ８（４＋９）＝５２
Ｓ＝５２cm2
【問題１−２】
０≦χ≦３ の時
ＢＰ＝−３χ＋１２cm
ＣＱ＝４χcm
Ｓ＝１／２ × ８（−３χ＋１２＋４χ）
＝４(χ＋１２）cm2
３≦χ≦４ の時
ＢＰ＝−３χ＋１２cm
ＣＱ＝−４χ＋２４cm
Ｓ＝１／２ × ８｛−３χ＋１２＋（−４χ＋２４）｝
＝４（−７χ＋３６）cm2
【問題２】
題意より、ＢＰ＝ＣＱ
０≦χ≦３ の時
ＢＰ＝−３χ＋１２cm
ＣＱ＝４χcm
ＢＰ＝ＣＱ
−３χ＋１２＝４χ
よって χ＝１２／７ (適）
Ａ.１２／７秒後
【問題３】
題意より、ＢＰ＝ＣＱ
３≦χ≦４ の時
ＢＰ＝−３χ＋１２cm
ＣＱ＝−４χ＋２４cm
ＢＰ＝ＣＱ
−３χ＋１２＝−４χ＋２４
χ＝１２ （不適）
４≦χ≦６ の時
ＢＰ＝３χ−１２cm
ＣＱ＝−４χ＋２４cm
ＢＰ＝ＣＱ
３χ−１２＝−４χ＋２４
χ＝３６／７（適）
Ａ.３６／７秒後
【問題４】
題意より、ＢＰ＝ＣＱ
６≦χ≦８ の時
ＢＰ＝３χ−１２cm
ＣＱ＝４χ−２４cm
ＢＰ＝ＣＱ
３χ−１２＝４χ−２４
χ＝１２ （不適）
８≦χ≦９ の時
ＢＰ＝−３χ＋３６cm
ＣＱ＝４χ−２４cm
ＢＰ＝ＣＱ
−３χ＋３６＝４χ−２４
χ＝６０／７（適）
Ａ.６０／７秒後
◆長野県 深澤 隆英 さんからの解答。
【１−１】
５２cm2
(４＋９)×８÷２＝52
【１−２】
(４ｘ＋48)cm2 （０≦ｘ≦３）
CQ＝４ｘ，PB＝12−３ｘ なので
(４ｘ＋12−３ｘ)×８÷２＝(４ｘ＋48)
(144−28ｘ)cm2 (３≦ｘ≦４）
CQ＝24−４ｘ，PB＝12−３ｘ なので
(24−４ｘ＋12−３ｘ)×８÷４＝144−28ｘ
【２】
12/7 秒後
０≦ｘ≦４ のとき、
CQ＝４ｘ，PB＝12−３ｘ なので、
４ｘ＝12−３ｘ を解いて、ｘ＝12/7
【３】
36/7 秒後
４≦ｘ≦８ のとき、
CQ＝24−４ｘ，PB＝３ｘ−12 なので、
24−４ｘ＝３ｘ−12 を解いて、ｘ＝36/7
【４】
60/7 秒後
８≦ｘ≦12 のとき、
CQ＝４ｘ−24，PB＝36−３ｘ なので、
４ｘ−24＝36−３ｘ を解いて、ｘ＝60/7
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