◆岩手県の中学校３年生 ＲＹＯＴＡ さんからの解答
【問題１−１】
１５×１５×３．１４×８＝５６５２
（答）５６５２ｍ3
【問題１−２】
１ｍ3
＝１００ｃｍ×１００ｃｍ×１００ｃｍ
＝１００００００ｃｍ3
５６５２ｍ3
＝５６５２００００００ｃｍ3
水１ｃｍ3は１ｇなので、
５６５２００００００ｃｍ3
＝５６５２００００００ｇ
＝５６５２０００ｋｇ
＝５６５２ｔ
【問題２】
らせん状の通路は、その円柱の展開図で考えた場合、
高さ５０πｍの一辺の一番上の頂点から、反対側の辺の一番上の頂点から、
５０π／４ｍ下の点へ結んだ斜めの直線となり、
そういう直線が５０π／４ｍ間隔で都合４本できる。
その１本の長さは、三平方の定理を用いて、
したがって、求める距離は、
６５／２×π×４＝１３０π
（答）１３０π ｍ
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
【問題１−１】
15×15×3.14×8＝5652(ｍ3) となります。
【問題１−２】
1リットル＝0.1(m)×0.1(m)×0.1(m)＝0.001(ｍ3) のとき、1kgなので
1(ｍ3)のとき、重さ1tとなります。
よって求める重さは5652(t)となります。
【問題２】
円柱側面の展開図を書くと、円周が
2×π×15＝30π なので、
たて50π、よこ30πで上辺の中点をPとして下辺の中点をQとします。
また、たてを4等分した真中3つの中点を通るような図になるので、
直角三角形の、斜辺を除いた2辺が
15πおよび50÷8＝6.25πなので、
三平方の定理または問題文中の三角比を使用して
斜辺が16.25πとなります。
求める経路の長さはこの斜辺を8回つなげた長さになるので、
16.25π×8＝130π(m) となります。
【問題３】
問題２と同様に考えて図を書くと、経路は先ほどの斜辺と同様のものを7回つなげたものになります。
わかりやすくするためにPをA、QをHとします。
420÷7＝60 なので、1つの斜辺の長さは60(m)となります。
Aから経路順に、60(m)ごとにB、C、D、E、F、Gと区切ります。
(要するにC、E、Gが左端にきて、同じ高さでまた右端にくるような図になります。)
(第1回目)
次郎がスタートで待っている間、太郎がBに達したとき真上・真下の位置になるので、
太郎はスタートから、
60/72＝5/6(分)後、60(m)進んだ地点になります。・・・(★)
(第2回目)
まず、太郎がCまで達するのは
180/72＝5/2(分)後なので、
この間次郎が3/2(分)進むので、H地点より、
36×3/2＝54(m)進みます。
よってBC間は真上・真下の位置になりません。
次にCD間を考えて、太郎は先に1分間進むのでスタートより72(m)進みます。
要するに太郎はCより48(m)後方より進み、同時に次郎がスタートするとして、
(60＋48)÷(72＋36)＝108/108＝1(分)後、真上・真下の位置になります。
要するに、太郎はCより
72−48＝24(m)進んだ地点(Dまで残り36(m))、次郎はHより36(m)進んだ地点となります。
言いかえれば、太郎はスタートから2(分)後、144(m)進んだ地点になります。
また次郎は、スタートから
1(分)後、36(m)進んだ地点になります。・・・(★)
(第3回目)
次郎は2回目の地点よりGまで達するのは
24/36＝2/3(分)後なので、
この間太郎は2回目の地点より
72×2/3＝48(m)進みます。
よってDより24＋48−60＝12(m)進みます。
太郎と次郎はこの地点より、
(60−12)÷(72＋36)＝48/108＝4/9(分)後、真上・真下の位置になります。
要するに、太郎はDより
12＋{72×(4/9)}＝44(m)進んだ地点(Eまで残り16(m))、
次郎はHより36×(4/9)＝16(m)進んだ地点となります。
言いかえれば、太郎はスタートから
2＋80/72＝28/9(分)後、224(m)進んだ地点になります。
また次郎は、スタートから
1＋16/36＝13/9(分)後、76(m)進んだ地点になります。・・・(★)
(第4回目)
太郎は3回目の地点よりEまで達するのは
(60−44)/72＝2/9(分)後なので、この間次郎は3回目の地点より
36×(2/9)＝8(m)進む。
よってGより16＋8＝24(m)進む。
さらに太郎はこの地点によりGまで達するのは
120/72＝5/3(分)後なので、この間次郎はさらに、
36×(5/3)＝60(m)進む。
よってFより24(m)進む。
太郎と次郎はこの地点より、
(60−24)÷(72＋36)＝36/108＝1/3(分)後、真上・真下の位置になります。
要するに、太郎はGより
72×(1/3)＝24(m)進んだ地点(Hまで残り36(m))、
次郎はFより
24＋{36×(1/3)}＝36(m)進んだ地点となります。
言いかえれば、太郎はスタートから
2＋240/72＝16/3(分)後、384(m)進んだ地点になります。
また次郎は、スタートから
1＋96/36＝11/3(分)後、156(m)進んだ地点になります。・・・(★)
また、4回目の地点よりHまで達するのは
(60−24)/72＝1/2(分)後なので、この間次郎は4回目の地点より
36×(1/2)＝18(m)進む。
よってFより24＋18＝42(m)進むが、真上・真下の位置になりません。
【問題３別解】
真上から見た平面図(円周)で考えてみます。
420(m)で3周半するので、1周あたり、
420÷3.5＝120(m)(半周では60(m))となります。
今、上から見ると円の直径をはさんで反対側より、太郎が反時計まわり、次郎が時計まわりに進むと考えます。
この図で、太郎と次郎が重なる位置が螺旋の真上・真下の位置になるのでこの位置を太郎がQに到着するまで、要するに
420/72＝35/6分までの範囲で求めればよいことになります。
まず、第1回目に重なるのは、次郎が待っている間に太郎が半周した(60(m)進んだ)とき
重なるので、スタートより
60/72＝5/6(分)後となります。
次に太郎が1分間進んだとき、太郎は重なりの地点より
72−60＝12(m)左回りに進んでいるので、両者の円周上の距離は
120−12＝108(m)となります。
両者は1分間に72＋36＝108(m)ずつ近づくので、
108÷108＝1(分)後に重なります。
要するに太郎がスタートしてから1＋1＝2(分)後に重なります。
この後は両者の円周上の距離は120(m)と考えて、両者は1分間に
72＋36＝108(m)ずつ近づくので、
120÷108＝10/9(分)後ずつに重なります。
よって太郎がスタートしてから
2＋10/9＝28/9、
2＋2×(10/9)＝38/9、
2＋3×(10/9)＝16/3＝(32/6)(分)後に重なります。
ここでこのうち、両者が真上・真下ではなく出会うところ(同じ地点)が1か所あるのでこれを求めて除けばよいことになります。
次郎がスタートしたとき(太郎がスタートして1(分)後)の両者の実際(経路上)の距離差は
420−72＝348(m)で、両者は1分間に
72＋36＝108(m)ずつ近づくので、
348÷108＝29/9(分)後に出会います。
即ち太郎がスタートしてから
1＋29/9＝38/9(分)後に出会います。
以上より求める答えは、太郎がスタートより
5/6、2、28/9、16/3(分)後の地点となります。
◆石川県 Takashi さんからの解答
【問題１−１】
Ｖ＝３．１４×１５2×８
＝５６５２【ｍ3】
【問題１−２】
【問題２】
点Ｑから点Ｐまで昇る時、円柱の周囲をまわる回数をｎとする。
【ｎは自然数】
直線ＰＱ上に注目すると、通路を一周するたびに
５０π／ｎづつ上の点を通過している事がわかる。
この円柱をｎ等分して、半径１５ｍ、高さ５０π／ｎの円柱をつくり、側面を直線ＰＱで切断して展開図にすると、
側面全体は、横の長さ３０π、縦の長さ５０π／ｎの長方形になり螺旋通路の軌跡は左下から右上の対角線になる。
対角線の長さは、
Ｌ＝｛（３０π）2＋（５０π／ｎ）2｝0.5
＝（１０π／ｎ）×（９ｎ2＋２５）0.5
この小さな円柱がｎ個集まると元の円柱が出来るのだから、通路の総距離は、
ｎＬ＝１０π×（９ｎ2＋２５）0.5
螺旋通路の周回数は４回【ｎ＝４】という条件で、側面の展開図を４枚横に並べると、
５０π×１２０πの長方形が出来あがって、対角線の長さは１３０πという題意だったのでしょうか。
【コメント】
出題の最初の段階で、５階という条件を書き忘れ、ご迷惑をおかけしました。
【問題３】
螺旋通路は３周半で総距離は４２０ｍであるから、１周の距離は
４２０÷３．５＝１２０
スタートから１分後、太郎は７２メートル進んでいるから、次郎の上を過ぎてから１２ｍ進んだところにいる。
そこで次郎がスタートしてから、２人が最初に上下に並ぶまでの時間をｔ【分】とすると、
１２０＝７２×ｔ＋３６×ｔ＋１２
ｔ＝１【分】
次に、２人が上下に並ぶまでの時間をｕ【分】とすると、
１２０＝７２×ｕ＋３６×ｕ
ｕ＝１０／９【分】
次郎がスタートしてから２人が出会うまでの時間をｓ【分】とすると、
４２０＝７２×（ｓ＋１）＋３６×ｓ
ｓ＝２９／９【分】
太郎と次郎がちょうど上下の関係になるのは、
次郎がスタートする１０秒前
次郎がスタートして１分後
次郎がスタートして１９／９分後、の３回
太郎と次郎がちょうど出会うのは、
次郎がスタートして２９／９分後、の１回
次郎が上になるのは、
次郎がスタートして３９／９分後
次郎がスタートして２０／３分後
【太郎がＱ地点で立って待っているとしたとき】
次郎がスタートして１０分後【上に同じ】、の３回
以上、７回。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
１５×１５×３．１４×８＝５６５２（ｍ3）
答え ５６５２ｍ3。
【問題１−２】
水１ｍ3の重さ１ｔ（トン）
答え ５６５２ｔ。
【問題２】
円周の長さ ３０π（ｍ）
４周の長さ １２０π（ｍ）
勾配は１２０πｍいって５０πｍ上がる。
三角形の三辺の比が、５：１２：１３のとき直角三角形。
この場合、通路の長さは、１３０πｍとなる。
答え １３０πｍ。
【問題３】
真上、真下の関係は１２０ｍの倍数の差で表現出来る。
１）
太郎が出発してχ分後にあるとする。
４２０−７２χ＝３６０
χ＝５／６＜１
２）
次郎が出発してχ分後にあるとする。
４２０−（７２＋７２χ＋３６χ）＝２４０
χ＝１
３）
次郎が出発してχ分後にあるとする。
４２０−（７２＋７２χ＋３６χ）＝１２０
χ＝１９／９
４）
次郎が出発してχ分後にあるとする。
４２０−（７２＋７２χ＋３６χ）＝−１２０
χ＝１３／３
太郎が歩いた距離は、
７２＋７２×１３／３＝３８４＜４２０
以上、４回が題意を満たす。
答え ４回。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１−１の回答】
水そうの体積
=3.14×15×15×8
=5652(ｍ3)
【問題１−２の回答】
水の重さは1ｍ3あたり1トンであるから
5652トン
【問題２及び問題３】
・地点Qから地点Pに着くまでの回転数をnとする。
・地点Pの真下からの高さをH(m)とする。
・円柱の円の部分の半径をr(m)とする。
この場合、円柱の周りの‘回転距離’は
(2πr)×n=2nπr(m)
鉛直方向の上昇距離はH(m)である。
よって、起点Qから終点Pまでの距離Lは、
【問題２の回答】
r=15(m),H=50π(m)を代入すると
L2=(30×nπ)2+(50π)2
n=4を代入すると
L2=(120π)2+(50π)2
=(130π)2
より、L=130πを得る。
答え408.2m
【問題３の回答】
L=420(m),H=21(m),n=3.5(回転)である。
一方1回転すると420/3.5=120(m)の距離を進む。
太郎が出発した時刻をt=0(分)とする。
時刻t(分)における、太郎及び次郎がいる地点のQを基準に取った距離x,yは、
t≧1において
x=420-72×t,y=36×(t-1)
が成立し、0≦x,y≦420(m)が成立しなくてはならないので
1≦t≦35/6の範囲で回答を求める。
２人の距離の差Sは
S=x-y=456-108×t で表され、太郎と次郎が互いに真上と真下にいる場合には、
S=120×k (Kは整数)が成立しなくてはならない。
すなわち、456-108×t=120×kより
-1.45≦k≦2.9の関係式を得る。
よってk=-1,0,1,2であり、
(t,k)=(16/3,-1),(38/9,0),(28/9,1),(2,2)
太郎が出発してから
2分後,28/9分後,38/9分後,16/3分後に太郎と次郎は互いに真上と真下にいる。
【コメント】
38/9分後は２人が同じ場所で出会う時間です。
◆ 問題へもどる
◆ 今週の問題へ
数学の部屋へもどる