数学の部屋へもどる◆岩手県の中学校３年生 ＲＹＯＴＡ さんからの解答
【問題１−１】
行きにかかった時間は、
１２０／６０＝２（時間）
帰りにかかった時間は、
１２０／４０＝３（時間）
往復２４０ｋｍを５時間で走ったので、平均時速は、
２４０／５＝４８
（答え） 時速４８ｋｍ
【問題１−２】
ドライブには往復で４時間かかった。
平地は往復とも時速４０ｋｍである。
ここで、山の上り下りを考える。
山登りの距離を片道ｙｋｍとすると、
上りにかかった時間は、ｙ／３０（時間）
下りにかかった時間は、ｙ／６０（時間）
上り下りの往復２ｙｋｍを
（ｙ／３０＋ｙ／６０）時間で走ったので
平均時速は、
２ｙ／（ｙ／３０＋ｙ／６０）＝４０（ｋｍ／ｈ）
よって、全行程を、時速４０ｋｍで４時間走ったことと同じである。
したがって、４０×４＝１６０
（答）１６０ｋｍ
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
【問題１−１】
往復の所要時間は
(120÷60)＋(120÷40)＝5(h) で、
往復120×2＝240kmを進んだので、求める平均の速さは
240÷5＝48km/hとなります。
【問題１−２】
平地の片道に要した時間をx(h)、登山の上りに要した時間をy(h)、下りに要した時間をz(h)とすると
2x＋y＋z＝4・・・・・(1)
また登山の上りと下りの距離は同じなので
30y＝60z・・・・・・・(2)
この条件のもとで
D＝40・2x＋30・y＋60・z・・・・・(3)
を求めれば良い。
(2)より、y＝2z を(1)に代入して
2x＋3z＝4・・・・・(4)
また(2)を(3)に代入して
D＝40・2x＋30・y＋60・z
＝40・2x＋60・z＋60・z
＝40(2x＋3z)
ここに(4)を代入して求める距離は
D＝40(2x＋3z)＝40・4＝160km となります。
実際、(4)の解としてx＝1/2、z＝1 とすると、平地の片道が20km、山道の片道が60kmとなって
往復(20＋60)×2＝160km となります。
【問題２】
太郎の速さをx(km/h)、次郎の速さをy(km/h)とすると、速さの比は
x：y＝10：9.9 となりますが、話を分かりやすくするために、
x＝10、y＝9.9 とすると、
太郎は10.1(km)を10(km/h)で走るので
10.1÷10＝1.01(h)かかり、
次郎は10(km)を9.9(km/h)で走るので
10÷9.9＝1.010101・・・・(h)かかるので太郎が先にゴールします。
このとき、太郎が1.01(h)進んでいるときに、
次郎は9.9×1.01＝9.999(km)進むので太郎が次郎に1m差で勝ちます。
【問題３−１】
方法は以下の通りです。
●1.太郎と次郎がバイクに乗り45(km)の地点まで行く。
●2.その地点から太郎は残り60−45＝15(km)を歩いてゴールへ行く。
●3.次郎はその地点から15kmの地点までバイクで引き返し、三郎を乗せてゴールへ行く。
所要時間
太郎：
45/30(バイク)＋15/6(歩き)
＝1.5＋2.5
＝4(h)
次郎：
45/30(バイク)＋30/30(バイク)＋45/30(バイク)
＝1.5＋1＋1.5
＝4(h)
三郎：
15/6(歩き)＋45/30(バイク)
＝2.5＋1.5
＝4(h)
で、三人ともにゴールする最短時間は4(h) となります。
【問題３−２】
A)
まず、例えば2人ずつ2回乗り換えて太郎と三郎の歩く距離をそれぞれ20(km)とすると三人ともにゴールする最短時間は、
22/3＝7.333・・・(h) となります。
この場合は待ち時間(無駄な時間)が発生してしまいます。
B)
次に、待ち時間がなくなるようにバイクで引き返すことを考えて、問題３−１の方法で
x(km)の地点まで進み、(x−30)(km)の地点まで引き返したとすると
太郎：
x/30＋(60−x)/6＝(300−4x)/30・・・(1)
次郎：
x/30＋30/30＋{60−(x−30)}/30＝120/30＝4・・・(2)
三郎：
(x−30)/6＋{60−(x−30)}/30＝(4x−60)/30・・・(3)
(2)が4時間となるので4時間よりは短縮できない。
このとき(1)＝(3) を満たす解を求めて、
300−4x＝4x−60 を解いて、x＝45
で(1)および(3)の値は4 となるので、このとき、三人ともにゴールする最短時間は、4(h) となります。
でもこれ以外の方法で短縮することができないことを示すのは難しいです。
【問題３−３】
可能です。方法は以下の通りです。
★ここまでで3人が同じ20kmの地点に到達しているのでこれを人を替えて以後2回繰り返せば良い。
★ここまでで3人が同じ40kmの地点に到達している。
太郎：
(15/30＋2/6＋3/6)＋(3/6＋2/6＋15/30)＋(15/30＋|−10|/30＋15/30) ＝1/2＋1/3＋1/2＋1/2＋1/3＋1/2＋1/2＋1/3＋1/2 ＝1/2×6＋1/3×3 ＝4次郎：
(15/30＋|−10|/30＋15/30)＋(15/30＋2/6＋3/6)＋(3/6＋2/6＋15/30) ＝1/2＋1/3＋1/2＋1/2＋1/3＋1/2＋1/2＋1/3＋1/2 ＝1/2×6＋1/3×3 ＝4三郎：
(3/6＋2/6＋15/30)＋(15/30＋|−10|/30＋15/30)＋(15/30＋2/6＋3/6) ＝1/2＋1/3＋1/2＋1/2＋1/3＋1/2＋1/2＋1/3＋1/2 ＝1/2×6＋1/3×3 ＝4で三人とも4(h)になり、かつ、それぞれ歩いた距離は
◆石川県 Takashi さんからの解答
【問題１−１】
行きは１２０ｋｍの道程を６０ｋｍ／ｈで進んだのだから、２時間。 帰りは１２０ｋｍの道程を４０ｋｍ／ｈで進んだのだから、３時間。 よって、平均すると２４０ｋｍの道程を５時間かけて進んだ事になる。 ４８ｋｍ／ｈ 【問題１−２】
山道を降りる時の速さは登るときの速さのちょうど２倍である。
山道を登るのにかかる時間を、ｔ（ｈ）とすると、
山道の片道の道程は、３０ｔ（ｋｍ）
山道を降りるのにかかる時間は、ｔ／２（ｈ）
山道の平均時速は、
（２×３０ｔ）÷（ｔ＋ｔ／２）＝４０（ｋｍ／ｈ）
平地の速さも４０（ｋｍ/ｈ）だから、全行程の平均時速は４０（ｋｍ／ｈ）
合計で４時間かかっているから、総距離は１６０（ｋｍ）
【問題２】
最初の競争で、太郎が１０ｋｍ進むのにかかる時間と、次郎は、９．９ｋｍ進むのにかかる時間は同じである。
２回目の競争では、太郎が１０．１ｋｍ進む事になる。
このとき次郎が進む距離は、
９．９×（１０．１÷１０）＝９．９９９（ｋｍ）
よって、太郎が１ｍ差で勝。
【問題３−１】
３人を、Ａ，Ｂ，Ｃとする。
最初にＡとＢがバイクに乗って、Ｃが徒歩でスタートする。
１時間３０分後にＢはバイクを降りて歩き出し、ＡはＣを迎えに戻る。
【４５ｋｍ地点】
１時間 後にＡとＣは出会い、２人でバイクに乗ってゴールを目指す。
【１５ｋｍ地点】
１時間３０分後に３人は同時にゴールに着く。
４時間
【問題３−２】
例えば、ＡとＢがバイクに乗っていく時間をｔ、その後はＢはバイクに乗らないものとする。
ＡとＢがバイクで３０ｔ【ｋｍ】進んだとき、Ｃは徒歩で６ｔ【ｋｍ】進んでいる。
その後、ＡとＣは互いに向かい合って出会うまでに
（３０ｔ−６ｔ）÷３６＝（２／３）ｔ【ｈ】かかる。
その後、ＡとＣはバイクに乗ってｔ【ｈ】進むと、
スタートから４０ｔ【ｋｍ】の地点でＢと出会う。
＜ａ＞
ｔ＝１．５−αのとき、【α＞０】
３人が出会う地点はゴールから４０α手前の地点である。
【所要時間４−（８／３）α時間】
Ｂはこの距離を歩いていくので、
４０α÷６＝（２０／３）α【ｈ】かかる。
ＡとＣはバイクでいくので、
４０α÷３０＝（４／３）α【ｈ】かかる。
よって、最も遅くゴールに着くのはＢで、全所要時間は、
４−（８／３）α＋（２０／３）α＝４（１＋α）
今、α＞０なので、４時間より多くかかってしまう。
＜ｂ＞
ｔ＝１．５＋αのとき。【α＞０】
３人が出会うのは、ゴールから４０α過ぎた地点である。
【所要時間４＋（８／３）α時間】
Ｂは歩いているので、ゴールには
（２０／３）α【ｈ】前に到着していた。
ＡとＣはバイクなので、ゴールには
（４／３）α【ｈ】前に到着していた。
よって、最も遅くゴールに着くのはＡとＣで、全所要時間は、
４＋（８／３）α−（４／３）α＝４（１＋α／３）
今、α＞０なので、４時間より多くかかってしまう。
よって、４時間以内にゴールする事は出来ない。
【問題３−３】
問３−１の方法だと、ＢとＣは同じ距離【１５ｋｍ】を歩いているが、Ａは全く歩いていない。
よって、全体の行程を３等分して、≪３−１≫と同じように行動した後
【所要時間１時間２０分】、
役割を交代して３回繰り返すとちょうど４時間でゴールに到着しつつ、３人とも歩く距離が同じになる。
【１０ｋｍ】
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
１２０÷６０＝２
１２０÷４０＝３
１２０×２÷（２＋３）＝４８
答え ４８ｋｍ。
調和平均
２×６０×４０÷（６０＋４０）
＝４８００÷１００
＝４８
【問題１−２】
上りと下りの平均時速は調和平均により、
２×６０×３０÷（６０＋３０）
＝３６００÷９０
＝４０
全行程の平均時速が４０ｋｍとなる。
４０×４＝１６０
答え １６０ｋｍ。
【問題２】
太郎がχ時間でゴールしたとする。
太郎のバイクの平均時速 １０／χ
次郎のバイクの平均時速 ９．９／χ
二度目に太郎がゴールに要した時間
１０．１／（１０／χ）＝（１０１／１００）×χ
次郎がゴールに要した時間
１０／（９．９／χ）＝（１００／９９）χ
１００／９９−１０１／１００
＝（１００００−９９９９）／９９００
＝１／９９００＞０
太郎の方が早くゴールしたことになる。
| １０− | ９．９ ――――― χ | × |
１０１ ――――― １００ | ×χ |
答え 太郎が１ｍ勝つ。
【問題３−１、３−２】
３人とも待ち時間がないことが最短時間でゴール出来る条件である。
このことは、３人が同時にゴールすることである。
太郎がバイクを運転して次郎をχｋｍのところでおろす。
次郎はゴールをめざして歩く。
同時に歩いて出発した三郎を迎えに太郎はバイクで引き返す。
出会ったところで三郎をバイクにのせてをゴールめざす。
そのようになる地点がχｋｍでもある。
また三郎が歩いた距離をＹｋｍとする。
| χ ―― 30 | ＋ |
60−χ ――――― ６ | ＝ | Ｙ ―― ６ |
＋ |
60−Ｙ ――――― 30 | ．．．１） |
| ３０×( | χ ―― 30 | ＋ |
60−χ ――――― ６ | )＝ | ６０＋２×（χ−Ｙ）．．．２） |
１）式を整理する。
χ＋Ｙ＝６０．．．３）
２）式を整理する。
３χ−Ｙ＝１２０．．．４）
χ＝４５、Ｙ＝１５
４５／３０＋１５／６＝４
答え ４時間。
次郎が歩いた距離１５ｋｍ、三郎が歩いた距離１５ｋｍと同じになる。
バイクを運転した太郎は１２０ｋｍ、すなわち一往復したことになる。
●例
６０ｋｍの４分の３の地点で次郎をおろす。
次郎はゴールに向かって歩く。
太郎は三郎を迎えに引き返し、出会った地点で三郎をバイクにのせてゴールをめざす。
３人は同時にゴールインする。
最短時間でゴールインするためには、待ち時間がなく、かつ次郎と三郎の歩いた距離が同じで、しかもその距離が最小とならなければならない。
その距離をχｋｍとする。
太郎がバイクで走る距離は、
（６０−χ）＋（６０−χ）＝１２０（ｋｍ）
１２０÷３０＝４（時間）
４時間が最短時間であることがわかる。
【問題３−３】
答え 可能です。
ドライバー役が３人がいるので、６０ｋｍを３等分して２０ｋｍ、３区間と考える。
２０ｋｍの４分の３の１５ｋｍ地点まではこび、迎えに戻るということを繰り返せばよい。
１）太郎がドライバー役で次郎をのせて１５ｋｍ地点でおろし、三郎を迎えに行き、出会ったとことで三郎をのせて２０ｋｍ地点に向かう。
ここで３人がそろう。
２）次郎がドライバー役で三郎をのせて３５ｋｍ地点でおろし、太郎を迎えに行き、出会ったところで太郎をのせて４０ｋｍ地点に向かう。
ここで３人がそろう。
３）三郎がドライバー役で太郎をのせて５５ｋｍ地点でおろし、次郎を迎えに行き、出会ったところで次郎をのせてゴールに向かう。
３人が同時にゴ−ルイン出来る。
バイクは１２０ｋｍ走ったことになる。
１２０÷３０＝４
３人は１０ｋｍ歩いたことになる。
題意を満たしている。
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題１−１の回答】
バイクに乗った距離÷(行きにかかった時間+帰りにかかった時間)= (120+120)÷(120÷60+120÷40)
答え 平均時速48km
【問題１−２の回答】
平地の距離÷40+坂の距離÷30+坂の距離÷60+平地の距離÷40=4であるから、両辺を120倍すると
3×平地の距離+4×坂の距離+2×坂の距離+3×平地の距離=480よって
6×(平地の距離+坂の距離)=480
平地の距離+坂の距離=80
ドライブした距離は80×2=160(km)
【問題２の回答】
太郎は次のレースでは、最初の距離の
(10+0.1)÷10=1.01(倍)の距離を走る。
太郎がゴールに着いた時、次郎は出発点から
(10-0.1)×1.01=9.999(km)の地点にいる。
よって、太郎は
10-9.999=0.001(km)
即ち1m差で次郎に勝つ。
【問題３−１及び問題３−２の回答】
ゴールに到着するまでに太郎、次郎、三郎の3人は
(1)
１人(A)は歩き、2人(B,C)はバイクに乗って進みある地点で1人(BがCを)を置いてバイクで引き返す。
(A)と(C)は歩き続ける。
(2)
バイクで引き返した人間(B)が最初に歩いていた人間(A)と出会った地点で、バイクに相乗りして前に進む。
(3)
バイク(AとB)は歩いている人間(C)に追いつく。のパターンを繰り返すことによりゴールに到着する。
[STEP1]…
(1)から(3)の1回の繰り返しで(3)にて3人が同地点に到着する時、平均時速が15kmである。
[証明]
(1)(2)(3)の各々の所要時間を各々s,t,uとすると
Aの進んだ距離 30×s+ 6×t+ 6×u
B及びCの進んだ距離 6×s+ 6×t+30×u
(上の式と同じ値)
(2)でAとBが出会う時点で
6×s+ 6×t=30×s-30×t
以上の関係式によりs:t:u=3:2:3を得る。
この時点までの平均時速は
(30×s+ 6×t+ 6×u)÷(s+t+u)
=(90+12+18)÷(3+2+3)
=120÷8
=15
[STEP2]…
(1)から(3)を何回か繰り返して(3)にて3人がゴールに到着する時の3人の平均時速は15kmである。
[証明]
[STEP1]より明らかである。
[STEP3]…
どんな方法であっても、ゴールに到着する時点での平均時速は15kmを越えない。
[証明]
(3)でバイク(AとB)は歩いている人間(C)に追い越してある地点まで行ってから、AかBが(Bとする)バイクで引き返し、バイクから降りて歩いた人間(A)が先にゴールに到着する場合
(AとB)が(C)と同地点になった時点での3人の平均時速が15kmなので、(A)が先にゴールに到着した時点でのAの平均時速は15kmより小さい。
よって、BとCの平均時速も15kmより小さい。
[STEP4]…問題３−１及び問題３−２の回答
(1)(2)(3)の1回の繰り返しで3人が同じにゴールした場合
30×s+ 6×t+ 6×u=60が成立するから、
所要時間s+t+u=4(時間)を得る。
一方[STEP3]より平均時速は15kmを越えないので、所要時間が4時間を下回ることはない。
4時間でゴール出来る方法は(1)(2)(3)の1回の繰り返しでゴールに到着するケースである。
【問題３−３の回答】
前述の事例では、
30×s+ 6×t+ 6×u=60であるから
s=1.5,t=1,u=1.5となるから、即ち、
Aは6×(s+t)=15(km)
Bは 0(km)
Cは6×(t+u)=15(km)歩く。
よって、(1)から(3)までを20kmごとに3回繰り返し、3回の各々におけるA,B,Cの役割を太郎、次郎、三郎の3人で平等に分担する事により3人の歩く距離は同じになる。
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