数学の部屋へもどる◆石川県 Takashi さんからの解答
≪１≫
Ａは自転車で半周、徒歩で半周しているから、
（１÷２０＋１÷５）×６０＝１５（分）
そのときＢは、徒歩で半周してから、そこにおいてある自転車で半周する。
（１÷４＋１÷１５）×６０＝１９（分）
≪２≫
Ａが自転車に乗っている時間をｔ（時間）とする。
４÷２０＝０．２ だから、
０＜ｔ＜０．２
Ａが自転車に乗りつづけたときにＢにちょうど一周差となる時刻ｓは、
２０×ｓ＝４×ｓ＋２
ｓ＝０．１２５（時間後）
＜ａ＞
０＜ｔ＜０．１２５のとき、
Ａは、自転車に乗ってから残りを歩いていくから、歩く距離は
４−ｔ×２０＝４−２０ｔ
よって全所要時間は
ｔ＋（４−２０ｔ）÷５＝０．８−３ｔ（時間）
Ｂは、２０ｔ（ｋｍ）歩いてから、自転車で残りを行くので、全所要時間は
２０ｔ÷４＋（４−２０ｔ）÷１５
＝（１１／３）ｔ＋４／１５
よって、ｔ＝０．０８（時間）のとき、所要時間３３分３６秒が最低となる。
＜ｂ＞
０．１２５≦ｔ＜０．２のとき
Ａの所要時間は、＜ａ＞と同じく、
０．８−３ｔ（時間）
Ｂの所要時間は、
（２０ｔ−２）÷４＋（６−２０ｔ）÷１５
＝（１１÷３）ｔ−０．１
よって、ｔ＝０．１３５（時間）のとき、所要時間２３分４２秒が最低となる。
答．Ａは２周目のスタートから７００ｍ地点で自転車を乗り捨てると、２３分４２秒後に２人同時にゴールに到着する
≪３≫
Ａが自転車に乗る時間をｔ（時間）、
Ａが自転車に乗りつづけたとき、Ｂとちょうど一周差となる時刻をｓ(1)、
ちょうど二周差となる時刻をｓ(2)とする。
【０＜ｔ＜０．３】
ｓ(1)×２０＝ｓ(1)×４＋２
ｓ(1)＝０．１２５（時間）
ｓ(2)×２０＝ｓ(2)×４＋４
ｓ(2)＝０．２５０（時間）
問２より、Ａの所要時間は、
１．２０−３ｔ（時間）…@
＜ａ＞
０＜ｔ＜ｓ(1)のとき、
Ｂの所要時間は、（１１／３）ｔ＋０．４０
@より、ｔ＝０．１２（時間）のとき、所要時間は最も少なくて、５０分２４秒
＜ｂ＞
ｓ(1)≦ｔ＜ｓ(2)のとき
Ｂの所要時間は、
（２０ｔ−２）÷４＋（８−２０ｔ）÷１５
＝（１１／３）ｔ＋１／３０
@より、ｔ＝７／４０（時間）のとき、所要時間は最も少なくて、１時間４３分３０秒
＜ｃ＞
ｓ(2)≦ｔ＜０．３
Ｂの所要時間は、
（２０ｔ−４）÷４＋（１０−２０ｔ)÷１５
＝（１１/３）ｔ−（１／３）
@より、ｔ＝０．２５（時間）のとき、所要時間は最も少なくて、３５分
答．Ａは３周目にスタートから１ｋｍの地点でＢに自転車を渡したとき、所要時間は ３５分
【コメント】
同時にという条件をはずして、できるだけ早く２人が３周するという条件だとこの解が正解だと思います。
その問題も面白いので、あえて掲載しました。
◆北海道 くーりー さんからの解答。
【問題１−１】
(1/20+1/5)*60=15[分]
【問題１−２】
(1/4+1/15)*60=19[分]
【問題２】
@
Ａが１周目の途中で自転車を乗り捨てて、Ｂが１周目の途中で自転車を拾うと考えると、
X/20+(4-X)/5=X/4+(4-X)/15
これを解くと X=8/5=1.6[km]
かかる時間は
(1.6/20+2.4/5)*60=33.6[分]
A
Ａが２周目の途中で自転車を乗り捨てて、Ｂが１周目の途中で自転車を拾うと考えると、
X/20+(4-X)/5=(X-2)/4+(6-X)/15
これを解くと X=27/10=2.7[km]
かかる時間は
(2.7/20+1.3/5)*60=23.7[分]
よって、Aの場合が答になる。
2.7[km]、23.7[分]
【問題３】
@
Ａが自転車で走行中にＢを追い抜かない場合、
X/20+(6-X)/5=X/4+(6-X)/15
これを解くと X=12/5=2.4[km]
Ａが乗り捨てる時刻はスタート後
2.4/20*60=7.2[分後]
Ｂが拾う時刻はスタート後
2.4/4*60=36[分後]
つまり、Ａが2.4[km]で乗り捨て、
かかる時間は
(2.4/20+3.6/5)*60=50.4[分]
A
Ａが自転車で走行中にＢを１度追い抜く場合、
X/20+(6-X)/5=(X-2)/4+(8-X)/15
これを解くと X=7/2=3.5[km]
Ａが乗り捨てる時刻はスタート後
3.5/20*60=10.5[分後]
Ｂが拾う時刻はスタート後
1.5/4*60=22.5[分後]
つまり、Ａが3.5[km]で乗り捨て、
かかる時間は
(3.5/20+2.5/5)*60=40.5[分]
B
Ａが自転車で走行中にＢを２度追い抜く場合、
X/20+(6-X)/5=(X-4)/4+(10-X)/15
これを解くと X=23/5=4.6[km]
Ａが乗り捨てる時刻はスタート後
4.6/20*60=13.8[分後]
Ｂが拾う時刻はスタート後
0.6/4*60=9[分後]
これではＡが乗り捨てる前にＢが通り過ぎてしまうので、Ａが２周したのちにＢに追いついた時点で自転車を引き継ぐことになる。
その時点までのＡの走行距離X[km]は、
X/20=(X-4)/4
これを解くと X=5[km]
３周を終えるのはＡよりＢが遅く、
時間は(1/4+5/15)*60=35[分]
つまり、Ａが5[km]で乗り捨て、かかる時間は 35[分]
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
【問題１−１】
Aは池の半周した地点(スタートより1kmの地点)で自転車を乗り捨てるので、
(1÷20)＋(1÷5)＝1/20＋1/5＝5/20＝1/4時間＝15分 となります。
【問題１−２】
Bは池の半周した地点(スタートより1kmの地点)で自転車に乗るので、
(1÷4)＋(1÷15)＝1/4＋1/15＝19/60時間＝19分 となります。
【問題２】
Aが出発してから1周め(Xkm)で乗り捨てたとすると、2周するのに要する時間は
(X÷20)＋{(4−X)÷5}＝(16−3X)/20時間となります。
このとき、Bがこの自転車に乗れたとすると
(X÷4)＋{(4−X)÷15}＝(11X＋16)/60時間かかるので、両者同時に2周完走するので、これらの時間が等しいので
(16−3X)/20＝(11X＋16)/60
これを解いて、X＝1.6km となります。
このとき、2周するのは、
(16−3×1.6)/20＝0.56時間＝33分36秒後 となります。
Aが出発してから2周め(Xkm)で乗り捨てたとすると、2周するのに要する時間は
(X÷20)＋{(4−X)÷5}＝(16−3X)/20時間となります。
このとき、Bがこの自転車に乗れたとすると
{(X−2)÷4}＋[{4−(X−2)}÷15]＝(11X−6)/60時間かかるので、両者同時に2周完走するので、これらの時間が等しいので
(16−3X)/20＝(11X−6)/60
かつ
Aが2周めでBに再び追いつくのはBが
{2÷(20−4)}×4＝0.5kmの地点なので、
2.5≦X≦4
これを解いて、X＝2.7km となります。
このとき、2周するのは、
(16−3×2.7)/20＝0.395時間＝23分42秒後 となります。
以上より、最も早い時間で2周し終わるには、Aは出発してから2.7kmのところで自転車を乗り捨てればよく、このとき2周し終わるのは出発してから23分42秒後となります。
【問題３】
問題２と同様に考えるが、問題２はAが1周目で乗り捨てたとすると、
(X÷20)＋(6−X)/5＝(X÷4)＋(6−X)/15
かつ
0≦X≦2
これを解いて、解なしとなります。
2周目で乗り捨てたとすると、
(X÷20)＋(6−X)/5＝{(X−2)÷4}＋{6−(X−2)}/15
かつ
Aが2周めでBに再び追いつくのはBが
{2÷(20−4)}×4＝0.5kmの地点なので、
2.5≦X≦4
これを解いて、X＝3.5 で、このとき3周するのは、40分30秒後となります。
3周目で乗り捨てたとすると、
(X÷20)＋(6−X)/5＝{(X−4)÷4}＋{6−(X−4)}/15
かつ
Aが3周めでBに再び追いつくのはBが
{4÷(20−4)}×4＝1kmの地点なので、
5≦X≦6
これを解いて、解なしとなります。
以上より、最も早い時間で3周し終わるには、Aは出発してから3.5kmのところで自転車を乗り捨てればよく、このとき3周し終わるのは出発してから40分30秒後となります。
【コメント】
同時にということを考慮すると、40分30秒が正解だと思います。
◆神奈川県 ひろ さんからの解答
【問題１−１】
1/5+1/20=15/60 15分
【問題１−２】
1/4+1/15=19/60 19分
【問題２】
Ａが自転車を乗り捨てるまでの距離（xとおく）と、自転車を乗り捨ててからの距離（yとおく）に注目して解く。
ここで、ＡとＢが完走するまでの時間（距離x+yに対して）
Ａ
x/20+y/5 [h] ---(1)
Ｂ
y/15+x/4 [h] ---(2)
ＡとＢが同時にゴールした時に両方が完走するまでの時間が最も短いから
x/20+y/5 = y/15+x/4 ---(3)
２周ならばx+y=4、３周ならばx+y=6とし、
ここでは一般化してx+y=2nとおく。
xとyの関係は方程式(3)を解く事により
x=2y/3
距離が2nのとき、これをx+y=2nに代入して
x=4n/5 , y=6n/5
これで、自転車を乗り捨てる場所が分かった。
完走するまでの時間は(1)または(2)にこれを代入して
84n/5 [m]
一周あたり16分48秒となります。
ＡがＢを一周抜かす事も考えてみます。
Ａが自転車を乗り捨てる場所をxとします。
Ａは2+xだけ自転車にのります。
Ａが２周するのにかかる時間は
(2+x)/20+(2-x)/5 ---(2-1)
Ｂが２周するのにかかる時間は
x/4+(4-x)/15 ---(2-2)
これが同じだとすると(2-1)=(2-2)で
x=7/10
(1)または(2)に代入する事でかかる時間は23.7分になります。
Ａが自転車にのっている時間とＢが歩いている時間を比べると、Ａが自転車にのっている時間の方が短いので１周抜かす事ができます。
【問題３】
ＡがＢを２周抜かすと考えます。
このときＡが２周まわってからＢと出会うのは1kmの所になります。
ここで自転車をＢに渡したとしても同時にゴールする事は出来ません。
Ａ 27分 Ｂ 35分 かかります。
次に、ＡはＢを一周だけ抜かすとします。
Ａが３周するのにかかる時間は
(2+x)/20+(4-x)/5 ---(3-1)
Ｂが３周するのにかかる時間は
x/4+(6-x)/15) ---(3-2)
x=3/2
(1)または(2)に代入する事で、３周するのにかかる時間は40.5分になります。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１−１】
池の半周は１ｋｍ。
６０×(１÷２０)＝３
６０×(１÷５)＝１２
３＋１２＝１５
答え １５分。
【問題１−２】
６０×(１÷４)＝１５
６０×(１÷１５)＝４
１５＋４＝１９
答え １９分。
【問題２】
１周してＸｋｍのところで自転車が乗り捨てられたとする。
０≦Ｘ＜２。
６０*(２＋Ｘ)／２０＋６０*(２−Ｘ)／５
＝３０−９Ｘ
６０*Ｘ／４＋６０*(２−Ｘ)／１５
＝１６＋１１Ｘ
３０−９Ｘ＝１６＋１１Ｘ
Ｘ＝０．７
３０−９*０．７＝２３．７
上記以外は題意を満たさない。
答え ０．７ｋｍ、２３．７分
【問題３】
イ)
１周してＸｋｍのところで自転車が乗り捨てられたとする。
０≦Ｘ＜２。
６０*(２＋Ｘ)／２０＋６０*(４−Ｘ)／５
＝５４−９Ｘ
６０*Ｘ／４＋６０*(６−Ｘ)／１５
＝１５Ｘ＋２４−４Ｘ
＝２４＋１１Ｘ
２４＋１１Ｘ＝５４−９Ｘ
Ｘ＝１．５
５４−９*１．５＝４０．５
ロ)
２周してＸｋｍのところで自転車が乗り捨てられたとする。
０≦Ｘ＜２。
６０*(４＋Ｘ)／２０＋６０*(２−Ｘ)／５
＝３６−９Ｘ
６０*Ｘ／４＋６０*(６−Ｘ)／１５＝２４＋１１Ｘ
３６−９Ｘ＝２４＋１１Ｘ
Ｘ＝０．６
３６−９*０．６＝３０．６
【おまけ】
ｍ周してＸｋｍのところで自転車が乗り捨てられたとする。
０≦Ｘ＜２，ｎ＞ｍ ｎ，ｍは自然数。
６０*(２ｍ＋Ｘ)／２０＋６０*(２ｎ−２ｍ−Ｘ)／５
＝２４ｎ−１８ｍ−９Ｘ
６０*Ｘ／４＋６０*(２ｎ−Ｘ)／１５＝８ｎ＋１１Ｘ
２４ｎ−１８ｍ−９Ｘ＝８ｎ＋１１Ｘ
Ｘ＝(８ｎ−９ｍ)／１０
Ｘが解を持つためには、ｍ≦８／９*ｎ。
(２ｍ＋Ｘ)／２０≦Ｘ／４
自転車が乗り捨てられているための条件。
ｍ≦４／７*ｎ ｍ＝[４／７*ｎ]
またＸ＜２ であるから
ｎ＝２ のとき
ｍ＝１、Ｘ＝(８*２−９*１)／１０＝０．７
ｎ＝３ のとき
ｍ＝１、Ｘ＝(８*３−９*１)／１０＝１．５
ｎ＝４ のとき
ｍ＝２、Ｘ＝(８*４−９*２)／１０＝１．４
ｎ＝５ のとき
ｍ＝２、Ｘ＝(８*５−９*２)／１０＝２．２ 不適
ｎ＝６ のとき
ｍ＝３、Ｘ＝(８*６−９*３)／１０＝２．１ 不適
ｎ＝７ のとき
ｍ＝４、Ｘ＝(８*７−９*４)／１０＝２．０ 不適
ｎ＝８ のとき
ｍ＝４、Ｘ＝(８*８−９*４)／１０＝２．８ 不適
ｎ＝２〜４ のとき
Ｘ＝(８ｎ−９ｍ)／１０ ｍ＝[４／７*ｎ]
◆北海道 zero さんからの解答
【問題１−１】
Ａの速さは
徒歩で分速5/60ｋｍ、自転車で分速20/60ｋｍである。
したがって、
（かかる時間）（単位は分）
＝1/(5/60)+1/(20/60)
＝60/5+60/20
＝12+3
＝15
答．15分
【問題１−２】
Ｂの速さは
徒歩で分速4/60ｋｍ、自転車で分速15/60ｋｍである。
Ｂは徒歩で1ｋｍ、自転車で1ｋｍ進むので、
（かかる時間）(単位は分)
＝1/(4/60)+1/(15/60)
＝60/4+60/15
＝15+4
＝19
答．19分
【問題２】
Ａが出発してから、自転車を乗り捨てるまでにかかった時間をt分、２人が同時に２周し終わるのが、出発して からs分後であったとする。
まず、Ａが１周目で自転車を乗り捨てるときを考えてみる。
すると距離の関係から、次が成り立つ。
20t/60+5/60(s-t)＝4
4t/60+15/60(s-t)＝4
この２式から、t＝-495/34＜0を得る。
しかしこれは明らかに不適当である。
ゆえにＡが自転車を乗り捨てるのは、２周目であると考えてよい。
ここで、Ａが２周目を出発してから、自転車を乗り捨てるまでにかかった時間を、新たにu分とおく。
このとき、
（Ａが２周するのにかかる時間）
＝2/(20/60)+ u +(2 - 20u/60)/(5/60)
＝-3u+30
（Ｂが２周するのにかかる時間）
＝(20u/60)/(4/60)+(4 - 20u/60)/(15/60)
＝11u/3+16
この二つの時間が等しいとおくと、
-3u+30＝11u/3+16
u＝21/10
よって、Ａが自転車を乗り捨てるまでに走行した道のりは、
2 + (20/60)*(21/10)＝27/10＝2.7
また、２周し終わるまでにかかる時間は、
-3*(21/10)+30＝23.7
となる。
答．
Ａは、出発してから2.7ｋｍの所で自転車を乗り捨てればよい。
また、その時２周するのにかかる時間は23.7分である。
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