数学の部屋へもどる◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
ｎ＝１０
先手が１〜９のどの数を言っても、１０を越えることは出来ない。
後手は次の１手で１０を越える数を言うことが出来る。
後手必勝。
【問題２】
ｎ＝１３
先手は３を言って、残り１０にする。
後手は次の１手で１０を越えることが出来ない。
先手必勝。
【問題３】
ｎ＝２０
先手は５を言って、１５を残す。
後手は次の１手で５を言って１０残したいが、５は禁手。
後手が１〜４のとき、先手は残り１０になる数を言う。
後は問題１に還元される。
後手が６〜９のとき、次の１手で勝負を決める数を言える。
先手必勝。
【問題４】
ｎ＝２１
先手が１のとき、後手５。
残り１５。先手５が禁手。
先手２〜９のとき、後手は残り１０になる数を言う。
（先手の数＋後手の数＝１１。）
後手必勝。
【問題５】
ｎ＝３２
先手１のとき後手５残り２６。
先手は５を言って残り２１にしたいところであるが、５は禁手。
先手が１〜４の数のとき、後手は残り２１になる数を言う。
後は問題４。
先手が６〜９の数のとき、後手は残り１０になる数を言う。
後は問題１。
先手２〜９のとき
先手の数＋後手の数＝１１。
残り２１にする。
後は問題４に還元される。
後手必勝。
【おまけ】
ｎ＝３３〜４１のとき
残り３２になるように先手が出来るので先手必勝。
ｎ＝４２のとき
先手は５、残り３７。
後手は５で残り３２にしたいが５は禁手。
しかし、後手は８でがんばり残り２９とする。
先手は８で残り２１にしたいが８は禁手。
したがって、３２または２１は後手が残せる。
よって、後手必勝。
ｎ＝４３〜５１のとき
残り４２になるように先手が出来るので先手必勝。
ｎ＝５２のとき
先手は５。残り４７。
後手は５が禁手なので残り４２に出来ない。
後手が１のとき先手４。残り４２。
２ ３ ４２。
３ ２ ４２。
４ １ ４２。
６ ９ ３２。
７ ８ ３２。
８ ７ ３２。
９ ６ ３２。
残り４２または３２は先手が残せる。
よって先手必勝。
ｎ＝５３のとき
先手１。後手５。
先手５は禁手であるから４２を残せない。
先手の数＋後手の数＝１１になるように後手の数を決めれば４２は後手が残せる。
したがって、後手必勝。
後手必勝の数列は、
０、１０、２１、３２、４２、５３、６４、７４・・・・・、
階差数列
１０，１１，１１，１０，１１，１１，．．．．．．
１０＋１１＋１１＝３２。
３２をサイクルにしていることがわかる。
ｎ≡０
ｎ≡１０
ｎ≡２１ (mod 32)
即ち、ｎを３２で割ったとき、剰余が０，１０，２１のとき後手必勝。
ｎ＝７４のときも成立します。
◆石川県 平田和弘 さんからの解答
(問題１)
n＝10 のとき
●1.
先手が5以外のどれを言っても後手が合計10になる数字を言えるので後手勝ち
●2.
また、先手が5を言ったときは、後手が6以上を言えばよい。
よってやはり後手勝ちとなります。
以上より、後手勝ちとなります。
(問題２)
n＝13 のとき
まず、先手が3を言う。
残りが10で問題１よりここでの後手番勝ちとなるので、即ち先手勝ちとなります。
以上より、先手勝ちとなります。
(問題３)
n＝20 のとき、
●1.
先手が1〜9(5以外)を言うと、後手が合計10になる数字を言えば、残り10となり問題１よりここでの後手番勝ちとなるので後手勝ちとなります。
●2.
先手が5を言うと、
・2-1.
後手が1〜4を言えば、先手がこの数字に対して合計5になるように言えば、残り10で問題１よりここでの後手番勝ちとなるので先手勝ちとなります。
・2-2.
後手が6〜9を言えば、先手がこの数字に対して合計15になるように言えば、足した合計がちょうど20になるのでので先手勝ちとなります。
上記より、2.の戦法でいけば先手勝ちとなります。
(問題４)
n＝21 のとき、
●1.
先手が1を言えば、残り20で問題３よりここでの先手番勝ちとなるので後手番勝ちとなります。
●2.
先手が2〜9を言えば、後手がこの数字に対して合計11になるように言えば、残り10で問題１より、ここでの後手番勝ちとなるので後手勝ちとなります。
以上より、後手勝ちとなります。
(問題５)
(準備)
n＝30および31のときについて考えます。
●1.
n＝30 のとき、
・1-1.
先手が1〜8を言えば、後手がこの数字に対して合計9になるように言えば、残り21で問題４よりここでの後手番勝ちとなるので後手勝ちとなります。
・1-2.
先手が9を言えば、残り21で問題４よりここでの後手番勝ちとなるので先手勝ちとなります。
以上より、1-2.の戦法でいけば先手勝ちとなります。
●2.
n＝31 のとき、
・2-1.
先手が1を言えば、残り30で上記1.(n＝30 のとき)より、ここでの先手番勝ちとなるので後手勝ちとなります。
・2-2.
先手が2〜9(5を除く)を言えば、後手がこの数字に対して合計が10になるように言えば、残り21で問題４よりここでの後手番勝ちとなるので後手勝ちとなります。
・2-3.
先手が5を言えば、
2-3-1.
後手が1〜4を言えば、先手がこの数字に対して合計が5になるように言えば、残り21で問題４よりここでの後手番勝ちとなるので先手勝ちとなります。
2-3-2.
後手が6〜9を言えば、残り20〜17で問題２および３の解答過程よりここでの先手勝ちとなるので先手勝ちとなります。
以上より、2-3.の戦法でいけば先手勝ちとなります。
n＝32 のとき
●1.
先手3〜9を言えば、後手がこの数字に対して合計が11になるように言えば、残り21で、問題４よりここでの後手番勝ちとなるので後手勝ちとなります。
●2.
先手が2を言えば、残り30で上記準備のn＝30のときより、ここでの先手勝ちとなるので後手勝ちとなります。
●3.
先手が1を言えば、残り31で上記準備のn＝31のときより、ここでの先手勝ちとなるので後手勝ちとなります。
以上より、後手勝ちとなります。
(おまけの問題)
n≡10(mod32) または n≡21(mod32) または n≡0(mod32)のとき後手勝ちとなります。・・(★)
●1.
n≡10(mod32) ・・・・・・(1) のとき、
・1-1.
先手が5以外の手でスタートすると、(1)の両辺より10を引いて、
(n−10)≡0(mod32) となります。
・1-2.
また、先手が5の手でスタートすると、後手は8の手を選択すればよい。
(1)の両辺より13を引いて、
(n−13)≡-3(mod32) 即ち、(n−13)≡29(mod32)
となりますが、ここで、先手は8の手を選択できないので、
(n−21)≡21(mod32) とはできない。
●2.
n≡21(mod32) ・・・・・・(2) のとき、
・2-1.
先手が2〜9でスタートすれば、後手はこの数字に合計したものが11となるようにすれば、残りが11減るので、(2)の両辺より11を引くと、
(n−11)≡10(mod32) となります。
・2-2.
先手が1でスタートすれば、残りが1減るので、(2)の両辺より1を引くと、
(n−1)≡20(mod32)
となりますが、実はこの状態は先手5でスタートすると先手勝ちであることがわかります。
●3.
n≡0(mod32) ・・・・・・(3) のとき、
・3-1.
先手が2〜9でスタートすれば、後手はこの数字に合計したものが11となるようにすれば、残りが11減るので、(3)の両辺より11を引くと、
(n−11)≡-11(mod32) 即ち、(n−11)≡21(mod32)となります。
・3-2.
先手が1でスタートすれば、残りが1減るので、(3)の両辺より1を引くと、
(n−1)≡-1(mod32) 即ち、(n−1)≡31(mod32)
となりますが、実はこの状態は先手5でスタートすると先手勝ちであることがわかります。
以上の考察より(★)がわかります。
(感想)
n＝42のときが障壁となっていました。
n＝42のときずっと先手が5でスタートすると先手勝ちだと思っていましたが、実は後手には8といううまい手があって先手勝ちとはならないことにようやく気が付きこれに至りました。
奥が深くてまいりました。
◆北海道 くーりー さんからの解答
便宜的に、先手、後手通算の手数を○手目
(初手、２手目、３手目、…)と言うことにします。
【問題１】
後手有利（必勝）
例えば、先手(初手)が8以下であれば後手(２手目)は9、
先手(初手)が9であれば後手(２手目)は9以外何でも良い。
【問題２】
先手有利（必勝）
問題１のように残り10にして相手に手番を渡せば、自分が勝てるわけだから、先手(初手)は3と言って
(残り=13-3=10にして)、
後手に手番を渡せば、先手が問題１での後手の立場になれる。
【問題３】
先手有利（必勝）
先手(初手)が5であれば、後手(２手目)は5とは言えない。
後手(２手目)が1,2,3,4であれば、おのおの次の先手(３手目)は4,3,2,1とすれば残り10で後手番。
(＝問題１)
後手(２手目)が6以上であれば、次の先手(３手目)でゴールである20に到達。
【問題４】
後手有利（必勝）
先手(初手)が2,3,…,9であれば、おのおの後手(２手目)は9,8,…,2とすれば、残り10で先手番。
(＝問題１)
先手(初手)が1であれば、後手(２手目)は5とすれば良い。
先手(３手目)に5は言えないので、先手(３手目)が1,2,3,4であれば、おのおの後手(４手目)を4,3,2,1とすれば、残り10で先手番。
(＝問題１)
先手(３手目)が6以上であれば残り9以下となるので、後手(4手目)で終了。
【問題５】
後手有利（必勝）
先手(初手)が2,3,…,9であれば、おのおの後手(２手目)は9,8,…,2とすれば、残り21で先手番。
(＝問題４)
先手(初手)が1であれば、後手(２手目)は5とすれば良い。
その後先手(３手目)に5は言えないので、先手(３手目)が1,2,3,4であれば、おのおの後手(４手目)を4,3,2,1とすれば、残り21で先手番。
(＝問題４)
先手(３手目)が6であれば、残り20で後手番。
(＝問題３)
先手(３手目)が7,8,9であれば、おのおの後手(４手目)に9,8,7とすれば残り10で先手番。
(＝問題１)
◆東京都 Asami\(^ 。^)\ さんからの解答
【問題１】
先手がｎ(≦８)と言ったら後手は(例えば)９と言えばよい
先手が９と言ったら１と言えばよい
従って後手有利
【問題２】
先手は３と言えば、それ以降の手順は
(T)後手ｎ(≦８)⇒先手９
(U)後手９⇒先手１
従って先手有利
【問題３】
先手ｎ(≠５)⇒後手(10−n)とすれば
【問題２の(T),(U)】に帰着して先手は負けてしまうので、先手５としてみよう。
(T)後手ｎ(≧６)⇒先手は８or９を言えば勝てる
(U)後手ｎ(≦４)⇒先手(５−n)を言えば勝てる
従って先手は最初に５をだして(T)or(U)に従えば勝てるので
先手有利
【問題４】
先手１⇒後手５
先手ｎ(≧２)⇒後手(11−n)とすればよいので
後手有利
【問題５】
だんだん様子が見えてきましたので表を作成してみます。
| ｎ | |
| 10 | 後手必勝 |
| 11 | 先手必勝(先手は１から始めればよい) |
| 12 | 先手必勝(先手は２から始めればよい) |
| 13 | 先手必勝(先手は３から始めればよい) |
| 14 | 先手必勝(先手は４から始めればよい) |
| 15 | 先手必勝(先手は５から始めればよい) |
| 16 | 先手必勝(先手は６から始めればよい) |
| 17 | 先手必勝(先手は７から始めればよい) |
| 18 | 先手必勝(先手は８から始めればよい) |
| 19 | 先手必勝(先手は９から始めればよい) |
| 20 | 先手必勝(先手は５から始めればよい) |
| 21 | 後手必勝 (なぜなら後手の手始めは12〜20から始まり、減らす数も重複しない) |
| 22 | 先手必勝(先手は１から始めればよい) |
| 23 | 先手必勝(先手は２から始めればよい) |
| 24 | 先手必勝(先手は３から始めればよい) |
| 25 | 先手必勝(先手は４から始めればよい) |
| 26 | 先手必勝(先手は５から始めればよい) |
| 27 | 先手必勝(先手は６から始めればよい) |
| 28 | 先手必勝(先手は７から始めればよい) |
| 29 | 先手必勝(先手は８から始めればよい) |
| 30 | 先手必勝(先手は９から始めればよい) |
| 31 | 先手必勝(先手は５から始めればよい) |
| 32 | 後手必勝 (なぜなら後手の手始めは23〜31から始まり、減らす数も重複しない) |
従って後手必勝
【おまけ】
【ｎ≡0,10,21(mod32)のとき後手必勝】の証明
以下では⇒は先手→は後手とし、上に書いてある数字は減らす数です。
(T)
ｎ≡10(mod32)のとき ≠5
ｎ ⇒ →n−10 とできるからｎ≡0(mod32)に帰着
５ ８
ｎ ⇒n−5 →n−13として以下、
7〜5,3〜1
⇒ →n−21≡21
９ ５ 1〜4
⇒ → ⇒ →n−32≡10
９ ５ 6〜9
⇒ → ⇒ →n−42≡0
４ ５
⇒ → ⇒ →n−32≡10
(U)
ｎ≡21,0(mod32)のとき ≠1
ｎ ⇒ →n−11 とできるからｎ≡10,21(mod32)に帰着
１ ５
ｎ ⇒n−1 →n−6として以下、
1〜4
⇒ →n−11≡10,21
6〜9
⇒ →n−21≡0,11
(V)
(U)の場合で6〜9
⇒ →n−21≡0,11における≡11がやっかいである。
つまり
ｎ≡0(mod32)のときで １ ５ 6〜9
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒
の場合を再考し直す必要がある。
また、n≧2として考えて良い
(n＝32の場合は解決済み) １ ５ 7,9
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒ →n−22≡10なので
(ア) １ ５ ６
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒
(イ) １ ５ ８
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒
を考える。
(ア)の場合 １ ５ ６ ５ 1〜4
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒ → ⇒ →n−22≡10
１ ５ ６ ５ 6〜9
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒ → ⇒ →n−32≡0
(イ)の場合 １ ５ ８ ４ 1,3
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒ → ⇒ →n−22≡10
１ ５ ８ ４ 5,6,8,9
ｎ ⇒n−1 →n−6 ⇒ → ⇒ ⇒n−32≡0
１ ５ ８ ４ ２ １
ｎ ⇒ → ⇒ → ⇒ → ⇒ →n−32≡0
１ ５ ８ ４ ７ ９
ｎ ⇒ → ⇒ → ⇒ → ⇒ →n−43≡21
以上によって【ｎ≡0,10,21(mod32)⇒後手必勝】が示された。
後手必勝がｎ≡0,10,21(mod32)に限る証明(即ち逆の証明)は
【ｎ≡0,10,21以外(mod32)⇒先手必勝】を示せばよいが、これも地道にやればできると思います。
(でも、それだけの体力がないので勘弁して下さい！)
ただ、ｎが後手必勝ならば
n＋1〜n＋9はただちに先手必勝になるので、
ｎ≡20,31のみを調べればよいので、できないことはないですね。
◆熊本県 小太りおじさん さんからの解答
【問題１】
後手有利
先手が１〜８までを選んだら後手は９を選んでＯＫ！
９を選んでも２を選べば勝ち！
【問題２】
先手有利
先手はとにかく３を選ぶと残りは１０
後は問１と同じ！
【問題３】
先手有利
まず合計を１０にするのがポイント。
先手で５を選んだら次は５を選べない。
５未満を選んだら和が１１になるように数を選ぶ。
後は、問１と同じ。
【問題４】
後手有利
まず和が１１になるようにする。
１を選んだら５を選べば都議は５を選べないから、後は問３と同じ。
１以外を選んだら我が１１になるように選んであとは問１と同じ。
【問題５】
後手有利
まず和が１１になるようにする(問い４と同じ)。
次に和が２２になるようにする(問い４と同じ)。
後は、問１と同じ。
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