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おまけの問題は２次元の多角形の外角の和が３６０度ということの立体バージョンです。
任意の多面体の尖度の和は必ず７２０度になります。
デカルトの発見らしいです。
◆東京都 タケヒロ さんからの解答。
【問題１】
(面の数) + (頂点の数) - (辺の数) - 2 = 0
【問題２】
正八面体の頂点の尖度:
360 - 60 * 4 = 120度
尖度の合計: 120 * 6 = 720度
【問題３】
正五角形のひとつの内角は108度だから、
正十二面体の頂点の尖度:
360 - 108 * 3 = 36度
尖度の合計: 36 * 20 = 720度
【問題４】
正多面体の表などより、
正四面体の尖度の合計: 180 * 4 = 720度
正六面体の尖度の合計: 90 * 8 = 720度
正二十面体の尖度の合計:
(360 - 60 * 5) * 12 = 720度
【問題２】【問題３】とあわせて、すべての正多面体の尖度の合計は必ず720度になる。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【おまけ】
ｎ個の面があるとして
Ａ1,Ａ2,……,Ａnとします。
各面Ａiはａi角形であるとすると、
尖度の合計
＝(頂点数)×360−Σ(ａi−２)×180
＝(辺の数−ｎ＋２)×360−Σ(ａi−２)×180
＝(Σａi／２−ｎ＋２)×360−Σ(ａi−２)×180
＝−360ｎ＋720＋360ｎ
＝720
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
面の数−辺の数＋頂点の数＝２
【問題２】
尖度 ３６０−６０×４＝１２０
頂点の数は６
１２０×６＝７２０
答え 尖度 １２０度 合計 ７２０度。
【問題３】
正五角形の内角
３６０÷５＝７２ １８０−７２＝１０８
尖度 ３６０−１０８×３＝３６
頂点の数は２０、３６×２０＝７２０
答え 尖度 ３６度 合計 ７２０度。
【問題４】
正２０面体は正三角形で構成されている。
尖度 頂点に５個の正三角形が集まっている。
３６０−６０×５＝６０
頂点の数は１２ ６０×１２＝７２０
５種類の正多面体の尖度の合計はすべて７２０度になっている。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
(問題１解答)
面＋頂点−辺＝２
正六面体と正八面体、正十二面体と正二十面体で面の数と頂点の数が反対になっていることに気がつけばわかる。
(問題２解答)
正三角形が４つ集まっているので、
60°×4＝240°
頂点の数は表より6なので、求める尖度は
(360−240)×6＝120×6＝720°となります。
(問題３解答)
正五角形が３つ集まっているので、
(180×3÷5)°×3＝108×3＝324°
頂点の数は表より20なので、求める尖度は
(360−324)×20＝36×20=720°となります。
(問題４解答)
上記問題２および３と同様に他の正多面体の尖度を計算して
正四面体 の尖度は、180°× 4＝720°
正六面体 の尖度は、 90°× 8＝720°
正八面体 の尖度は、120°× 6＝720°
正十二面体の尖度は、 36°×20＝720°
正二十面体の尖度は、 60°×12＝720°
となりすべて720°で等しいことがわかります。
(感想)
計算は簡単ですが立体のイメージを数字的に理解するにはおもしろい方法だと思います。
(おまけの問題)
任意の多面体の面を三角形に分割します。
分割したときの三角形の面の数と元々の頂点の数がわかれば、求める尖度の合計(M)は、
M＝360°×頂点の数−180°×三角形の面の数・・・(1)
で求められます。
この事実は次のことからわかります。
| 任意の多面体として正多面体以外の例えば正八面体を上下半分に切断した多面体(問題の中の図ではA-CDEF)を考えると、四角形CDEFはECで三角形に分割して頂点の数は5、分割した三角形の数は6となります。
また、 なので合計して式を整理すると、
360°×5
＝360°×5(頂点の数) ＝360°×5(頂点の数)−180°×6(三角形の面の数) |
またこのとき、三角形に分割した面の数と辺との間には
(三角形の辺の数−三角形の面の数)×2＝面の数・・・(2)
という関係が成り立ちます。
(この事実も{9(辺の数)−6(面の数)}×2＝6(面の数)からわかります。)
(2)に問題１のオイラーの多面体定理の(面の数＋頂点の数−辺の数＝2)を代入すると、
(実際には任意の多面体の面を三角形に分割したものでも面の数と辺の数が同じ数ずつ加算されるのでオイラーの多面体定理が成り立ちます。)
頂点の数＝2＋三角形の面の数×1/2・・・(3)
となりますのでこれを(1)に代入して
M＝360°×頂点の数−180°×三角形の面の数
＝360°×(2＋三角形の面の数×1/2)−180°×三角形の面の数
＝360°×2
＝720°
実際これでやると、前回のおまけに出ていましたサッカーボールは、
正五角形＝12、正六角形＝20 なので、
三角形の面の合計は、
{12×(5−2)}＋{20×(6−2)}＝116 で、
三角形の辺の合計は、
(116×3)/2＝348/2＝174 で、
三角形の頂点の数は、
174＋2−116＝60 なので
尖度の合計は、
360°×60−180°×116＝180°×4＝720°となります。
◆神奈川県 ひろし さんからの解答。
【問題１】
正多面体の面をＦ、辺をＥ、頂点をＶとすると、
Ｆ−Ｅ＋Ｖ＝２が成り立つ。
【問題２】
正八面体の尖度は
３６０−６０×４＝１２０゜
尖度の合計は
１２０×６＝７２０゜
【問題３】
正十二面体の尖度は
３６０−１０８×３＝３６゜
尖度の合計は
３６×２０＝７２０゜
【問題４】
正多面体の「尖度の合計」は７２０゜である
【おまけ】
正多面体の一つの面の辺の数をＮ、一つの頂点からでる辺の数をＭとすると、問題１で使用したＦ，Ｅ，Ｖとの間に次のような関係がある。
２Ｅ＝ＦＮ、ＦＮ＝ＶＭ、ＶＭ＝２Ｅ
また、問題１より
Ｆ−Ｅ＋Ｖ＝２
また、正Ｎ角形の内角は
１８０−３６０／Ｎ
正Ｆ面体の尖度の合計は
（３２０−（１８０−３６０／Ｎ）×Ｍ）×Ｖ
＝３６０Ｖ−１０８ＭＶ＋３６０ＭＶ／Ｎ
＝☆
ここで上記よりＭＶ＝２Ｅ
☆
＝３６０Ｖ−３６０Ｅ＋７２０Ｅ／Ｎ
＝☆☆
また、Ｅ＝ＦＮ／２
☆☆
＝３６０Ｖ−３６０Ｅ＋３６０Ｆ
＝３６０（Ｖ−Ｅ＋Ｆ）
＝３６０×２
＝７２０
となり、すべての正多面体の「尖度の合計は」７２０゜である
感想
実は、問題１は、図形的な性質を考えていて気がつかず、参考書をみてしまいました。
単純な関係式ほど思い浮かばないものですね。
その問題１考察の過程で、おまけの関係式が判り、おまけの解答はすっきりとしていて自分では気に入っています。
◆北海道 Miki Sugimoto さんからの解答。
【問題１】
面(Face)−辺(Edge)＋頂点(Vertex)＝２.
(Euler の多面体定理)
【問題２】
尖度: ２π−1/3 π×４＝2/3 π
尖度の合計: 2/3 π×６＝４π
【問題３】
尖度: ２π−3/5 π×３＝1/5 π
尖度の合計: 1/5 π×20＝４π
【問題４】
尖度の合計＝４π.
【おまけ】
Case i) 多面体Ｘが全て三角形で構成されるとき。
ある頂点ｘ(1)を考えたとき、その尖度は
２π−(ａ(1,1)＋…＋ａ(1,ｖ1))
である。
ただし、ａ(1,i)はｘ(1)に接する角度、ｖ(1)はｘ(1)の valency である。
この値をｓ(1)とおく。
ｓ(1)＋…＋ｓ(Ｖ)
＝２Ｖπ−Σ(ａ(1,1)＋…＋ａ(Ｖ,ｖ(Ｖ)))
＝２Ｖπ−Ｆπ (三角形の内角の和＝π)
＝(２Ｖ−Ｆ)π
さて、【問題１】の Euler の多面体定理より、
Ｆ−Ｅ＋Ｖ＝２.
また、三角形の辺と面の関係より、
３Ｆ＝２Ｅ.
これらを上の式に代入すると、
ｓ(1)＋…＋ｓ(Ｖ)
＝(２Ｖ−Ｆ)π
＝(２Ｅ−２Ｆ＋４−Ｆ)π
＝(２Ｅ−３Ｆ＋４)π
＝４π.
Case ii) Ｘが一般の多面体のとき。
三角形でない面を全部取ってきて、それらを三角形に分ける。
その結果、辺と面の数が増えるので、それらを改めて、Ｅ', Ｆ'とおき直す。
このときにも、ＸはＳ^ (単位球面)に同型だから、オイラー数は２になることに注意すると、
Ｆ'−Ｅ'＋Ｖ＝２.
また、三角形の辺と面の関係より、
３Ｆ'＝２Ｅ'.
よって、
ｓ(1)＋…＋ｓ(Ｖ)
＝２Ｖπ−Σ(ａ(1,1)＋…＋ａ(Ｖ,ｖ(Ｖ)))
＝２Ｖπ−Ｆ'π (三角形の内角の和＝π)
＝(２Ｖ−Ｆ')π
＝(２Ｅ'−２Ｆ'＋４−Ｆ')π
＝(２Ｅ'−３Ｆ'＋４)π
＝４π.
(多角形をいくつかの三角形に分けても、内角の和は変わらない。)
よって、一般の多面体に対して、
尖度の合計＝４π.
が言える。
「なるほど。よく出来た問題だ…」って感じです。 (^^;;
◆石川県 数学好き さんからの解答。
【問題１】
面+頂点-辺＝2
【問題２】
尖度は 360-60×4＝120度
尖度の合計は120×6＝720度
【問題３】
尖度は 360-108×3＝36度
尖度の合計は36×20＝720度
【問題４】
以上の結果より、すべて720度であることが予想できる。
【おまけの問題】
まず多面体の多角形をすべて三角形に分けておく。
その際の面の数をＦ、辺の数をＥ 頂点の数をＶとする。
(この場合でもオイラーの多面体定理は成立する)
するとＦ-Ｅ+Ｖ＝2
書き換えるとＶ＝2+Ｅ-Ｆ
一方、全ての面は三角形だから
Ｅ=３Ｆ／２
三角形の内角の和は180度だから、全ての角の合計は
180Ｆ度
全ての頂点で尖度が０とすると、１つの頂点では360度で、今、頂点はＶ個あるから、全体では
360Ｖ度
したがって尖度の合計は
360Ｖ-180Ｆ
＝360（2+Ｅ-Ｆ）-180Ｆ
＝720+360Ｅ-360Ｆ-180Ｆ
＝720+360（3Ｆ／２）-540Ｆ
＝720-540Ｆ-540Ｆ
＝720
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