数学の部屋へもどる。◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】
辺の数＝12,頂点の数＝６
【問題２】
辺の数＝30,頂点の数＝20
【問題３】
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｂ →Ｆ→Ｂ →Ｄ→Ｅ→Ｂ →Ｆ→Ｅ→Ｂ →Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｂ →Ｆ→Ｅ→Ｄ→Ｂ×４パターン＝24通り
【問題４】
Ｂ→Ｅ→ ・・・ →Ｃ→Ｂ …７通り
Ｂ→Ｅ→ ・・・ →Ｄ→Ｂ …６通り
×２
上記のすべての場合×４＝76通り
【おまけ】
正五角形の数は正二十面体の頂点数に対応するので、12個
正六角形の数は正二十面体の面の数に対応するので、20個
【余談】
問題１,２ともに数値を知っているので、知識として解答しました。
(ある意味反則かも？？？)
サッカーボールも数学っぽく解いていないかもしれない。
(というわけでものすごく平凡な解答………(笑)。)
ちなみに、正六面体の各面の中心同士、正十二面体の各面の中心同士を結べば、それぞれから新たな正多面体が出来上がるのは明らかで、それぞれ正八面体、正二十面体になっています。
辺がクロスするようにして一対一に対応するので、辺の総数は不変であり、オイラーの多面体定理より辺の個数が不変であれば、面の数と頂点の数が相対的に入れ替わるのは明らかです。
つまり、正六面体と正八面体、正十二面体と正二十面体それぞれにおいて頂点数、辺の数、面の数というパラメーターは対照的になっているというわけです。
話は変わりますが、マウスをドラッグすると正八面体が回転するのにはとても感動しました！！
すごい！！！！
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
答え 辺 １２個。 頂点 ６個。
８−１２＋６＝２（オイラーの定理）
【問題２】
６０÷２＝３０
２個の正五角形が辺を共有していると考える。
６０÷３＝２０
３個の正五角形が頂点を共有していると考える。
答え 辺 ３０個。 頂点 ２０個。
１２−３０＋２０＝２
【問題３】
ＢＸＸＢ ４×２＝８ ＢＸＸＸＢ ４×２＝８ ＢＸＸＸＸＢ ４×２＝８８＋８＋８＝２４
【問題４】
ＢＸAＸＢ ４×３＝１２ ＢＸAＸＸＢ ４×４＝１６ ＢＸＸAＸＢ ４×２×２＝１６ ＢＸAＸＸＸＢ ４×２＝８ ＢＸＸAＸＸＢ ４×２×２＝１６ ＢＸＸＸAＸＢ ４×２＝８１２＋１６＋１６＋８＋１６＋８＝７６
答え ７６通り
【おまけの問題】
問題に出ているサッカーボールとヒントをもとに考えました。
正５角形の個数 Ｘ
正６角形の個数 Ｙ
Ｘ＋Ｙ＝３２．．．．．．１）
５Ｘ＝６Ｙ／２．．．．．２）
Ｘ＝１２，Ｙ＝２０
答え 正５角形 １２個 正６角形 ２０個。
一般解はオイラーの定理を満たす２元１次不定方程式を求めることになるのでしょうね。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
(問題１解答)
正八面体は１つの面の形が正三角形なので
3×8=24 よって
辺は正三角形2面で1辺ができるので、
辺の数は、24÷2=12
頂点は正三角形4面が1つの頂点に集まっているので、
頂点の数は、24÷4=6
(問題２解答)
問題１と同様にして
正十二面体は１つの面の形が正五角形なので
5×12=60 よって
辺は正五角形2面で1辺ができるので、
辺の数は、60÷2=30
頂点は正五角形3面が1つの頂点に集まっているので、
頂点の数は、60÷3=20
(問題３)
まず、Bからのスタートは
B→C、B→D、B→E、B→Fの4通りある。
BCを例にとって考えると、図が書きにくいのでわかりにくいかもしれませんが、正八面体に下半分の立体の展開図を考える。
このときBCに対して反対側の展開図も考える。
D E F C D E F ▽ ▽ ▽ ▽ ▽ ▽ B B B B B B△BCF=S,△BFE=1,△BED=2とし
図の△BCFおよび△BCDの真中から左右対称に考える。
三角形を1面だけ囲むようにするルートは番号でいうとS,Tの2通り
三角形を2面だけ囲むようにするルートは番号でいうと(S,1),(T,3)の2通り
三角形を3面だけ囲むようにするルートは番号でいうと(S,1,2),(T,3,4)の2通り
で6通りとなるので、
合計は6×4=24通り となります。
(問題４解答)
問題３と同様に考えて、まず、Bからのスタートは
B→C、B→D、B→E、B→Fの4通りある。
BCを例にとって考えると、
正八面体の立体の展開図を考える。
このときBCに対して反対側の展開図も考える。
A A A A A A △ △ △ △ △ △ D E F C D E F ▽ ▽ ▽ ▽ ▽ ▽ B B B B B B△BCF=S,△CAF=1,△FAE=2,
反対側の
△BCD=T,△CDA=6,△DEA=7,
△EFA=8,△DEB=9,△EFB=10 というように三角形に番号をつける。
図の△BCFおよび△BCDの真中から左右対称に考える。
今度は頂点Aを通らなければならないので上記図のうち必ず上側の三角形が最低１つ含まれることになる。
しかも必ず番号SおよびTの三角形も含まれる。
図ではAからは(反対側を除いて)どのAにも移動できると考える。
三角形を2面だけ囲むようにするルートは番号でいうと
(S,1),(T,6)の2通り
三角形を3面だけ囲むようにするルートは番号でいうと
(S,2,4),(T,7,9)、(S,1,4),(T,6,9)、(S,1,2)の5通り
(T,6,7)は(S,1,2,4,5)と同じ。
三角形を4面だけ囲むようにするルートは番号でいうと
(S,1,2,4)(これは反対もおなじなので1通り)、
(S,1,4,5),(T,6,9,10)、(S,2,4,5),(T,7,9,10)、
(S,2,3,4),(T,7,8,9)、(S,3,4,5),(T,8,9,10)の9通り
(S,1,2,3)は(T,6,9,10)と同じ。
(T,6,7,8)は(S,1,4,5)と同じ。
三角形を5面だけ囲むようにするルートは番号でいうと
(S,1,2,4,5)、(S,2,3,4,5),(T,7,8,9,10)の3通り
(S,1,2,3,4)は(T,6,9)と同じ
(T,6,7,8,9)は(S,1,4)と同じ
(T,6,7,9,10)は(S,1,2)と同じ
三角形を6面だけ囲むようにするルートは番号でいうと
(S,1,2,3,4,5),(T,6,7,8,9,10)の2通りであるが、これは三角形を2面だけ囲むようにするルートと同じである。
で19通りとなるので、
合計は19×4=76通り となります。
(問題４別解)
頂点Aを真中にした平面図で考えました。
まず、Bからのスタートは4通り
Cから最初にCF,FE,ED,DCの辺を(3辺以上ではそれ以上進めないので)0辺〜2辺進んでからAに行くルートで分類して
●１.
C→A(0辺) のとき続けて
F→B、F→E→B、F→E→D→B E→B、E→F→B、E→D→B D→B、D→E→B、D→E→F→Bの９通り
●２.
C→F→A(1辺) のとき続けて
E→B、E→D→B D→B、D→E→Bの４通り
●３.
C→D→A(1辺) のとき続けて
E→B、E→F→B F→B、F→E→Bの４通り
●４.
C→F→E→A(2辺) のとき続けて
D→B の1通り
●５.
C→D→E→A(2辺) のとき続けて
F→B の1通り
で19通りなので19×4=76通り
(感想)
別解の方がシンプルでわかりやすいと思います。
個数をかぞえるときはできるだけシンプルに考えた方がよいのですね。
(おまけの問題)
このサッカーボールは正十二面体の頂点を正六角形に切り取ったものなのです。
正二十面体は１つの頂点に正三角形が５つ集まっているのでそこを削り取れば正五角形となり、このとき１つの面の正三角形の頂点を含む正三角形が削られ正六角形となるので、 図のような正五角形と正六角形の図形ができます。
よって正二十面体なので
3×20=60 で
頂点の数は 60÷5=12 となるので
正五角形の数は12で、正六角形の数は20 となります。
◆神奈川県 ひろし さんからの解答。
【問題１】
正８面体の辺の数は、１２個 頂点の数は、６個
【問題２】
正１２面体の辺の数は、３０個 頂点の数は、２０個
【問題３】
Ｂ→Ｃ→Ｄで始まるパターンは
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｂ
の３通り
同様に
Ｂ→Ｃ→Ｆ
Ｂ→Ｄ→Ｃ
Ｂ→Ｄ→Ｅ
Ｂ→Ｅ→Ｄ
Ｂ→Ｅ→Ｆ
Ｂ→Ｆ→Ｃ
Ｂ→Ｆ→Ｅ
についても３通りずつ、よって
３×８＝２４通り・・・・・答え
【問題４】
Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｄで始まるパターンは
Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｄ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｄ→Ｅ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｄ→Ｅ→Ｆ→Ｂ
の３通り
Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｅ
Ｂ→Ｃ→Ａ→Ｆで始まるパターンも同様に３通りずつ
故にＢ→Ｃ→Ａで始まるパターンは
３×３＝９通り
また、Ｂ→Ｃ→Ｄで始まるパターンは
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｅ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｅ→Ｆ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｆ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａ→Ｆ→Ｅ→Ｂ
Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ａ→Ｆ→Ｂ
の５通り
Ｂ→Ｃ→Ｆで始まるパターンも同様に５通り
以上より、Ｂ→Ｃで始まるパターンは
９＋５＋５＝１９通り
同等にＢ→Ｄ、Ｂ→Ｅ、Ｂ→Ｆで始まるパターンも
１９通りずつ
よって、１９×４＝７６通り・・・・・答え
【おまけ】
正６角形は２０個
正５角形は１２個
問題１・２・おまけについては、展開図を書いていくとわかりやすいと思います。
◆石川県 Takashi さんからの解答。
≪T≫
正八面体 ：辺⇒１２本、頂点⇒ ６個
≪U≫
正十二面体：辺⇒３０本、頂点⇒２０個
≪V≫
点Ｂから出発して点Ａを通らないで点Ｂに戻ってくるルートの数を数えるために、四角形ＣＤＥＦに着目する。
まず、Ｂ⇒Ｃ⇒Ｄ⇒Ｂの様に、四角形の一辺のみを通るルートが８通り。
【右回りと左回りが有るから】
Ｂ⇒Ｃ⇒Ｄ⇒Ｅ⇒Ｂの様に、四角形の二辺を通るルートが８通り。
Ｂ⇒Ｃ⇒Ｄ⇒Ｅ⇒Ｆ⇒Ｂの様に、四角形の三辺を通るルートが８通り。
よって、２４通り。
≪W≫
点Ｂから出発して点Ａを通って点Ｂに戻ってくるルートを考えると、ＢからＡに行く時とＡからＢに帰る時、四角形ＣＤＥＦの別の頂点を通過しなければならない。
＜z@＞四角形の２点のみ通過するとき、
Ｂ⇒Ｃ⇒Ａ⇒Ｅ⇒Ｂの様に、通過する四角形の２頂点は隣同士でも離れていてもどちらでも良いので
そのルートは、４×３＝１２通り。
＜zA＞四角形の３点を通過するとき、
［@］行きの時に四角形の２点を通過するとき、
行きの時通過する２点の選び方は、４×２＝８通り。
そのとき、それぞれにおいて、帰り道に通る四角形上の一点は、２通り。
よって、１６通り。
［A］帰りの時に四角形上の２点を通過するとき、
［@］と同様に、１６通り。
＜zB＞四角形の４点を通過するとき、
［@］行きの時に四角形上の３点を通過するとき、
行きの時通過する３点の選び方は、４×２×１＝８通り。
そのとき帰り道は残りの一点を通って帰って来る事しか出来ないので、１通り。
よって、８通り。
［A］行きの時に四角形上の２点を通過するとき、
行きの時通過する２点の選び方は、４×２＝８通り。
そのとき、帰り道は残りの２点を両方通って帰って来るのだがその順番はどちらでも良いので、２通り。
よって、１６通り。
［B］行きの時に四角形上の３点を通過するとき、
［@］と同様に、８通り。
よって合計は、
１２＋１６＋１６＋８＋１６＋８＝７６通り。
◆大阪府 ＣＨＥＣＫ さんからの解答。
【問題１】
一般に正ｎ面体がｎ個の正ｋ角形で作られているとき、
その辺の数はｎｋ／２本である
（∵各正ｋ角形につきｋ本の辺があり、それがｎ面あるのでｎｋ、
しかし、１つの辺につき２つの図形が必ず重複するので２で割る）
また、頂点の数はｎｋ／（その一つの頂点を共有する図形の個数）である。
よって正８面体は８個の正三角形で構成されているので
辺の数は８×３÷２＝１２本
また、一つの頂点を４つの図形が共有しているので
頂点の数は８×３÷４＝６個
【問題２】
問題１と同様に考えて辺の数は１２×５÷２＝３０
頂点の数は１２×５÷３＝２０個
【感想】
【問題３・４・おまけ】は僕の受けた中学入試にもありました（ような気がする）。
あのときはどういうやり方をしたのか忘れましたが解けました。
もう高校生なのでそれなりのやり方で今度は解こうかと思ったんですが・・・僕は個数の処理、確率、統計の３つは唯一数学で嫌いな分野。
今年のセンター試験でも、他の問題はすらすら行くが、この分野になると一瞬硬直してしまった（かろうじて満点でした）。
一つ言い忘れてましたが、僕は受験生じゃないです。
まだ高２なので。センターは某予備校でのセンター同時本番体験テストで受けました。
余談はそのくらいにしておいて、この問題、間違うのが恐いので解いてません。
問題３は暗算で２４通りというのがでましたが不安。
おまけは答えを知ってるので・・・、正五角形が１２個、正六角形が２０個だったと思います。
小学生の頃だったらちゃんと解けたかもしれない（？）。
情けない・・・、来週は頑張ります。
◆東京都 よしだたけひろ さんからの解答。
【問題１】
正八面体の
辺の数: 3 * 8 / 2 = 12
頂点の数: 3 * 8 / 4 = 6
【問題２】
正十二面体の
辺の数: 5 * 12 / 2 = 30
頂点の数: 5 * 12 / 3 = 20
【問題３】
BCDB
BCDEB
BCDEFB
BCFB
BCFEB
BCFEDB
と、これらの中のCDEFを輪環の順に入れ替えた合計24とおり。
【問題４】
BからAまで行くのに何歩かかるか、AからBまで戻るのに何歩かかるかで場合分けをする。
2歩で行って2歩で戻るのを「22」で表記すると、
22: BCA?B (? には D,E,F のいずれか) ... 3通り
23: BCA??B (?? には DE,ED,FE,EF のいづれか)...4通り
24: BCA???B (??? には DEF,FED のいづれか)...2通り
32: 23 の逆順...4通り
33: BC?A??B (?-?? には D-EF,D-FE,F-DE,F-ED のいづれか)...4通り
42: 24 の逆順...2通り
これらで19(=3+4+2+4+4+2)通りある。
求めるのは、これらの中のCDEFを輪環の順に入れ替えた合計76通り。
◆埼玉県の中学校３年生 ＭＡＳＴＥＲ さんからの解答。
【問題１】
正八面体は、正三角形が８つ集まってできた立体なので、辺の数は８本、頂点の数は６個です。
【問題２】
正十二面体は、問題にものっていましたが、正五角形が１２個集まってできた立体なので、辺の数は３０本、頂点の数は２０個です。
【問題３】
この問題は、Ｂを通る三角形（４つ）を中心に考えます。
まず、三角形を１つ通る道順は４つですが、逆順もＯＫなので８通りです。
次に、三角形を２つまたがって通る道順は同じく４つで、８通りです。
また、三角形を３つまたがって通る道順も４つで、８通りです。
三角形を４つまたがって通ることはできない（同じ辺を通ってしまう）ので、答えは２４通りです。
◆ 問題へもどる
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