『今週の問題』第30回　解答

　今回の出題は、中学入試に出題されている問題に別解があるのではないかと思ったことがきっかけでした。
実は一番難しいのが問題１で、厳密に言うとわながあります。
おそらく出題者は４８ｋｍという答えの意図だと思うのですが、答えは一意には定まりません。
最も、４８ｋｍだけでも正解にする予定ですが(^_^;

問題１は複数の回答が寄せられているので、ご意見をお寄せください。
常連さんにはひっかけ、小中学生にも解けるというねらいの出題でした。

(問題２は最初の信号を含むかどうかで４、５番目のどちらも正解です)

◆東京都　Asami さんからの解答。

【問題１】

まず問題１ですが、実は理由を考えるとけっこう手こずるのではないでしょうか？

かかる時間を数直線であらわし、数直線上に長さ120,45を交互に無限に取ります。
そして１区間あたり時間αがかかるとします。
αを何倍かして、はじめて165の倍数(≠0)を越える時がありますが、
それが起こるのがαのｋ倍,165のｔ倍(ｋ≧1,ｔ≧1)のときであるとします。

0＜αｋ−165ｔ＜45ならば………☆
あるｕで“(αｋ−165ｔ)ｕ”が幅45の区間内(端点は含まない)に入るときが必ずあります。
(∵ｕ＝[120/(αｋ−165ｔ)]＋1とすればよい)

45≦αｋ−165ｔ＜120ならば
-30≦α・3k−165・(3t+2)＜30

なので“α・3k−165・(3t+2)”が幅45の区間内(端点は含まない)にすでに入っているか、または☆に帰着されるかです。

従って、以後の全ての信号を青で通過するには、
0＝αｋ−165ｔでなければなりません。
また、当然45≦α………★であり、時速２０ｋｍ以上によって
ｔ≦２………★★でもあります。

ｔ＝1のときα＝165 or 82.5 or 55
ｔ＝2のときα＝330 or 110 or 66 or 330/7

”66”と“330/7”の２つは不適です。

つまり時速48,96,144,24,72km/hのどれでもよい。
　………【問題１】の答え

2.2÷40×3600＝198
198−165＝33
[120/33]＋1＝4番目の信号機
　………【問題２】の答え

165−33×4＝33秒
　………【問題３】の答え

【おわび】

おまけの問題も解答されていたのですが、問題を途中で変えてしまって申し訳ありませんでした。

◆東京都　Asami さんからの解答。

私の解答に若干の不備が見られました。

それは、『時速２０ｋｍ以上によってｔ≦２………★★』
としたところです。

なぜｔ≦２と決めつけてしまったのかは自分でもちょっと謎なのですが……
以下は訂正部分です！

時速20km/h以上⇔１区間396秒以下なので
とりあえず45≦α≦396です。さらに赤信号に引っかからない条件を加味して

�@45≦α≦120
�A165≦α≦285
�B330≦α≦396

(実は�Aは範囲の２倍を考えて、さらに
　165≦α≦225,247.5≦α≦285

３倍を考えてさらに
　→165≦α≦205,220≦α≦225……
　などともっと細かくなる)

つまり

�@'　45/165≦ｔ/ｋ≦120/165
�A'　　　１≦ｔ/ｋ≦285/165
�B'　　　２≦ｔ/ｋ≦396/165

ｔで絞るより(西野さんのように)ｋで絞る方が賢明で、
簡単にｋ≦３が分かってしまいます。

(なぜならｔ/ｋが既約なので、ある整数ｕ,ｖで
ｔ/ｋ・ｕ＝ｖ＋(1/ｋ)となりますので、ｕ区間目で、
165ｖ＋165/ｋとなります。
従ってｋ≧４ならば、ｕ・(k-1)区間目には確実に
(赤,黄)-ゾーンに引っかかるからです！)

あとは、ｋ＝1or2or3でｔ/ｋを既約分数となるようなものを�@'〜�B'の範囲内で考慮すれば、簡単なしらみつぶしで(西野さんのように)求まります。

つまり★★★で与えられるαが１区間あたりのかかる秒数になりますので、
時速は“7920/α”で求まります。

私のおっくうな性格上、ちゃんと確認していませんが、ケアレスミスさえしていなければ西野さんが完全な正解だと思います！

………ふぅ。つかれました。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

【問題１】

２．２ｋｍを２分４５秒の速度で走行すれば、どの信号もちょうど青に変わるときに通過出来る。

２分４５秒＝１１／２４０時間
２．２÷（１１／２４０）＝４８

答え　４８ｋｍ／ｈ。

【問題２】

２．２÷４０×６０＝３．３（分）
３．３分＝３分１８秒＝１９８秒
２分４５秒＝１６５秒
１９８−１６５＝３３
３３秒ゆとりがなくなる。

１２０÷３３＝３．．．２１

	信号が青である時間帯	信号にさしかかる時間
２）	２分４５秒〜　４分４５秒	３分１８秒
３）	５分３０秒〜　７分３０秒	６分３６秒
４）	８分１５秒〜１０分１５秒	９分５４秒
５）	１１分　　　〜１３分	１３分１２秒

１３分４５秒〜１５分４５秒

答え　５番

【問題３】

１３分４５秒−１３分１２秒＝３３秒

答え　３３秒

◆神奈川県　ひろし さんからの解答。

【問題１】

信号の間隔は、１６５秒
２．２ｋｍをこの時間で走れば良いので

（２．２ｋｍ）÷(１６５秒）×３６００＝４８ｋｍ／ｈ
１６５秒の整数倍の時間で通過すればいいので、
２４ｋｍ／ｈ　でも可能です。

【問題２】

出発する信号は、個数に入れてません。
４０ｋｍ／ｈ＝１０／９ｍ／ｓ
（２．２ｋｍ）÷（１０／９ｍ／ｓ）＝１９８秒

１つ目の信号が青に変わって
１９８−１６５＝３３秒経過した瞬間に信号を通過する。

２つ目の信号が青に変わって
（１９８×２）−（１６５×２）＝６６秒経過した瞬間に信号を通過する。

３つ目の信号が青に変わって
（１９８×３）−（１６５×３）＝９９秒経過した瞬間に信号を通過する。

・・・・・・・・・・・・

一般に　Ｎ個目の信号を通過するのはその信号が青に変わって
（１９８×Ｎ）−（１６５×Ｎ）＝３３×Ｎ

黄色や赤に変わるのは
１２０＜３３×Ｎ＜１６５　のとき

３．６６＜Ｎ＜５
つまり　４つ目の信号

【問題３】

４つ目の信号が青に変わって
（１９８×４）−（１６５×４）＝１３２秒経過した瞬間に信号を通過する。

次の青になるまで
１６５−１３２＝３３秒待つことになる

【おまけ】

９９０ｍの距離を　３６ｋｍ／ｈ＝１０ｍ／ｓで通過すると所要時間は
９９０÷１０＝９９秒

ある信号で青になった瞬間に通過して、その次の信号でＵターンするときは、その信号は、青になって９９秒経っている。
次に青になる瞬間は１６５秒後だから、
１６５−９９＝６６秒でその区間を通過すればよい。

（９９０ｍ）÷（６６秒）＝１５ｍ／ｓ＝５４ｋｍ／ｈ
つまり、５４ｋｍ／ｈで進めば、常に青になる瞬間に、信号を通過できる

◆石川県　平田　和弘 さんからの解答。

(問題１解答)

2200ｍを2分45秒で走ればすべて青信号(に変わった瞬間)となるので

2200÷(165÷60)＝200÷(11/4)＝800ｍ/分＝48ｋｍ/時

ここで注意しなければならないのは

●１．

48ｋｍ/時を2、3、4・・・・・で割ったときも同様に青信号となるので
この中で時速20ｋｍ/時以上のものは

48ｋｍ/時　および　48ｋｍ/時÷2＝24ｋｍ/時

●２．

48ｋｍ/時の2、3、4・・・・・倍速で進んだときを考えると

・A.

48ｋｍ/時×2＝96ｋｍ/時　のとき　信号2区間を165秒で進みますが、1区間をそれぞれ
165÷2＝82.5＞45　なのでこれも題意を満たします。

・B.

48ｋｍ/時×3＝108ｋｍ/時　のとき　信号3区間を165秒で進みますが、1区間をそれぞれ
165÷3＝55　より　スタートより2本目を55秒で、3本目を110秒で通過するので、これも題意を満たします。

・C.

48ｋｍ/時×4＝192ｋｍ/時　のとき　信号4区間を165秒で進みますが　1区間をそれぞれ
165÷4＝41.25＜45　なのでこれは題意を満たさず信号にひっかかります。
(48ｋｍ/時の4倍速以上はすべて題意を満たさず信号にひっかかります。)

3.24ｋｍ/時の2、3、4・・・・・倍速で進んだときを考えると
24ｋｍ/時×2は48ｋｍ/時、24ｋｍ/時×4＝96ｋｍ/時なので

・A.

24ｋｍ/時×3＝72ｋｍ/時　のとき
信号3区間を330秒で進みますが、1区間をそれぞれ
330÷3＝110＞45　より　スタートより2本目を110秒で、3本目を220秒で通過します。

この範囲で信号が黄、または赤となるのは
120〜165、285〜330秒　なのでこれも題意を満たします。

・B.

24ｋｍ/時×5＝120ｋｍ/時　のとき　信号5区間を330秒で進みますが、1区間をそれぞれ
330÷5＝66＞45　より　スタートより2本目が66秒で、3本目が132秒、・・・・　で3本目でひっかかり題意を満たしません。

・C.

24ｋｍ/時×6＝144ｋｍ/時　のとき　信号6区間を330秒で進みますが、1区間をそれぞれ
330÷6＝55＞45　より　スタートより2本目が55秒で、3本目が110秒で、4本目が165秒で、5本目が220秒で、6本目が275秒でこの範囲で信号が黄、または赤となるのは
120〜165、285〜330秒　なのでこれも題意を満たします。

・D.

24ｋｍ/時×7＝168ｋｍ/時　のとき　信号7区間を330秒で進みますが、1区間をそれぞれ
330÷7＝47.14...＞45　より　
スタートより2本目が47.14...秒で、3本目が94.28...秒で、4本目が141.42...秒で、・・・・　で4本目でひっかかり題意を満たしません。

・E.

24ｋｍ/時×8＝192ｋｍ/時　のとき　2.のC.と同じで題意を満たしません。
(24ｋｍ/時の8倍速以上はすべて題意を満たさず信号にひっかかります。)

24ｋｍ/時、48ｋｍ/時、72ｋｍ/時、96ｋｍ/時、108ｋｍ/時、144ｋｍ/時が求める答えです。

(問題２解答)

時速40ｋｍで走ると信号間を
2200÷(40000÷3600)＝2200÷(100/9)＝198秒　で走ります。

一方、信号が黄または赤となるのは

1回目	121〜165
2回目	286〜330
3回目	431〜496
4回目	596〜660
5回目	761〜825
・ ・ ・	・ ・ ・

なので198の倍数が最初にこの中のどこに当てはまるかを求めると
先頭から数えて

2本目	198
3本目	396
4本目	594
5本目	792

となり5本目の信号でひっかかります。
(761＜792＜825)

(問題３解答)

問題２より、求める時間は
825−792＝33秒　です。

990ｍを時速36ｋｍで走ると10ｍ/分なので信号間を99秒で走る。

●１．

問題よりどういう状態で信号が変わっていようが1区間目(信号が青)でUターンしたと考えると、
1区間を66秒で走れば99+66＝165　よりスタート時点の信号は青となる。

このとき次ぎからの区間をすべて同じ速さ(1区間を66秒)で走るとすると、
ある信号の1つ手前の信号はある信号の66秒後にある信号と同じ状態になれば以後、すべて青の状態で通過できる。

これは信号が165秒で元の状態に戻ることを考えれば
165−66＝99　なので、元々、ある信号の次ぎの信号が99秒後にある信号と同じ状態である。

この状態は一番最初の「時速36ｋｍで走ればすべての信号が青で通過できた。」という条件を満たす。

●２．

また同様に、1区間めでUターンして
165×2−99＝231秒でスタート地点に戻ると考えても、ある信号の1つ手前の信号はある信号の231秒後にある信号と同じ状態になれば以後、すべて青の状態で通過できる。

これは元々、ある信号の次ぎの信号が
66(231−165＝66)秒後にある信号と同じ状態である。

この状態は一番最初の「時速36ｋｍで走ればすべての信号が青で通過できた。」という条件を満たす。

以下同様に考えて
このうち、求める最高速度は1.の場合の　
990÷66＝15ｍ/秒＝54ｋｍ/時　となります。

　

◆海外　西野　友朗 さんからの解答。

題意から、問題内に明示されている仮定の他に、
1)この自動車は瞬間的にスピードを変化させることができる
2)この道路に制限速度は設定されていない
(何キロ出しても大丈夫な様に、周辺環境が整備されている)

という仮定を置くものとします。

【問題1】

題意から黄信号を赤信号は同様に扱います。
すなわち、各信号は
青信号：120秒、黄・赤信号：45秒
の、合計165秒の点滅サイクルを繰り返すものとします。

自動車がこの点滅サイクルの A)1,2,3,…倍、
あるいは
B) 1/2,1/3,1/4,…倍のX倍(X=1,2,3,…)の秒数で各信号に到達しないと、信号の点滅サイクルとの間にズレが発生し、やがて、いつかどこかの信号で必ず赤信号に当たると考えられます。
よって、題意を満たすかどうか検討するのは、上記の場合ケースについてのみでよいことが分かります。

また、自動車の速度が20KM/hの場合、信号間を
2.2/20x3600 = 396秒 (=信号の点滅サイクルの2.4倍)
かかって走りますので、それ以上の時間がかかる場合については考えなくて良いことになります。

A)のケース

自動車が各信号間(2.2KM)を信号の点滅サイクル時間丁度で走った場合、その速度は
2.2/165x3600 = 48KM/h
で、このときこの自動車は以後の全ての信号が青になった直後に通過することができます。

自動車が各信号間を信号の点滅サイクルの2倍の時間で走った場合、
その速度は24KM/hです。

3倍以上の場合は、上記の最低速度条件より題意を満たしません。

B)のケース

信号の点滅サイクル内の、青信号と赤信号の時間の比をとると
青信号：赤信号＝120：45≒73：27 となります。

自動車が各信号間を信号の点滅サイクル時間の1/2倍で走った場合、
その速度は96KM/hで、青信号になった直後・青信号になって82.5秒後の時点を、交互に通過します。

5/2 = 2.5 > 2.4 > 4/2 = 2より、4/2までの範囲で1/2のX倍のケースを考えると

2/2倍：1倍と同じ
3/2倍：32KM/h
4/2倍：2倍と同じ

自動車が各信号間を信号の点滅サイクル時間の1/3倍で走った場合、
その速度は144KM/h（Wow!)で、青信号になった直後・青信号になって55秒後・110秒後の時点を、順に通過します。

同様に、8/3 = 2.66… > 2.4 > 7/3 = 2.33…より、
7/3までの範囲で 1/3の X倍のケースを考えると

2/3倍：72KM/h
3/3倍：1倍と同じ
4/3倍：36KM/h
5/3倍：28.8KM/h
6/3倍：2倍と同じ
7/3倍：20.57KM/h (144/7 KM/h)

自動車が信号の点滅サイクル時間(165秒)の1/4倍以上で走った場合、
何回目かに点滅サイクル内の赤信号に当たってしまうので
(例：1/4倍の場合、3つ目の信号に到達するのはスタートしてから約124秒後で、赤信号に当たる)、
題意を満たしません。

以上をまとめて、全ての信号を青で通過できる速度は

20.57KM/h (144/7 KM/h)、24KM/h、28.8KM/h、32KM/h、
36KM/h、48KM/h、72KM/h、96KM/h、144KM/h の９つ 【問題2】

自動車の速度が40KM/hの場合、各信号間を走るのに要する時間は
2.2/40ｘ3600 = 198秒

で、2番目の信号が青になってから33秒後になります。
3番目、4番目…の信号でこの遅れは2倍、3倍…に蓄積されます。
赤信号にぶつかるのはその蓄積が 120秒を超えたときです。

信号No.	遅れ
2	33
3	66
4	99
5	132

より、停車するのは5番目の信号

【問題3】

5番目の信号には、黄信号になってから12秒後に到達します。
黄・赤信号の時間は合計で45秒ですので、次の青になるまでの時間は

45-12 = 33秒後

【おまけ】

自動車の速度が36KM/hの場合、各信号間を走るのに要する時間は
0.99/36ｘ3600 = 99秒 です。

この瞬間に各信号が青になったということですので、各信号は(最初の進行方向から見て)前の信号より99秒遅れのサイクルで点滅していることになります。

ある信号に到達した瞬間の、前の信号の状態を考えます。
その信号は青になってから99秒後、すなわち次の青信号まであと66秒の状態にあることがわかります。

よって、方向転換して 66+165xN秒 (Nは0,1,2,…) で前の信号に到達する速度で走れば、再び停車することなく走りつづけることができます。
ここでは最も速い速度を知りたいので66秒の場合を考えれば良く、その速度は

0.99/66ｘ3600 = 54KM/h(Wow!)

おまけの問題では、鉄道のダイアグラムを思い出しました。

ところで、私が今住んでいるNYのマンハッタン地区は
・道路が碁盤の目状で、かつ一方通行になっている
・走る車(特にタクシー)はとても街角とは思えないような速さで走り
(さすがに140KM/hはないですが)、急加速・急ブレーキも日常的なので、実際に問題のような状況を体験することができます。

しかも、ニューヨーカーの歩行者はそんな中でも平気で信号無視して道路を横断しますので、地元民と旅行者は簡単に識別できて面白いです。

興味のある方は、確認するために一度来てみてはいかが？

◆東京都　じっさん さんからの解答。

問１：

時速２４ｋｍ　または　時速４８ｋｍ

永遠に青で通過するためには、車が信号を通るタイミングが信号の周期のｎ
（ｎ＝１，２，．．．）となっていなければならない。

従って、２．２ｋｍの距離を進む時間が
（１２０＋５＋４０＝）１６５秒のｎ倍でなければならない。

従って、時速は以下のように求められる。

２．２［ｋｍ］／（１６５×ｎ）［秒］　（ｎ＝１，２，．．．）
２．２×３６００／１６５＝４８　なので
４８／ｎ［ｋｍ／時］　（ｎ＝１，２，．．．）

このうち、２０［ｋｍ／時］以上となるのはｎ＝１，２の場合のみ。

問２：

４番目

時速４０ｋｍで２．２ｋｍを進むのにかかる時間を秒で表すと、
２．２×３６００／４０＝１９８［秒］

信号の周期は１６５秒なので、
１９８−１６５＝３３［秒］で、３３秒ずつずれる。

青信号が続くのは１２０秒間なので、
１２０÷３３＝３あまり２１
従って、３番目までは青信号となる。

念のため、４番目が次の周期の青信号にならないことを確かめる。
４番目は、３３×４＝１３２［秒］
１２０＜１３２＜１６５　なので、青信号にはならない。

ついでに、

　　０以上１２０未満　なら　青信号
１２０以上１２５未満　なら　黄信号
１２５以上１６５未満　なら　赤信号

問３：

時速５４ｋｍ

車が次の信号に到達するまでにかかる時間を秒であらわすと、
９９０／（３６０００／３６００）＝９９［秒］

従って、（９９＜１６５なので）次の信号は９９秒遅れている。
Ｕターンして進むと、９９秒進んでいることになる。

信号は１６５秒周期なので、９９秒進んでいる信号は
１６５−９９＝６６［秒］で６６秒もしくは
６６＋１６５×ｎ（ｎ＝１，２，．．．）秒　遅れているのと同じように青・黄・赤に変わる。

距離が同じなら時間が短いほど速度は速いので、６６秒が一番速い。
今まで９９秒かかっていた距離を６６秒で走るので、時速は
９９／６６＝１．５倍となる。
３６×１．５＝５４［ｋｍ／時］

従って、時速５４ｋｍで走れば良い。

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