数学の部屋へもどる。◆富山県 いくまる さんからの解答。
【問題１】
12右斜上、3縦、5横、4右斜上、9右斜下、1右斜上、16右斜上
【問題２】
2右斜上、1右斜下、2右斜下、3右斜下、4右斜下、9右斜下、13右斜下
【問題３】
不可能である。
2，3，5，8，9，12，14，15の8つの電灯のうち点灯している電球の数について考えると、いかなる手技によっても不変、2つ増える、2つ減るのいずれかである。
与えられた初期条件では点灯している電灯の数は1つ＝奇数であるので、これらをすべて点灯している状態＝8つにすることはできない。
ヒントを参考にしました。
（感想）
WindowsだかMacだかのおまけのゲームでこれに似たようなのがありましたね。
すべて点灯させることの出来る必要十分条件は存在するのでしょうか。
1，4，13，16については条件はなしということしか分かりませんでした‥‥お恥ずかしい。
◆2，3，5，8，9，12，14，15のうち点灯している電灯の数が偶数個であれば以下の手順に従いすべてonにできる。
16個の電球を以下のように3つのグループに分ける。
グループAをすべて消灯させる。
(グループB，Cはどうなっても良い)
[手順2]
グループBをすべて点灯させると同時にグループAをすべて点灯させる。
(グループCはどうなっても良い)
[手順3]
グループCをすべて点灯させる。
グループAの8個の電球のうち、初期状態で点灯している電球の数が偶数個であれば、上記の手順によりすべて点灯させることが出来ることを示す。
[手順1]
グループAをすべて消灯させる。
(グループB，Cはどうなっても良い)
仮定より点灯している数は0，2，4，6，8個のいずれかである。
i)0個のとき
すべて消灯している。
ii)2個のとき
2つの電球は同一直線上にあるか否かに分けられる。
(a)2つの電球が同一直線上にあるとき
2つの電球を同時に消灯させることが出来る。
(b)2つの電球が同一直線上にないとき
図形の対称性より下の2つの場合のみを考えれば良い。
(O=点灯、X=消灯、-=どうでも良い)
| - O X - X - - X O - - X - X X - |
- O X - X - - X X - - X - X O - |
いずれも手順｢2縦｣により、同一直線上に2つの点灯した電球が並び、以降の手順は(a)による。
iii)4個のとき
少なくとも1組が同一直線上にある場合と、どの2個の電球も同一直線上にない場合に分けられる。
(a) 少なくとも1組が同一直線上にあるとき
同一直線上にある2個の電球を同時に消灯すると、点灯している電球は2個となり以降の手順はii)による。
(b) どの2つの電球も同一直線上にないとき
図形の対称性から下の場合のみを考えれば良い。
手順｢2縦｣により2つの点灯している電球が同一直線上にび、以下の手順は(a)による。
| - O X - X - - O O - - X - X O - | → | - X X - X - - O O - - X - O O - |
iv)6つのとき
手順｢1縦、2縦、3縦、4縦｣により、点灯している電球は2つになるので以降の手順はii)による。
v)8つのとき
手順｢1縦、2縦、3縦、4縦｣により、すべての電球を消灯させることが出来る。
以上i)〜v)より[手順1]は可能であることが示された。
[手順2]
グループBをすべて点灯させると同時にグループAをすべて点灯させる。
(グループCはどうなっても良い)
図形の対称性から以下の5通りを考えれば良い。
| - X X - X X X X X X X X - X X - | → | - O O - O O O O O O O O - O O - |
手順｢1縦、2縦、3縦、4縦｣
| - X X - X O X X X X X X - X X - | → | - O O - O O O O O O O O - O O - |
手順｢1縦、1横、4右斜上、8右斜上、12右斜上｣
| - X X - X O O X X X X X - X X - | → | - O O - O O O O O O O O - O O - |
手順｢2右斜上、3右斜下、9横、13横｣
| - X X - X O X X X X O X - X X - | → | - O O - O O O O O O O O - O O - |
手順｢2右斜下、3右斜下、5右斜下、9右斜下｣
| - X X - X O O X X O X X - X X - | → | - O O - O O O O O O O O - O O - |
手順｢1縦、1横、8右斜上、12右斜上｣
| - X X - X O O X X O O X - X X - | → | - O O - O O O O O O O O - O O - |
手順｢1縦、1横、4縦、13横｣
よって[手順2]が可能であることが示された。
[手順3]
グループCをすべて点灯させる。
グループCの4つの電球は単独で点灯させることが出来る。
以上より、冒頭に示した条件さえ満たせば手順1〜3に従い、いかなる場合もすべての電球を点灯させることが出来る。
問題3より、｢グループAのうち点灯している電球が奇数個のときにはすべてを点灯させることが出来ない｣
対偶をとると｢すべてを点灯させることが出来るときにはグループAのうち点灯している電球は偶数個である｣。
よって｢すべての電灯を点灯させることが出来る｣ための必要十分条件は
「グループAの8個の電球のうち、初期状態で点灯している電球の数が偶数個である」ことである。
◆東京都 Asami さんからの解答。
【問題１】
1縦，16縦，14右斜上，6右斜上，6横，2右斜上，14右斜下，14縦
最短でどれくらいなのでしょう？？
【問題２】
10縦，4右斜上，16右斜下，7横，3右斜上，12右斜下，
6横，12右斜下，4右斜下，2右斜上，16右斜上，16縦
最短でどれくらいなのでしょう？？
【問題３】
○には数の“１”を、×には数の“-１”を対応させる。
操作をすることは、一直線上の各々の数に“-１”をかけることに対応するが、どんな操作をしても、
２，３，８，12，15，14，９，5に含まれる数の積は変化しない。
なぜならば、２，３，８，12，15，14，９，５に含まれる数は、操作を一回施すごとに、変化しないか、または丁度２つの数に“-１”をかけることになるからである。
もし、すべてが○になったとするならば、
２，３，８，12，15，14，９，５に含まれる数の積は“１”でなければならないハズだが、初めの状態では“-１”になっているので、積が変化しないことに矛盾する。
従って、すべてを○にするのは不可能である。
◆石川県 平田 和弘 さんからの解答。
【問題１】の解答
3右斜上，8右斜上，1縦，2縦，4縦，5横，2右斜上，9右斜下 の８回で出来ます。
【問題２】の解答
5右斜下，1横，5横，9横，13横，2右斜上 の６回で出来ます。
【問題３】の解答
結論 不可能です。
理由
ある操作をしたときコントロールパネルにある
2，5，9，14，15，12，18，3の位置の0と1が入れ替わるパターンを調べると、以下のように分類できる。
(例えば1の横と2の横は同じ扱いとする。)
2，5，9，14，15，12，18，3の数値を○または●で表すものとする。
但し、○は1回前と0と1が入れ替わらないものとし、●は入れ替わるものとする。
| パネル | 操作 | 入れ替わりのパターン |
| １ | 横 | ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● (2と3の位置だけ入れ替わる) |
| １ | 下 | ○ ● ● ○ ○ ○ ○ ○ |
| １ | 左斜下 | ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ (変わらない) |
| １ | 右斜下 | ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ (変わらない) |
| ２ | 下 | ● ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ |
| ２ | 左斜下 | ● ● ○ ○ ○ ○ ○ ○ |
| ２ | 右斜下 | ● ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ |
| ３ | 下 | ○ ○ ○ ○ ● ○ ○ ● |
| ３ | 左斜下 | ○ ○ ● ○ ○ ○ ○ ● |
| ３ | 右斜下 | ○ ○ ○ ○ ○ ○ ● ● |
| ４ | 下 | ○ ○ ○ ○ ○ ● ● ○ |
| ４ | 左斜下 | ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ (変わらない) |
| ４ | 右斜下 | ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ (変わらない) |
| ５ | 横 | ○ ● ○ ○ ○ ○ ● ○ |
| ５ | 右斜下 | ○ ● ○ ○ ● ○ ○ ○ |
| ８ | 左斜下 | ○ ○ ○ ● ○ ○ ● ○ |
| ９ | 横 | ○ ○ ○ ● ○ ○ ● ○ |
| ９ | 右斜下 | ○ ○ ● ● ○ ○ ○ ○ |
| １２ | 左斜下 | ○ ○ ○ ○ ● ● ○ ○ |
以上からわかるようにある操作をしたときコントロールパネルにある
2，5，9，14，15，12，18，3の位置が入れ替わるのは、必ずこのうちの0または2個です。
要するに0の個数は±2または0ずつしか変化しない。・・・・(A)
問題3のスタート時点のコントロールパネルにある
2，5，9，14，15，12，18，3の位置を0および1で表すと、
(1 0 0 0 0 0 0 0)
(※0の個数が7個(奇数個)です！)
となりますが、もし何らかの操作ですべて電気が通るとしたら結果を同じように表して
(1 1 1 1 1 1 1 1)
(※0の個数が0個(偶数個)です！)
にならなければならないが、上記(A)の事実よりこれは起こり得ない。
以上より不可能と言える。
(感想)
とても大変でした。問題３のヒントはどうしたら思い浮かぶのでしょうか。
たぶん、出題者の意図だとは思いますが.....。
問題１，２はまずコントロールパネルを2行2列ずつの4つの部分に分けて考えて、それぞれ1が含まれる個数が偶数個か奇数個かを考えました。
それで結果的に、偶数個なら大体うまくいきそうで、奇数個のものは電球3個の斜めのラインをうまく活用すれば偶数個になると思いつき実行した結果こうなりました。
従って最短手順であるかどうかはわかりません。
問題３はわからないのでヒントを頼りにして問題１および２の過程でどうなっているか調べてみました。
その結果以上の結論にたどりつきました。
それと最初コントロールパネル1の位置の左斜下は可能か(点も直線の一部と考えるか否か)で結論がことなるのではないかと思い、実験で確かめたところO.K.でしたので可能という扱いにしましたが、結局関係なかったみたいでがっかり(考え損)しました。
◆福岡県 中山 さんからの解答。
【問題１】
2右斜上，1横，3右斜上，4右斜上，
8右斜上，3右斜下，4縦 の７手
【問題２】
2右斜上，5右斜下，1縦，2縦，3縦，4縦 の６手
【問題３】
不可能
2、3、5、8、9、12、14、15の8個の電球に注目する。
これらの電球は、すべての反転操作に対して2個のON、OFFが入れ代わるか、もしくはON、OFFの交換なしのどちらかである。
最初に2のみがONの状態では、反転操作によりすべてをONにすることは不可能である。
問題１と問題２は、いろいろと試行錯誤した結果、それぞれ７手と６手の解がみつかりました。
問題３については、ヒントを見た結果（＾＾）このような解答になりました。
なるほど、この８個に注目するのには気がつきませんでした。
このように考えると、奇数個がONのとき不可能であることを証明するのは簡単ですが、”８個のうち偶数個がONのときはどのような状態でもすべてONにできる”ことを証明するのは難しそうですね。
おそらくできると思いますが。
参考文献が、パズルより面白い中学入試の算数とのことですね。
今回の問題も中学入試が題材でしょうか、へたな大学入試の問題より難しいですね＾＾
◆ 問題へもどる
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