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◆岡山県の中学校３年生 山川草木 さんからの解答
【問題１】
５を入力すると、２列目最下１個、１列目上下２個表示されると考えられます。
ところが、２列目最下１個、１列目上下2個をどのように足しても６を表示することはできません。
よって、６を入力すると２列目の下から2番目が点灯すると考えられるのですが、１列目において、上下とも数は１であるので、２列目の下から２番目は３であると考えられます。
次に、９を入力するとき、２列目の下から１番目と２番目の数はそれぞれ３であり、１列間の上下の数はそれぞれ１ですが、３，３，１，１をどのように足しても９にはなりません。
１列目は上下とも１なのですから、２列目もすべて３であるはずです。
このような手順で解析していくと、３列目はすべて１２、４列目はすべて６０、５列目はすべて２４０であるとわかります。
したがって、３７１＝２４０×１+６０×２+３×３+１×２ より、
５列目１個、４列目２個、２列目３個、１列目２個
【問題２】
240*2+60*3+12*4+3*3+1*2=719
◆熊本県の中学校２年生 維盛 さんからの解答
まず、それぞれの列の１個のランプがどの値で点灯するのか調べます。
１列目・・・１
２列目・・・１×２＋１＝３
３列目・・・３×３＋１×２＋１＝１２
４列目・・・１２×４＋３×３＋１×２＋１＝６０
５列目・・・６０×３＋１２×４＋３×３＋１×２＋１＝２４０
【問題１】
３７１＝２４０＋６０×２＋１２×０＋３×３＋１×１なので、３７１は、下のようになります。
２４０が１個
６０が２個
１２が０個
３が３個
１が２個
最初に調べたそれぞれの列の１個のランプが点灯する値から
答え
５列目が１個
４列目が２個
３列目が０個
２列目が３個
１列目が２個
【問題２】
すべてのランプが点灯するためには、次の事柄を満たさなければなりません。
５列目が２個
４列目が３個
３列目が４個
２列目が３個
１列目が２個
最初に調べたそれぞれの列の１個のランプが点灯する値から
２４０が２個
６０が３個
１２が４個
３が３個
１が２個
故に、上記を満たす値が答えです。
２４０×２＋６０×３＋１２×４＋３×３＋１×２＝７１９
答え ７１９
【問題３】
与式をａ＋ｂ＝ｃ （ａ＝２ｂ）と表すことにします。
与式から、次のことがいえます。
１．３列目が繰り上がっている。
２．１列目が繰り上がっている。
これらの事柄を満たしつつ、ａ、ｂ、ｃのランプの配置とａ＝２ｂの条件から、次の二つの解が求まります。
解１ ａ ２列目が２個 ３列目が４個 ｂ ２列目が１個 ３列目が２個 ｃ ２列目が０個 ３列目が２個 解２ ａ ２列目が０個 ３列目が４個 ｂ ２列目が０個 ３列目が２個 ｃ ２列目が１個 ３列目が１個これらの上記の解のランプの配置から、解の値を求めると
解１ ２９６＋１４８＝４４４
解２ ２９０＋１４５＝４３５
となり、最大値が求まります。
答え ４４４
【感想】
こういう問題ははじめてでしたので、楽しく解かせていただきました。
中学校の入試問題にこのような問題が出題されていたのには驚きました。
僕が受けたら、絶対にやられていたと思います。
◆香川県の高校生 Mr名無し さんからの解答
【問題１】
5列目が１
4列目が２
3列目が０
2列目が３
1列目が２
考え方
この問題は1列目が１
2列目が３
3列目が１２
4列目が６０
5列目が２４０ を表している
（これはランプがいっぱいになったとき次のランプに行くようにできている）
この考え方だと３７１の中に２４０は1個（5列目は1個）
残った１３１の中に ６０は2個（4列目は2個）
残った １１の中に １２は0個（3列目は0個）
残った １１の中に ３は3個（2列目は3個）
残った ２の中に １は2個（1列目は2個）となる
【問題２】
７１９
考え方
【問題１】でも言ったように 『ランプがいっぱいになったとき次のランプに行くようにできている』のだから4列目までの合計は２３９そして5列目のランプは2個あるから
２４０×２＋２３９＝７１９
【問題３】
２９６＋１４８＝４４４
考え方
それぞれについての最大値、最小値を求めると（２、３列目がすべて点灯していた場合とすべて点灯していなかった場合）
一番左は２４２〜２９９
真ん中は１２１〜１７８
一番右は４２０〜４７７
これにより２つの数のうち、一方の数は他方の数の２倍という条件の『一方の数』に当たる数は真ん中の数である
つまりこの時点で真ん中の数は１２１〜１４９
そして一番左の数も偶数でないといけないので２９８
そして一番右の数は真ん中の数の３倍になるといえる
（２×A＋A＝３×A）
よって４２０÷３＝１４０
よって真ん中の数字は１４０〜１４９
一番左は２８０〜２９８
計算により両方の最大値の合計は２９８＋１４９＝４４７
よって一番右は４２０〜４４７
よって最終的に
一番左は２８０〜２９８
真ん中は１４０〜１４９
一番右は４２０〜４４７
そして最終判断をすると
２９８＋１４９＝４４７は２９８の１列目にランプが１個しかないので適切でない
２９６＋１４８＝４４４はすべて問題に合う
【おまけ】
この計算機を使うと２の倍数、３の倍数、４の倍数、６の倍数、１２の倍数であるかどうかを簡単に判断することができる。
その求め方を答えなさい。
【おまけ解答】
２の倍数について １列目２列目の合計が０、２、４のどれか
３の倍数について １列目が０
４の倍数について １列目２列目の合計が０、４のどちらか
６の倍数について １列目が０で２列目が０、２のどちらか
１２の倍数のついて １列目２列目が０
◆北海道 フェンリル さんからの解答
この計算機の仕組みから
それぞれの列の点灯しているランプの数を
Ｐ５・Ｐ４・Ｐ３・Ｐ２・Ｐ１とし
数値Ｎ＝m5×Ｐ５＋m4×Ｐ４＋m3×Ｐ３＋m2×Ｐ２＋m1×Ｐ１ 式Ａ
とすると
それぞれの重みは
m1=1
m2=3×1=3
m3=4×3×1=12
m4=5×4×3×1=60
m5=4×5×4×3×1=240
となります。
それを踏まえて
【問題１】
５列目１個
４列目２個
３列目０個
２列目３個
１列目２個
それぞれの重みで割っていき個数を求める。
３７１÷２４０（m5）＝１余り１３１
１３１÷６０（m4）＝２余り１１
１１÷１２（m3）＝０余り１１
１１÷３（m2）＝３余り２
２÷１（m1）＝２余り０
【問題２】
７１９
a)仮の６列目を想定します。
すると６列目の重みは
m6=3×4×5×4×3×1=720
となります。
６列目が１個点灯するのは５列目までが全部点灯した数字から１増えた状態だから、すべて点灯する数字は
720-1=719となる。
b)式Ａですべて点灯した数字を求める。
すなわち
Ｎ＝240×2＋60×3＋12×4＋3×3＋1×2＝719
【問題３】
296+148=444
２列と３列目が壊れているので
１０ＡＢ２ ＋０２ＣＤ１ ―――――― １３ＥＦ０と表せます。
※１０進数ではないので注意
また一方の数は他方の数の２倍なので
０２ＣＤ１ × ２ ・・・・式α ―――――― １０ＡＢ２となります。
式αでＣ×２＝Ａ は繰り上がりがないことから、Ａの最大値は４となりＣは２となる。
さらにＤ×２＝Ｂ も繰り上がりがないことから、Ｂの最大値は２となりＤは１となる。
※二列目は３個あるがＢ＝３とするとＤが自然数にならない。
１０４２２ ・・・ ２９６ ＋０２２１１ ・・・＋１４８ ―――――― ―――― １３２００ ・・・ ４４４【感想】
２進数や１６進数といったｎ進数を理解していればその応用ですね。
変則ｎ進数とでも言いましょうか。
まだ習ってない小中学生は冒頭に述べたような各桁に重みがあると解釈すると良いのではないでしょうか？
◆福岡県 うぃん さんからの解答
【問題１】
この問題は変則的なＸ進数問題とみて、順番に計算していくと、
２桁目は３になって点灯し、３桁目は１２になって点灯し、４桁目は６０になって点灯し、５桁目は２４０になって点灯する事がわかる。
そのため、点灯と数字の対応は以下の数式で表す事ができる。
240*e + 60*d + 12*c + 3*b + a
（ただし、１桁目がa、２桁目がb、３桁目がc、４桁目がd、５桁目がeとする）
よって、３７１になる点灯は、
「５列目が１、４列目が２、３列目が０、４列目が３、１列目が２」である。
【問題２】
解答１、１から数える（笑）と７１９
解答２、問１の数式を用いると７１９
【問題３】
図にある状態を問１の数式に表すと以下のようになる。
(242+12x+3y)+(121+12s+3t)=(420+12i+3j) … A
ただし、x,s,i は３桁目の点灯ランプ数で、y,t,j は２桁目の点灯ランプ数である。
Aの数式をまとめると、
12i + 3j = 12(x+s) + 3(y+t) - 57 … B
となる。
２つの数字の和が最大になるときはAの数式から「(420+12i+3j)」が最大になるときなので、
「12i + 3j」が最大になるときと同意である。
また、Bの数式から、「x,s,y,t」の和がもっとも大きい場合と同意でもある。
また、２つの数字は片方の２倍であるという条件から、
(242+12x+3y) = 2(121+12s+3t) … C
とあらわす事ができる。
この数式をまとめると、
4x + y = 2(4s + t) … D となる。
x,y,s,t は点灯ランプ数なので以下の条件をもっている。
0 ≦ x,s ≦ 4
0 ≦ y,t ≦ 3
x,y,s,t は整数である。
また、「4x+y」「4s+t」は上記の条件を考慮すると、
0 ≦ 4x+y,4s+t ≦ 19 となる。
よって、「4x+y=18」「4s+t=9」がもっとも大きい数字となる。
よって、x=4,y=2,s=2,t=1 となり、求める２つの数字の和は、
Aの数式より「444」となる。
よって解答は「444」
【感想】
Ｘ進数の問題と見ると簡単でした。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
５列目は１個、４列目は２個、３列目は０個、２列目は３個、１列目は２個
上位より ２４０，６０，１２，３，１ の位と考えればよい。
【問題２】
７１９
最上位の桁あふれー１＝２４０×３−１ と考えればよい。
【問題３】
２９６ と １４８
３桁２桁の合計が ４、３ 以上 となればよい。
◆千葉県 DMR さんからの解答
１の列のランプのつき方は２＋１＝３通り。
２の列のランプのつき方は３＋１＝４通り。
３の列のランプのつき方は４＋１＝５通り。
４の列のランプのつき方は３＋１＝４通り。
５の列のランプのつき方は２＋１＝３通り。
よって，全部で３×４×５×４×３＝７２０通りのパターンがある。
そして，１の列まででは，３個の数字を表し，
２の列まででは３×４＝１２個の数字を，
３の列まででは３×４×５＝６０個の数字を，
４の列まででは３×４×５×４＝２４０個の数字を表す。
初期状態の表す数字が０だから，各列の一番下のランプだけがつくのは，
（各列の表す数字の個数）−１である。
ここで，ランプのつき方は，
(5,4,3,2,1)=(a,b,c,d,e) (a〜eはつくランプの個数)で表す。
【問題１】
３７１÷２４０＝１あまり１３１．
１３１÷６０＝２あまり１１．
１１÷１２＝０あまり１１．
１１÷３＝３あまり２．
２÷１＝２．
よって，ランプは(5,4,3,2,1)=(1,2,0,3,2)のようにつく。
【問題２】
上での議論より，この計算機の表せる最大の数は７２０−１＝７１９．
よって答えは７１９．
【問題３】
二つの数をＡ，Ｂと置く。
Ａのランプのつき方を
(5,4,3,2,1)=(a,b,c,d,e)
Ｂのランプのつき方を
(5,4,3,2,1)=(p,q,r,s,t)とする。
このとき，
Ａ＝240a+60B+12c+3d+e，Ｂ＝240p+60q+12r+3s+t
と表せて，題意より，Ａ＝２Ｂが成り立つ。
（問題の図より，Ａ＞Ｂは明らかだから。）・・・(＊)
図より，a=1,b=0,e=2,p=0,q=2,t=1が分かるから，
Ａ＝242+12c+3d，Ｂ＝121+12r+3sとなる。
さらに，Ａ＋Ｂ＝240*1+60*3+12x+3yと書ける。
（ただし，x,yは３，２列目の個数）
よって，３つの式から，
12(c+r-x)+3(d+s-y)=57
⇔ 4(c+r-x)+ (d+s-y)=19・・・(＊＊)
が成り立つ。
ここで(＊)より，c=2r,d=2sとなるから，
(＊＊)⇔ 4(3r-x)+(3s-y)=19.
かつ，ここで，考えられる組み合わせは，
(3r-x,3s-y)=(4,1),(3,7)のみである。
(4,1)のとき，(r,x,s,y)=(2,2,1,2)
(3,7)のとき，(r,x,s,y)=(1,0,3,2)
よって，Ａ＋Ｂが最大となるのは，前者だから，求める値は
Ａ＝242+12*4+3*2＝296.Ｂ＝121+12*2+3*1＝148=296/2（適）
※かなり回りくどい解き方をしてしまいました。
Ｂさえ定義してしまえば，ほかはすぐ表すことができるので，もっとスマートな解答が可能ですね。
◆広島県 tk さんからの解答
【問題１】
１列目 1
２ 〃 1×(2+1)=3
３ 〃 3×(3+1)=12
４ 〃 12×(4+1)=60
５ 〃 60×(3+1)=240 に相当する
371=(240×1)+(60×2)+(12×0)+(3×3)+(1×2)
１列目 2個
２ 〃 3個
３ 〃 0個
４ 〃 2個
５ 〃 1個
【問題２】
(240×2)+(60×3)+(12×4)+(3×3)+(1×2)=719
or
(240×3)-1=719
【問題３】
偶数より前の数は
(240×1)+(60×0)+(12×4)+(3×2)+(1×2)=296が最大
後は前の半分だから
(240×0)+(60×2)+(12×2)+(3×1)+(1×1)=148
合計は
(240×1)+(60×3)+(12×2)+(3×0)+(1×0)=444
◆北海道 まーくん さんからの解答
(1)〜(5)のランプ１つはいくらかを調べると
(1)は１、２で点灯し、３になると繰り上がり(2)のランプがひとつ点灯する。
(2)は３，６，９点灯し、１２になると繰り上がり(3)のランプがひとつ点灯する。
同様にして
(3)は１２、２４、３６、４８で点灯。
(4)は６０，１２０で点灯。
(5)は２４０で点灯。
がわかる。
【問題１】
(1)〜(5)のランプの数を考慮した上で、３７１について数字の大きいランプから引いていくと、
(5)について ３７１−２４０×１＝１３１
(4)について １３１−６０×２＝１１
(3)については引く数の方が大きいためとばす。
(2)について １１−３×３＝２
(1)について ２−１×２＝０
よって
５４３２１ ● ● ●● ●● ●●であることがわかる。
【問題２】
すべてのランプが点灯すると
(5) ２４０×２＝４８０
(4) ６０×３＝１８０
(3) １２×４＝ ４８
(2) ３×３＝ ９
(1) １×２＝ ２
これら(1)〜(5)をたすと
４８０＋１８０＋４８＋９＋２＝７１９
【問題３】
まずそれぞれの(1)(4)(5)の点灯しているランプの数を求めると、
２４０×１＋１×２＝ ２４２
６０×２＋１×１＝ １２１
２４０×１＋６０×３＝４２０
さらにそれぞれの(2)(3)の点灯しているランプの数をｘ、ｙ、ｚとすると
（２４２＋ｘ）＋（１２１＋ｙ）＝４２０＋ｚ・・・@
(2)(3)のランプがすべて点灯したとすると
１２×４＋３×３＝５７
２つの数のうち、一方の数は他方の数の２倍から
２４２＋ｘ＝２×（１２１＋ｙ）
２４２＋ｘ＝２４２＋２ｙ
ｘ＝２ｙ
ｘ÷２＝ｙ・・・A
となり、ｘは整数であるため、２の倍数であることがわかる
ここでｘの最大値は、(2)(3)のランプがすべて点灯したときの５７以下の２の倍数であるため、
１２×４＋３×２＝５４ でありこれをｘの値とすると
Aより、５４÷２＝ｙ
２７＝ｙ がわかる
ｘ、ｙの値を@に当てはめると
（２４２＋５４）＋（１２１＋２７）＝２９６＋１４８＝４４４
よって考えられる２つの数のうちで、それらの和が最大になるときのその値は４４４であることがわかる。
◆東京都 サボテン さんからの解答
【問題１】
1)1列目は0,1,2の3=2+1つの数を表すことができる。
2列目は(3+1)×(2+1)=12個の数を表すことが可能。
同様に考えると、
1列目 2まで
2列目 11まで
3列目 59まで
4列目 239まで
5列目 719まで
371=240 + 60 × 2 + 3 × 3 + 2
より、5列目 1個 4列目 2個 2列目 3個 1列目 2個
【問題２】
問題１より719
【問題３】
x,y,w,zを用いて
240 + 12x + 3y + 2 = 2(120 + 12w + 3z + 1)
と書ける。
整理して、4x + y = 8w + 2z
x≦4,y≦3より、8w + 2z≦19・・・(1)
一方、和はa,bを用いて
3(120 + 12w + 3z + 1) = 240 + 60 × 3 + 12a + 3b
12w + 3z + 1 = 20 + 4a + b
和が最大になるのは(1)より、
20 + 4a + b ≦ 57/2 + 1 ＜ 30より
a = 2 ,b = 0 のとき
この時、w = 2, z = 1 , x = 4 y = 2
以上のことから和は3(120 + 24 + 3 + 1)= 444
元の数は148と296
◆大阪府 電電虫 さんからの解答
【問題１】
5列目１
4列目２
3列目０
2列目３
1列目２
【問題２】
240*3-1=719
【問題３】
k=240*1+12*k1+3*k2+1*2
i=60*2+12*i1+3*i2+1*1
とすると
k=2i なので
k1=4,k2=2
i1=2,i2=1
のとき最大
296+148=444
◆神奈川県 Gaku さんからの解答
以下、自然数は0以上の整数とする。
それぞれの列は、3,12,60,240で繰り上がるので、自然数aに対して、
a=a[5]*240+a[4]*60+a[3]*12+a[2]*3+a[1]
を満たすような、自然数a[5]<=2,a[4]<=3,a[3]<=4,a[2]<=3,a[1]<=2が存在すれば、
aを入力すると、５列目はa[5]個、４列目はa[4]個、３列目はa[3]個、２列目はa[2]個、１列目はa[1]個点灯する。
逆に、
aを入力して、５列目がa[5]個、４列目がa[4]個、３列目がa[3]個、２列目がa[2]個、１列目がa[1]個点灯するならば、
a=a[5]*240+a[4]*60+a[3]*12+a[2]*3+a[1]
である。
【問題１】
３７１を入力すると、５列目は１個、４列目は２個、３列目は０個、２列目は３個、１列目は２個点灯する。
371を240で割ると、
371=1*240+131
131を60で割ると、
131=2*60+11
11を12で割ると、
11=0*12+11
11を3で割ると、
11=3*3+2
よって、
371=1*240+2*60+0*12+3*3+2
となるので、a=371として、
a[5]=1,a[4]=2,a[3]=0,a[4]=3,a[5]=2
【問題１】
これらのランプがすべて点灯したとき、その値は７１９を表す。
【解法１】
６列目には、3*240=720で繰り上がるので、５列目までのランプがすべて点灯するのは、
720-1=719のとき。
【解法２】
ランプがすべて点灯するときの値をaとすると、
a[5]=2,a[4]=3,a[3]=4,a[4]=3,a[5]=2だから、
a=2*240+3*60+4*12+3*3+2=719
【問題３】
２９６＋１４８＋４４４
この足し算の各項の値を
a+b=cとすると、
a[5]=1,a[4]=0,a[1]=2
b[5]=0,b[4]=2,b[1]=1
c[5]=1,c[4]=3,c[1]=0
であることが条件である。
したがって、
a=1*240+0*60+a[3]*12+a[2]*3+2=a[3]*12+a[2]*3+242
b=0*240+2*60+b[3]*12+b[2]*3+1=b[3]*12+b[2]*3+121
となる。
aは５列目が点灯しているが、bは点灯していないから、aはbよりも大きい。
したがって、aはbの２倍なので、
0=a-2*b
=(a[3]*12+a[2]*3+242)-2*(b[3]*12+b[2]*3+121)
=((a[3]*4+a[2])-2*(b[3]*4+b[2]))*3
より、
a[3]*4+a[2]=2*(b[3]*4+b[2])
ここで、a[3]≦4,a[2]≦3だから、
a[3]*4+a[2]≦19
であるが、
a[3]*4+a[2]=2*(b[3]*4+b[2])なので、
b[3]*4+b[2]≦[19/2]=9
したがって、
b=b[3]*12+b[2]*3+121
=(b[3]*4+b[2])*3+121
より、
b≦9*3+121=148
b=148とすると、
b=148=0*240+2*60+2*12+1*3+1
a=2*b=296=1*240+0*60+4*12+2*3+2
c=a+b=444=1*240+3*60+2*12+0*3+0
となって、条件
a[5]=1,a[4]=0,a[1]=2
b[5]=0,b[4]=2,b[1]=1
c[5]=1,c[4]=3,c[1]=0
を満たしている。
bが最大になるとき、aとbの和c=3*bも最大になるから、
求める値はb=148のときのa,bである。
【おまけ】
この計算機のランプが一つ故障して点灯しなくなった。
この状態で、自然数Ｎに対してＮ×４を計算したところ、どのようなＮを選んでも正しく答えが表示された。
故障したランプは何列目の下から何番目のランプか求めよ。
ただし、この計算機では７２０以上の数を表示できないので、Ｎ×４が７２０よりも小さい、
すなわち、Ｎは１８０よりも小さい自然数であるとする。
◆静岡県 ふーさん さんからの解答
【問題１】
５列目１個、４列目２個、３列目０個、２列目３個、１列目２個
【問題２】
７１９
６列目を考え、６列目が１個つくとすると、２４０×３＝７２０
１少ないので、７２０−１＝７１９
【問題３】
２９６＋１４８＝４４４
２列目、３列目がすべてついているとすれば
２９９、１７８、４７７
ここから３ずつ減らして、また１２ずつ減らして偶数の場合を考える。
１６６ １５４ １４２ ２９６ ４６８ ２８４ ４５６ ２７２ ４４４ ２６０ ４３２ １７２ １６０ １４８ １３６
◆ 問題へもどる
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