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◆問題の解釈で、何通りかの答えが生じてしまいました。
それはそれとして、面白いのでそのまま掲載します。
◆埼玉県の中学校３年生 黒十字 さんからの解答
【問題２−１】
西暦と平成が共に連続する4つの和で表せる次の年は、
西暦2010年・平成22年
問題文から
(西暦or平成)＝4x+6 より
2006=4x+6
2006=500+501+502+503だから次の年は
(500+1)+(501+1)+(502+1)+(503+1)になるから
西暦は2010年
2010年は平成22年なので上の式に当てはめてみると
22=4x+6
4x=16
x=4
つまり平成22年は4+5+6+7で表せる。
【問題２−２】
西暦と平成が共に連続する5つ以上の整数の和で表せる次の年は、7つの整数の和で
西暦2009年、平成21年
問題文から
| (西暦or平成)＝nx+ | n(n-1) 2 |
，n≦5 |
| (西暦or平成)- | n(n-1) 2 |
=nx |
答えを代入してみると、
2009=7x+7(7-1)/2
7x=2009-21
7x=1988
x=284
つまり2009年は
284+285+286+287+288+289+290と表せる
21=7x+7(7-1)/2
7x=21-21
x=0
つまり平成21年は
0+1+2+3+4+5+6と表せる
【問題２−３】
6月9日のように、月と日が共に連続する3つ以上の整数の和で表せるのは1年に何回ある？
答え（正しいかどうか分からないけど）
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30の数字が連続する3つの整数の和
6 10 14 18 22 26 30の数字が連続する4つの整数の和
10 15 20 25 30の数字が連続する5つの整数の和
15 21 27の数字が連続する6つの整数の和 15月というのはないので6以上はありえない
3つの整数の和の日は3 6 9 12の月と3〜30までの日にちで4*10=40日
4つの整数の和の日は6 10月の6〜30日で2*7=14
5つの整数の和の日は10月の10〜30の日で1*5=5
かぶっているものを引くと
6/18 6/30 10/30がかぶっているので40+14+5-3=56日
答えは56日になる…はず
◆千葉県の高校生 ガウチ さんからの解答
【問題２−１】
平成p年は西暦1988+p年である.pはaからの連続した四つの整数の和、
1988+pはbからの連続した四つの整数の和とすると、
4a+6=p, 4b+6=1988+p であるから、辺々引くと
4(b-a)=1988
よって, b−a=497
平成１８年はa=3であるから、次はa＝4のときで、平成２２年 西暦２０１０年である。
【問題２−２】
| 整数nからm個の連続した整数の和は m｛n+( | m 2 |
- | 1 2 |
)｝なので, |
| m｛c+( | m 2 |
- | 1 2 |
)｝=x |
| m｛d+( | m 2 |
- | 1 2 |
)｝=1988+x |
また、mが奇数のときはxはmの倍数、偶数のときはxはm/2にmの倍数を足したものであることを利用して調べると
m=７のとき 次は平成２１年
m＝１３のとき 次は平成２６年
m＝１４のとき 次は平成２１年
m＝２８のとき 次は平成４２年
m＝７１のとき 次は平成７１年
m＝２８４のとき次は平成１４２年
m=４９７のとき次は平成４９７年
m=９９４のとき 次は平成４９７年
m＝１９８８のとき次は平成９９４年
よって平成２１年西暦２００９年である。
０から連続した七つの整数を足すと２１、
２８４から連続した七つの整数を足すと２００９
◆埼玉県 てる。あき。 さんからの解答
【問題２−１】
2006=500+501+502+503・・・(1)
18=3+4+5+6・・・(2)
次に西暦と平成が４つの整数の和で表されるのは・・・
501+502+503+504=2010
（(1)と比べると500の代わりに504を加えたので、＋４年）
4+5+6+7=22
（(2)と比べると3の代わりに7を加えたので、＋４年）
∴西暦２０１０年、平成２２年（答え）
【問題２−２】
| 平成 A+(A+1)+・・・+(A+N-1) = NA+ | N(N-1) 2 |
年とおく。 |
| 西暦 B+(B+1)+・・・+(B+N-1) = NB+ | N(N-1) 2 |
年とおく。 |
| NA+ | N(N-1) 2 |
+ 1988 = NB+ | N(N-1) 2 |
が成立。 |
∴N(B-A) = 1988 = 2*2*7*71
Nは5以上であるから、N=7 のときを考える。
すると、 B-A = 2*2*71 = 284
| NA+ | N(N-1) 2 |
を、18以上で最小となるようにAを選ぶと、 |
∴0+1+2+3+4+5+6=21(平成２１年)
284+285+286+287+288+289+290=2009(２００９年)
N=14,28,71,142,284,497,994,1988 のときを考える。
| NA+ | N(N-1) 2 |
（平成年）が１８以上なので |
N=14⇒平成(-5〜8までの和)=21年以上⇒上と同様の方法で、平成３１年が最小
N=28⇒平成(-12〜15までの和)=43年以上
N=71⇒平成(-34〜36までの和)=71年以上
N=142⇒平成(-70〜71までの和)=71年以上
N=284⇒平成(-141〜142までの和)=142年以上
N=497⇒平成(-247〜249までの和)=497年以上
N=994⇒平成(-496〜497までの和)=497年以上
N=1988⇒平成(-993〜994までの和)=994年以上
となる。
∴次は平成２１年、西暦２００９年に連続する７つの整数の和で表せる（答え）
◆福岡県 如月流牙 さんからの解答
【問題２−１】
4連続整数は例に示されているものに、おのおの１を足す。
すなわち、
2006＋4＝（500＋1）＋（501＋1）＋（502＋1）＋（503＋1）
と、
18＋4＝（3＋1）＋（4＋1）＋（5＋1）＋（6＋1）
これで、もっとも近い未来の、条件にあう年となる。
【問題２−２】
問題の題意がいまいち分かりづらいのですが、ここでは、５つ以上（西暦と年号はともに同じ数だけ用いられている）の整数の和で表せる、もっとも近い未来の年は何年か？ ととらえます。
基本的に奇数個の数を用いた、その和は、（その中央の値）×（用いる個数）となり、
偶数個では、中央の２数の平均となる「○○、5」×（個数）となります。
（右端と左端、右端から二番目と左から二番目、・・・・というように、数を足す。
ガウスが気づいた、狽求iｋ＝１〜100）の方法と同じ）
ここで、今一度、2006と18がなぜ４連続整数で表せたかに戻ります。
これは、2006−18が4の倍数であるからです。
というのも、
2006＝500＋501＋502＋503 −） 18＝ 3＋ 4＋ 5＋ 6 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 1988＝497×4となるからです。
また、平成の年号と西暦の数字の差は常に一定（人には誰しも死が訪れますが。。。。＾＾；）なので、
1988＝（中央値）×（連続の個数）と、表せればいいのです。
ここで、素因数分解して、
1988＝2×2×7×71。
これにより、1988の約数は、４以上のもので、
7、14、28、71、142、284、497、994、1988
だが、大体これらは1988を必ず倍数と持つわけで、それよりもなるべく年の経たない題意の年を求めるのだから、約数が小さい物ほど、すぐに題意を満たす年がくるわけで、なので、71以上の数あたりから、題意に見合う年が出てくる前に、7〜28の倍数で題意に見合う年がくるほうが早そうだと考えて、そこいらだけ試す。
すると、2009＝497×7＝143,5×14がもっとも早い。
よって、答えは2009年。〆~¢（+д＋；)フゥ〜
◆大阪府 電電虫 さんからの解答
【問題２−１】
2010＝501＋502＋503＋504
22＝4＋5＋6＋7
【問題２−２】
2009=284+285+286+287+288+289+290
21=4+5+6+7+8+9+10
7個の整数の和
2009＝137＋138＋…＋150
21＝(−5)＋(−4)＋…＋8
14個の整数の和
【問題２−３】
問題２−２の解き方を基に拡張してみました。
例えば4個の整数なら
1＋2＋3＋4の次の和は2＋3＋4＋5
となり前の和＋4となる
このことから
1連続 1＋1n (1=1)
2連続 1+2n (0+1=1)
3連続 0+3n (-1+0+1=0)
4連続 2+4n (-1+0+1+2=2)
5連続 0+4n (-2-1+0+1+2=0)
: :
というような法則性がある。
よって例えば4個の整数なら
平成=2+4n
西暦=2+4m
となるような数字があればよい
また平成＋1988＝西暦なので
k個連続のとき
平成=a+kn
西暦=a+kn+1988=a+km
となるので、1988がkで割り切れるとき条件を満たす
この問題の拡張として
「西暦と平成がともに何連続の整数の和で表すことができるか？」
答えは1988の約数
つまり2,4,7,14,28,71,142,284,497,994,1988連続の整数の和で表すことができる。
◆石川県 いくまる さんからの解答
【問題２−１】
2006=500+501+502+503
18=3+4+5+6
右辺の連続する4つの整数を1つずつずらすと
2010=501+502+503+504
22=4+5+6+7
題意を満たす次の年は西暦2010年/平成22年である。
問題２−３を先に!
平成N年は西暦(N+1988)年である。
ともにp個の連続する整数の和で表せたとすると、
N+1988=K+(K+1)+...+(K+p-1) ---(1)
N =L+(L+1)+...+(L+p-1) ---(2)
となる（K,Lは整数, N,pは自然数）。
(1)-(2)より 1988=p(K-L)
ところで 1988=2*2*7*71であり、
pは自然数であること、またL-Nは整数であることから、
p=2,4,7,14,28,71,142,284,497,994,1988 ---(3)
p=2のとき(2)より N=2L+1
よって西暦(2L+1989)年/平成(2L+1)年。
ちなみに
2L+1989 = (L+994)+(L+995)
2L+1 =L+(L+1)
同様にして(3)のすべての場合を考えようとすると
p=2:西暦(2L+1989)年/平成(2L+1)年
p=4:西暦(4L+1994)年/平成(4L+6)年
p=7:西暦(7L+2009)年/平成(7L+21)年
p=14:西暦(14L+2079)年/平成(14L+91)年
...
となるが、例えば平成年号については
4L+6=4(L+1)+2
7L+21=7(L+3)
14L+91=14(L+6)+7
などと変形できることから簡潔な形で書き直すと
p=2:西暦(2m+1989)年/平成(2m+1)年
p=4:西暦(4m+1991)年/平成(4m+2)年
p=7:西暦(7m+1988)年/平成7m年
p=14:西暦(14m+1995)年/平成(14m+7)年
p=28:西暦(28L+2002)年/平成(28m+14)年
p=71:西暦(71m+1988)年/平成71m年
p=142:西暦(142m+2059)年/平成(142m+71)年
p=284:西暦(284m+2130)年/平成(284m+142)年
p=497:西暦(497m+1988)年/平成497m年
p=994:西暦(994L+2458)年/平成(994m+497)年
p=1988:西暦(1988m+2982)年/平成(1988m+994)年
(mは0以上の任意の整数)
問題２−２に戻って
上記のうちpが5以上でかつ平成18年以降で最も近いのは
p=7, m=3: 西暦2009年/平成21年
p=14, m=1: 西暦2009年/平成21年
すなわち
2009= 284+285+...+293
21 = 0+1+...+6
および
2009= 142+142+...+155
21 = (-5)+(-4)+...+8
【感想】
(1)-(2)から、p,K,Lの条件が絞れそうと気づいたところまでは良かったのですが、
場合分けが意外と多くなってしまい疲れました。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
M= 31 NO. 1 A= 7, B= 8, C=16, D= 3, E=12, F= 1 G=18, H= 2, I=11, J= 6, K=14, L=10 M=13, N= 5, O=17, P= 9, Q=15, R= 4 NO. 2 A= 7, B=10, C=14, D= 6, E=11, F= 2 G=18, H= 1, I=12, J= 3, K=16, L= 8 M=13, N= 4, O=15, P= 9, Q=17, R= 5 NO. 3 A=11, B= 2, C=18, D= 1, E=12, F= 3 G=16, H= 8, I= 7, J=10, K=14, L= 6 M=15, N= 9, O=17, P= 5, Q=13, R= 4 NO. 4 A=11, B= 6, C=14, D=10, E= 7, F= 8 G=16, H= 3, I=12, J= 1, K=18, L= 2 M=15, N= 4, O=13, P= 5, Q=17, R= 9以下略。全リストはこちらです。
【問題２】
2 個 西暦 1991 平成 3 995 1 西暦 1993 平成 5 996 2 西暦 1995 平成 7 997 3 西暦 1997 平成 9 998 4 西暦 1999 平成 11 999 5 西暦 2001 平成 13 1000 6 西暦 2003 平成 15 1001 7 西暦 2005 平成 17 1002 8 西暦 2007 平成 19 1003 9 西暦 2009 平成 21 1004 10 4 個 西暦 1998 平成 10 498 1 西暦 2002 平成 14 499 2 西暦 2006 平成 18 500 3 西暦 2010 平成 22 501 4 西暦 2014 平成 26 502 5 西暦 2018 平成 30 503 6 西暦 2022 平成 34 504 7 西暦 2026 平成 38 505 8 西暦 2030 平成 42 506 9 西暦 2034 平成 46 507 10以下略。全リストはこちらです。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
基本的には下記４種
ｍ＝３１
ｍ＝３２
ｍ＝３２
ｍ＝３４
＜考え方概要＞
変形すると
（１）Ｄ＋Ｈ＋Ｌ＝６ｍ−１７１
（２）Ｂ＋Ｆ＋Ｊ＝６ｍ−１７１
（３）Ｍ＋Ｎ＋Ｏ＋Ｐ＋Ｑ＋Ｒ＝３４２−９ｍ
が得られる。
６個の数字の和は２１〜９３であり、
（１）＋（２）からｍは３１以上
（３）からｍは３５以下であるとわかる。
しかし、これ以上限定する方法が分からなかった。
ｍ＝３１の場合 Ｄ＋Ｈ＋Ｌ＝Ｂ＋Ｆ＋Ｊ＝１５なので探索は人間業でできる範囲だが、それ以上は多数なので、
（１）（２）を満たすＤ，Ｈ，Ｌ，Ｂ，Ｆ，Ｊの組合せ全部に関し、ＰＣで虱潰しした。
Ｄ，Ｈ，Ｌ，Ｂ，Ｆ，Ｊ、ｍが定まると Ｍ，Ｎ，Ｏ，Ｐ，Ｑ，Ｒは１パラメータ不定だけなので探索は容易である。
Ａ，Ｃ，Ｅ，Ｇ，Ｉ，Ｋも同様である。
なお、ＰＣにとっては一瞬の作業であった。
【問題２−１】 ２０１０年
【問題２−３】
変わったところで 連続する２素数の和というのはどうでしょう。
２００６＝９９７＋１００９
１８ ＝７＋１１
◆静岡県 ｍｅｄａｋａ さんからの解答
【問題１】
（答え）
基本解は、以下の４通り。
【 m=31 No.1 】
14---- 6----11
／ ／ ＼ ＼
10---- 4-----15---- 2
／ ＼ ／ ＼ ／ ＼
7 13 9 18
＼ ／ ＼ ／ ＼ ／
8---- 5-----17----- 1
＼ ＼ ／ ／
16----- 3----12
【 m=32 No.1 】
7----11----14
／ ／ ＼ ＼
10---- 1-----16---- 5
／ ＼ ／ ＼ ／ ＼
15 12 3 13
＼ ／ ＼ ／ ＼ ／
8---- 4-----18----- 2
＼ ＼ ／ ／
9----- 6----17
【 m=32 No.2 】
9---- 6----17
／ ／ ＼ ＼
16---- 4-----10---- 2
／ ＼ ／ ＼ ／ ＼
7 8 15 13
＼ ／ ＼ ／ ＼ ／
14---- 5-----12----- 1
＼ ＼ ／ ／
11----- 3----18
【 m=34 No.1 】
9----12----13
／ ／ ＼ ＼
8---- 2-----14----10
／ ＼ ／ ＼ ／ ＼
17 4 3 11
＼ ／ ＼ ／ ＼ ／
16---- 7----- 6----- 5
＼ ＼ ／ ／
1-----15----18
（解法）
［探索の準備］
見易さのため、Ａ〜Ｒに変えて、以下のように１〜18を割り当てる。
13----12----18
／ ／ ＼ ＼
７----１-----６----11
／ ＼ ／ ＼ ／ ＼
14 ２ ５ 17
＼ ／ ＼ ／ ＼ ／
８----３-----４-----10
＼ ＼ ／ ／
15-----９----16
また、ａ、ｂ、ｃを以下のように定義する。ａ ＝ １＋２＋３＋４＋５＋６ ... (1)
ｂ ＝ ７＋８＋９＋10＋11＋12 ... (2)
ｃ ＝ 13＋14＋15＋16＋17＋18 ... (3)
(1)+(2)+(3)の中には、１〜１８が必ず１回ずつ表れるので、
ａ＋ｂ＋ｃ＝ １＋２＋３＋．．．＋１８＝１７１ ... (4)
すべての辺の総和を考えると
２ａ＋３ｂ＋２ｃ ＝ １２ｍ ... (5)
(5)に(4)を代入して
ｂ ＝ １２ｍ−３４２ ... (6)
正六角形の辺の総和を考えると
ｂ＋２ｃ ＝ ６ｍ ... (7)
(6),(7)より、
ｃ ＝ １７１−３ｍ ... (8)
(4),(6),(8)より、
ａ ＝ １７１−ｂ−ｃ ＝ ３４２−９ｍ ... (9)
ａ，ｂ，ｃの下限値は、1+2+3+4+5+6、上限値は、13+14+15+16+17+18となるので、
２１ ≦ ａ，ｂ，ｃ ≦ ９３ ... (10)
(10),(6),(8),(9)より、ｍの範囲を求めると (途中省略）
３１≦ ｍ ≦ ３５ ... (11)
三角形７_９_11を考えると
７＋１＋６＋11 ＝ ｍ ... (12)
７＋２＋３＋９ ＝ ｍ ... (13)
９＋４＋５＋11 ＝ ｍ ... (14)
(12)+(13)-(14)より、
２７＋１＋６＋２＋３−４−５ ＝ ｍ
２７＋（１＋２＋３＋４＋５＋６）−２（４+５）＝ ｍ
(9)を代入すると
２７＋３４２−９ｍ−２（４+５）＝ ｍ
よって、
７ ＝ ５ｍ−１７１＋４＋５ ... (15)
同様にして
８ ＝ ５ｍ−１７１＋５＋６ ... (16)
９ ＝ ５ｍ−１７１＋６＋１ ... (17)
10 ＝ ５ｍ−１７１＋１＋２ ... (18)
11 ＝ ５ｍ−１７１＋２＋３ ... (19)
12 ＝ ５ｍ−１７１＋３＋４ ... (20)
正六角形の各辺について考えると、
14 ＝ ｍ−13−７ ... (21)
15 ＝ ｍ−14−８ ... (22)
16 ＝ ｍ−15−９ ... (23)
17 ＝ ｍ−16−10 ... (24)
18 ＝ ｍ−17−11 ... (25)
ｘ ＝ ｍ−18−12 ... (26)
［探索手順］
ｍが３１から３５の範囲で以下の探索を行い、１〜18を決定する。
ただし、１〜18は、１〜１８の整数かつ、互いに異なる点に注意する。
ｓ１．(9)式を満たす、整数の組１〜６を求める。
（普通の探索）
ｓ２．(15)〜(20)式により、７〜12を求める。
ｓ３．13を１〜１８の範囲の値を仮定して、(21)〜(26)式により、14〜18、ｘを求める。
13≠ｘとなる場合は、解として不適合のため破棄する。
13＝ｘとなる組み合わせが見つかれば、それが求める答えである。
【問題２−１】
（答え）４年後の平成２２年
１８＋４＝ ２２＝４ ＋５ ＋６ ＋７ ２００６＋４＝２０１０＝５０１＋５０２＋５０３＋５０４
【問題２−２】
（答え）１０年後の平成２８年
１８＋１０＝ ２８＝１ ＋２ ＋３ ＋４ ＋５ ＋６ ＋７ ２００６＋１０＝２０１６＝２８５＋２８６＋２８７＋２８８＋２８９＋２９０＋２９１【問題２−３】
（一般解について)
ｘ年後がｍ個の連続する整数の和で表すことができるものとする。即ち、
平成(１８＋ｘ) ＝ ａ〜（ａ＋ｍ−１）の和 ... (1)
西暦(２００６＋ｘ) ＝ ｂ〜（ｂ＋ｍ−１）の和 ... (2)
但し、ｘ≧０、ｍ≧２、ａ,b＞０となる整数 ... (3)
となるｘ，ｍ，ａ，ｂが存在する。
これより、
| １８＋ｘ ＝ ｍ(ａ＋ | ｍ−１ ２ |
) ... (4) |
| ２００６＋ｘ ＝ ｍ(ｂ＋ | ｍ−１ ２ |
) ... (5) |
(4)、(5)式は、ｘ，ｍ，ａ，ｂの解が存在するとき、
Ｘ＝ｘ＋ｍ，Ａ＝ａ＋１，Ｂ＝ｂ＋１ とおくと、
Ｘ，ｍ，Ａ，Ｂも(4)、(5)式を満たすことがわかる。
従って、以下では、ｘ、ａ，ｂの最小値のみを求めることにする。
(5)−(4)より、
ｍ ｛ ｂ−ａ ｝
＝ １９８８ ... (6)
＝ ２ ＊ ９９４ ... (7)
＝ ４ ＊ ４９７ ... (8)
＝ ７ ＊ ２８４ ... (9)
＝ １４ ＊ １４２ ... (10)
＝ ２８ ＊ ７１ ... (11)
＝ １ ＊１９８８ ... (12)
(6)式が整数解を持つためには、ｍは、１９８８の約数かつ２以上でなければならない。
(7)式に因数分解される場合、
ｍ＝２，ｂ−ａ＝９９４ または、ｍ＝９９４、ｂ−ａ＝２となる。
ｍ＝２、ｂ−ａ＝９９４の場合、(4)に代入すると
| １８＋ｘ ＝ ２(ａ＋ | ２−１ ２ |
) |
ｂ−ａ＝９９４より、ｂ＝１００３を得る。
以上をまとめると
ｘ＝１，ｍ＝２，ａ＝９，ｂ＝１００３
ｍ＝９９４，ｂ−ａ＝２の場合、(3)に代入すると
| １８＋ｘ ＝ ９９４(ａ＋ | ９９４−１ ２ |
) |
また、ｂ−ａ＝２より、ｂ＝３となる。
以上をまとめると
ｘ＝４９４４９７，ｍ＝９９４，ａ＝１，ｂ＝３
(8)〜(12)の場合も同様に、求めることができて、以下の結果となる。
X m a b 平成の分解 西暦の分解
------ ---- -- ---- ------------------------- -------------------------------
1 2 9 1003 : 18 + 1 = [ 9, 10 ] / 2006 + 1 =[ 1003, 1004 ]
0 4 3 500 : 18 + 0 = [ 3, 6 ] / 2006 + 0 =[ 500, 503 ]
10 7 1 285 : 18 + 10 = [ 1, 7 ] / 2006 + 10 =[ 285, 291 ]
87 14 1 143 : 18 + 87 = [ 1, 14 ] / 2006 + 87 =[ 143, 156 ]
388 28 1 72 : 18 + 388 = [ 1, 28 ] / 2006 + 388 =[ 72, 99 ]
2538 71 1 29 : 18 + 2538 = [ 1, 71 ] / 2006 + 2538 =[ 29, 99 ]
10135 142 1 15 : 18 + 10135 = [ 1, 142 ] / 2006 + 10135 =[ 15, 156 ]
40452 284 1 8 : 18 + 40452 = [ 1, 284 ] / 2006 + 40452 =[ 8, 291 ]
123735 497 1 5 : 18 + 123735 = [ 1, 497 ] / 2006 + 123735 =[ 5, 501 ]
494497 994 1 3 : 18 + 494497 = [ 1, 994 ] / 2006 + 494497 =[ 3, 996 ]
1977048 1988 1 2 : 18 + 1977048 = [ 1, 1988 ] / 2006 + 1977048 =[ 2, 1989 ]◆東京都 明 さんからの解答
【問題１】
18―――１―――12 ／ ／ ＼ ＼ ２―――９―――17―――３ ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ 11 15 ５ 16 ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ ６―――４―――13―――８ ＼ ＼ ／ ／ 14―――10―――７ 13―――１―――18 ／ ／ ＼ ＼ ２―――15―――12―――３ ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ 17 10 ５ 11 ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ ６―――４―――８―――14 ＼ ＼ ／ ／ ９―――16―――７ 13―――５―――14 ／ ／ ＼ ＼ ２―――３―――16―――11 ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ 17 18 １ ７ ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ ６―――４―――12―――10 ＼ ＼ ／ ／ ９―――８―――15 ９―――８―――17 ／ ／ ＼ ＼ 12―――２―――４―――16 ／ ＼ ／ ＼ ／ ＼ 13 14 ７ １ ＼ ／ ＼ ／ ＼ ／ 10―――３―――６―――15 ＼ ＼ ／ ／ 11―――５―――18＜求め方＞
(1)〜(12)の不定方程式で、A〜R が1〜18の重複しない整数となる解を求めます。
A+B+C = m (1)
C+D+E = m (2)
E+F+G = m (3)
G+H+I = m (4)
I+J+K = m (5)
K+L+A = m (6)
B+N+O+F = m (7)
F+P+Q+J = m (8)
J+R+M+B = m (9)
D+O+P+H = m (10)
H+Q+R+L = m (11)
L+M+N+D = m (12)
まず、(1)〜(12)の総和をとることにより、
2(A+B+・・・+R)+L+D+H+B+F+J = 12m
よって、12m = 342+L+D+H+B+F+J
| m = | L+D+H+B+F+J+6 12 |
+28 |
| m = | L+D+H+B+F+J+6 12 |
+28 |
(1)-(2)+(3)-(4)+(5)から A=-K+D+H-B-F+m (2)-(3)+(4)-(5)から C=K-D-H+F+J (3)-(4)+(5)から E=-K+H-F-J+m (4)-(5)から G=K-H+J (5)から I=-K-J+m -(1)+(2)-(3)+(4)-(5)+(6)から J=L+D+H-B-F -(1)+(2)-(3)+(4)-(5)+(6)+(7)+(8)-(10)-(11)から N=R+H-F -(1)+(2)-(3)+(4)-(5)+(6)+(8)-(11)から P=R-D+B (9)から M=-R-B-J+m (1)-(2)+(3)-(4)+(5)-(6)-(8)+(10)+(11)から O=-R-H-B+m (1)-(2)+(3)-(4)+(5)-(6)+(11)から Q=-R+D-B-F-J+m2×((1)-(2)+(3)-(4)+(5)-(6))-(7)-(8)-(9)+(10)+(11)+(12)からは0=0となり、13個の式の内、1個は従属の関係式であることが分かりました。
また、独立として定めたL,D,H,B,F,J はJ=L+D+H-B-Fとなり、１つは従属変数であり、別の2個の変数（この場合KとR)が独立変数となりました。
あとは独立変数L,D,H,B,F,K,R に適当な数字を入れてすべての変数が1〜18に割り当てられるようにします。
計算機により適合するものを探索しました。
図の回転、裏返しの同型を1つと数えるため、次の工夫をしました。
まず、2つの3角形を構成するL,D,H,B,Fの5つの数を数字の小さい順で組合せとして選びだします。
次にこの5つの数からL,D,Hとする3つの数を組合せとして選び出し、Jとmを求めます。
次にJ がL,D,H,B,Fより大きいこと、およびmが整数になることをチェックし、条件から外れるものを除外します。
（別に外周の6角形の各辺がmによりm≦42が導けます。）
これで候補となる重複しないL,D,HとB,F,J の組を選択することができます。
次にL,D,Hを小さい数の順に割り当てます。
以上で回転、裏返しの同型を重複せずに検出できることになります。
最後にB,F,Jを順列として配置し、K,R に重複しない数を当てはめ、すべての変数が1〜18に1つずつ割り当てられるかを確認します。
以上の方法で求めた結果が上記4つのパターンです。
【問題２−１】
| 初項がnで連続するk個の整数の和は | k(2n+k-1) 2 |
| k(2m+k-1) 2 |
- | k(2n+k-1) 2 |
= (m-n)k |
【問題２−２】
| 西暦を | k(2m+k-1) 2 |
、和暦を | k(2n+k-1) 2 |
であらわせるとすると、 |
西暦と和暦の差は1988=22・7・71から、
5以上となるkの候補は7,14,28,・・・となります。
ｋが約数を持ち、k個の連続する整数の和がある値となるとき、約数の連続する整数の和でその値にすることができます。
したがってk=7と71の２つを確認すれば十分です。
k=7のとき、次の年は2009年、平成21年
k=71のとき、次の年は2059年、平成71年となります。
したがって、答えは 2009年、平成21年です。
ちなみに７つの連続する整数であらわすと以下のようになります。
2009=284+285+・・・+290
21=0+1+・・・+6
【問題２−３】
次のような問題を考えてみました。
西暦2006年は和暦で平成18年。
昭和、大正、明治が続いたとすれば昭和81年、大正95年、明治139年にあたります。
平成、昭和、大正、明治で表した年号で、3つを選んだとき、同一の個数の連続した整数の和で表せる年が存在する場合と、全く存在しない場合があります。
3つの組合せで、同一の個数の連続した整数の和で表せる年が存在しない場合はどのような場合でしょうか。
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