『今週の問題』第214回 解答


◆神奈川県 アンパンマン さんからの解答

【問題1】

163213
510118
96712
415141

【問題2】

4×4の魔方陣の各マスの値の行列をAに定義します。
(A=[aij])

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

すると、

a12+a13+a42+a43=34
a12+a24+a43+a31=34
a12+a21+a43+a34=34
a22+a23+a32+a33=34
a11+a14+a41+a44=34
a11+a32+a23+a44=34

などです。

各値(aij)が合計(=34)に使われる回数(bij)の行列B=[bij]を以下に示す。

5 6 6 5
6 5 5 6
6 5 5 6
5 6 6 5
1回の合計に4つの数字を使うため、
34になる合計の数=(5*8+5*8)/4=20個

【問題3】

各数字をノードにして、合計が34になる数字を線でリンクして、グラフで表示してわかるように、対称的に入れ替わっても性質が変わらないので、入れ替わる方法が次のようにあります。

a)縦1と2の入れ替え、縦3と4の入れ替え、=1通り
b)横1と2の入れ替え、横3と4の入れ替え、=1通り
c) a)とb)の組み合わせ =1通り
d)元もパターン=1通り、よってa)からd)は4通り
d)その他(1から4を逆順と5から8を逆順にするなど)計4C2/2=3通り
e)真ん中の縦2列の中の1と2列の入れ替え、3と4列の入れ替え、計2通り

よって、 4*4C2/2*2=24通り

【おまけ】

n次元まで拡張可能ですが、とりあえず3次元の「magic cube」です。

レイヤ1
 1 56 57 16
48 25 24 33
29 44 37 20
52  5 12 61 

レイヤ2
62 11  6 51
19 38 43 30
34 23 26 47
15 58 55  2

レイヤ3
63 10  7 50
18 39 42 31
35 22 27 46
14 59 54  3

レイヤ4
 4 53 60 13
45 28 21 36
32 41 40 17
49  8  9 64
縦、横、斜めなどの線上の四つの数字の合計も130になります。
これにより、どの面上の16個の数字の合計も130*4=520になります。


◆大阪府 二神 孝明 さんからの解答

【おまけ】

1〜25の数字を一個ずつ。使われてる数字は不可。

111525
211810
13


◆広島県 清川 育男 さんからの解答

【問題1】

163213
510118
96712
415141

165211
310138
94714
615121

【問題2】

1613
1011
67
41

1611
1013
47
61

入れ子型になっている。

【問題3】

和は、 ((1+16)*16/2)/4=34
したがって、左上隅は16。

16a216-a
b1016-b8
99-a79+a
9-b159+b1

a+b=8
(a=3,b=5),(a=5,b=3)

2通り。


◆茨城県 長すぎる名前 さんからの解答

【問題3】

各行・列の数の和は34
見えている数字の和と残りの数は、

 
32
101816
1618
151618
25
252525

18=16+2、25=16+9で2も9も既に使われているので、16が入るマスは、A1の位置しかない。

 
161816
101816
1618
151618
2525
2525

A列とC列、B列とD列の空きマスに着目すると、2行2列の方陣2つに分割できる。
2つの方陣の各行・列の数の和は同じ構造になる。

方陣AC

 空きマスの数の和
16
18
25 

方陣BD

 空きマスの数の和
16
18
25 

まず方陣ACについて考える。

使われていない数は
3,4,5,6,11,12,13,14

足して9になる組合せ (3,6) (4,5) (5,4) (6,3)
足して25になる組合せ (11,14) (12,13) (13,12) (14,11)
足して16になる組合せ (3,13) (4,12) (5,11)
足して18になる組合せ (4,14) (5,13) (6,12)

A2を決めるとA4、C2が決まり、D4も決まる。

(A2,A4,C2,C4)
=(3,6,13,12)…(1)
=(4,5,12,13)…(2)
=(5,4,11,14)…(3)

この3通りに対応する方陣BDのマスの埋め方(B1,B3,D1,D3)は、

(1)… (5,4,11,14)
(2)… なし
(3)… (3,6,13,12)

よって2通り。

【問題2】


◆静岡県 つぼちゃん さんからの解答

【問題1】

1〜16までの数字を足すと136。

横は4通りあるから136÷4=34 で、1列の和は34になる。

163213
510118
96712
415141

165211
310138
94714
615121

【問題2】

16マスを十字に切って、左上、右上、左下、右下の4つのブロックに分けると、その1つのブロックの4つの数の和も同じになる。

【問題3】

2通り

まず、右下のブロックに注目して、4つの数の和が34になるには、残り2つの数字の和が26にならなければならない。
残っている数でこのような数の組み合わせは12と14しかない。

同様に、右上のブロックの4つの数の和が34になるには、残り2つの数字の和が24にならなければならない。
残っている数でこのような数の組み合わせは11と13しかない。

同様に、左下のブロックの4つの数の和が34になるには、残り2つの数字の和が10にならなければならない。
残っている数でこのような数の組み合わせは4と6しかない。

残った数字は、3,5,16で、3数の和は24で、これらは左上のブロックに入る数字となる。

ここで、右下のブロックに12と14を固定すると、その他に入る数字は1通りしかない。
12と14を入れ替えてもその他に入る数字は1通りしかない。

よって、合計2通り。


◆滋賀県 松尾 さんからの解答

【問題1】【問題3】

縦、横、斜めの合計は 1から16までの合計の4分の1、34になります。
1行目の1列目には16が入ります。

1列目には 16、9があり、残りの2つの数の合計は9です。
2列目には 10、15があり、残りの2つの数の合計は9です。
2つの数の合計が9になるのは 残った3,4,5,6,11,12,13,14のうち 4、5 または 3、6 の2とおりです。

同様に、3列目、4列目の合計は9、残りの数の合計は25。
2つの数の合計が25になるのは 残った3,4,5,6,11,12,13,14のうち 11、14 または 12、13 の2とおりです。

以下、数をいれてみます。
まず、1行目、2列目に 3 を入れてみます。(下図左)

3行目、2列目は6です。
縦、横が34になるように数を入れると、下図中までは決まります。
4列目は 12、13 の組が入ったので、3列目には 11、14 が入ります。
2行目、3列目に11を入れてみるとできました。(下図右上)

2行目、3列目に14を入れてみると、残りを入れていくうちに2が二つ出て、できません。(下図右下)

1行目2列目に 6をいれます。 10が二つ出て、できません。(下図)

1行目、2列目に 4 を入れてみます。(下図左) 
3行目、2列目は 5 です。

縦、横が34になるように数を入れると、下図中までは決まります。
4列目は 12、13 の組が入ったので、3列目には 11、14 が入ります。
2行目、3列目に11を入れてみると、残りを入れていくうちに4が二つ出て、できません。(下図右下)
2行目、3列目に14を入れてみると、残りを入れていくうちに7が二つ出て、できません。(下図右下)

1行目、2列目に 5 を入れてみます。(下図左)
3行目、2列目は 4 です。
縦、横が34になるように数を入れると、下図中までは決まります。

4列目は 11、14 の組が入ったので、3列目には 12、13 が入ります。
2行目、3列目に12を入れてみると、残りを入れていくうちに5が二つ出て、できません。(下図右上)
2行目、3列目に13を入れてみるとできました。(下図右下)

結局、以下の二通りです。

163213
510118
96712
415141

165211
310138
94714
615121

【問題2】

1列目と4列目、あるいは2列目と3列目を入れ替えても魔法陣として成立します。
また、1行目と4行目、あるいは2行目と3行目を入れ替えても魔法陣として成立します。
これを繰り返しても成立します。


◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答

【問題1,3】

下図の2通りあります。

証明

  1. 斜め(緑矢印方向)の和が34になる為に、16の位置は決定です。
  2. 縦の列(黄色矢印方向)の和が34になる為には、空いているところは3+6か4+5でなければならない。
  3. その上下関係も含め4通りを書き出すと下図となる。さらに2つの横の2列(青矢印の方向)各々一意に定まる。
  4. 4つの可能性のうち1つは数字が重複するので除外される。


     
  5. 下図斜め(青緑矢印方向)の和が34になる為には、対角線上の空きについては下図に示す配置が一意に定まります。
  6. これで残りの空きも自動的決定され、重複しないように入れると、1つのケースで矛盾が発生します。 のところです。
  7. よって2ケースです。


     

【問題2】

縦横斜め以外の特別な位置関係にある4箇所に関しても、多くのケースでその合計が同じ値:34である。
下図参照


【おまけ】

 二十四節気の漢字の総画数の魔法陣(5×5)です。
総画数調整のため「二十四節気」で旧字「氣」を採用しています。



二十四節氣(せっき 32画データ
節 氣 小 寒 大 寒 立 春 雨 水 啓 蟄 春 分 清 明 穀 雨 立 夏 小 満 芒 種 夏 至 小 暑 大 暑 立 秋 処 暑 白 露 秋 分 寒 露 霜 降 立 冬 小 雪 大 雪 冬 至
読み しょうかん だいかん りっしゅん う す い けいちつ しゅんぶん せいめい こ く う り っ か しょうまん ぼうしゅ げ  し しょうしょ たいしょ りっしゅう しょしょ は く ろ しゅうぶん か ん ろ そうこう りっとう しょうせつ たいせつ と う じ
平成17年暦 1月5日 1月20日 2月4日 2月18日 3月5日 3月20日 4月5日 4月20日 5月5日 5月21日 6月5日 6月21日 7月7日 7月23日 8月7日 8月23日 9月7日 9月23日 10月8日 10月23日 11月7日 11月22日 12月7日 12月22日
総画数 15 15 14 12 28 13 19 22 15 15 20 16 15 15 14 17 26 13 33 27 10 14 14 11


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