『今週の問題』第214回　解答

◆神奈川県　アンパンマン さんからの解答

【問題１】

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

【問題２】

４×４の魔方陣の各マスの値の行列をAに定義します。
(A=[a_ij])

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

すると、

a₁₂+a₁₃+a₄₂+a₄₃=34
a₁₂+a₂₄+a₄₃+a₃₁=34
a₁₂+a₂₁+a₄₃+a₃₄=34
a₂₂+a₂₃+a₃₂+a₃₃=34
a₁₁+a₁₄+a₄₁+a₄₄=34
a₁₁+a₃₂+a₂₃+a₄₄=34

などです。

各値(a_ij)が合計(=34)に使われる回数(b_ij)の行列B=[b_ij]を以下に示す。

5 6 6 5
6 5 5 6
6 5 5 6
5 6 6 5

【問題３】

各数字をノードにして、合計が34になる数字を線でリンクして、グラフで表示してわかるように、対称的に入れ替わっても性質が変わらないので、入れ替わる方法が次のようにあります。

a)縦1と2の入れ替え、縦3と4の入れ替え、=1通り
b)横1と2の入れ替え、横3と4の入れ替え、=1通り
c) a)とb)の組み合わせ =1通り
d)元もパターン=1通り、よってa)からd)は4通り
d)その他(1から4を逆順と5から8を逆順にするなど)計₄C₂/2=3通り
e)真ん中の縦2列の中の1と2列の入れ替え、3と4列の入れ替え、計2通り

よって、 4*₄C₂/2*2=24通り

【おまけ】

ｎ次元まで拡張可能ですが、とりあえず3次元の「magic cube」です。

レイヤ1
 1 56 57 16
48 25 24 33
29 44 37 20
52  5 12 61 

レイヤ2
62 11  6 51
19 38 43 30
34 23 26 47
15 58 55  2

レイヤ3
63 10  7 50
18 39 42 31
35 22 27 46
14 59 54  3

レイヤ4
 4 53 60 13
45 28 21 36
32 41 40 17
49  8  9 64

◆大阪府　二神　孝明 さんからの解答

【おまけ】

１〜２５の数字を一個ずつ。使われてる数字は不可。

１１	□	１５	□	２５
□	□	□	□	□
２１	□	１８	□	１０
□	□	□	□	□
１３	□	２	□	９

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１】

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

16	5	2	11
3	10	13	8
9	4	7	14
6	15	12	1

【問題２】

16			13
	10	11
	6	7
4			1

16			11
	10	13
	4	7
6			1

入れ子型になっている。

【問題３】

和は、 ((1+16)*16/2)/4=34
したがって、左上隅は16。

16	a	2	16-a
b	10	16-b	8
9	9-a	7	9+a
9-b	15	9+b	1

a+b=8
(a=3,b=5),(a=5,b=3)

２通り。

◆茨城県　長すぎる名前 さんからの解答

【問題３】

各行・列の数の和は34
見えている数字の和と残りの数は、

	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	和	残
１	□	□	２	□	２	３２
２	□	１０	□	８	１８	１６
３	９	□	７	□	１６	１８
４	□	１５	□	１	１６	１８
和	９	２５	９	９
残	２５	９	２５	２５

18=16+2、25=16+9で2も9も既に使われているので、16が入るマスは、A1の位置しかない。

	Ａ	Ｂ	Ｃ	Ｄ	和	残
１	16	□	２	□	１８	１６
２	□	１０	□	８	１８	１６
３	９	□	７	□	１６	１８
４	□	１５	□	１	１６	１８
和	２５	２５	９	９
残	９	９	２５	２５

A列とC列、B列とD列の空きマスに着目すると、2行2列の方陣２つに分割できる。
2つの方陣の各行・列の数の和は同じ構造になる。

方陣AC

	Ａ	Ｃ	空きマスの数の和
２	□	□	１６
４	□	□	１８
和	９	２５

方陣BD

	Ｂ	Ｄ	空きマスの数の和
１	□	□	１６
３	□	□	１８
和	９	２５

まず方陣ACについて考える。

使われていない数は
3,4,5,6,11,12,13,14

足して９になる組合せ (3,6) (4,5) (5,4) (6,3)
足して25になる組合せ (11,14) (12,13) (13,12) (14,11)
足して16になる組合せ (3,13) (4,12) (5,11)
足して18になる組合せ (4,14) (5,13) (6,12)

A2を決めるとA4、C2が決まり、D4も決まる。

(A2,A4,C2,C4)
=(3,6,13,12)…(1)
=(4,5,12,13)…(2)
=(5,4,11,14)…(3)

この3通りに対応する方陣BDのマスの埋め方(B1,B3,D1,D3)は、

(1)… (5,4,11,14)
(2)… なし
(3)… (3,6,13,12)

よって2通り。

【問題２】

• 点対象の位置にあるマスの数の和が１７になる。

• 対角線上の数の和も34。
  (上記1番目の性質から導かれる)

• ２×２に４分割してできる４つの区画のそれぞれに含まれる数の和も34。

• 中央の4マスの数の和も34。
  (上記1番目の性質から導かれる)

• ４隅の数の和も34。
  (上記1番目の性質から導かれる)

• 同じ列の一つ間を空けた２マスの数の和は9または25。
  同じ行の一つ間を空けた２マスの数の和は16または18。

• 任意の2行・2列の交点のマスで作った方陣と、残りの2行・2列の交点のマスで作った方陣は、対応する行または列の数の和が同じ。

◆静岡県　つぼちゃん さんからの解答

【問題１】

1〜16までの数字を足すと136。

横は4通りあるから136÷4=34 で、1列の和は34になる。

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

16	5	2	11
3	10	13	8
9	4	7	14
6	15	12	1

【問題２】

16マスを十字に切って、左上、右上、左下、右下の4つのブロックに分けると、その1つのブロックの4つの数の和も同じになる。

【問題３】

2通り

まず、右下のブロックに注目して、4つの数の和が34になるには、残り2つの数字の和が26にならなければならない。
残っている数でこのような数の組み合わせは12と14しかない。

同様に、右上のブロックの4つの数の和が34になるには、残り2つの数字の和が24にならなければならない。
残っている数でこのような数の組み合わせは11と13しかない。

同様に、左下のブロックの4つの数の和が34になるには、残り2つの数字の和が10にならなければならない。
残っている数でこのような数の組み合わせは4と6しかない。

残った数字は、3,5,16で、3数の和は24で、これらは左上のブロックに入る数字となる。

ここで、右下のブロックに12と14を固定すると、その他に入る数字は1通りしかない。
12と14を入れ替えてもその他に入る数字は1通りしかない。

よって、合計2通り。

◆滋賀県　松尾　さんからの解答

【問題１】【問題３】

縦、横、斜めの合計は １から１６までの合計の４分の１、３４になります。
１行目の１列目には１６が入ります。

１列目には １６、９があり、残りの２つの数の合計は９です。
２列目には １０、１５があり、残りの２つの数の合計は９です。
２つの数の合計が９になるのは 残った３，４，５，６，１１，１２，１３，１４のうち ４、５ または ３、６ の２とおりです。

同様に、３列目、４列目の合計は９、残りの数の合計は２５。
２つの数の合計が２５になるのは 残った３，４，５，６，１１，１２，１３，１４のうち １１、１４ または １２、１３ の２とおりです。

以下、数をいれてみます。
まず、１行目、２列目に ３ を入れてみます。(下図左)

３行目、２列目は６です。
縦、横が３４になるように数を入れると、下図中までは決まります。
４列目は １２、１３ の組が入ったので、３列目には １１、１４ が入ります。
２行目、３列目に１１を入れてみるとできました。(下図右上)

２行目、３列目に１４を入れてみると、残りを入れていくうちに２が二つ出て、できません。(下図右下)

１行目２列目に ６をいれます。 １０が二つ出て、できません。(下図)

１行目、２列目に ４ を入れてみます。(下図左)　
３行目、２列目は ５ です。

縦、横が３４になるように数を入れると、下図中までは決まります。
４列目は １２、１３ の組が入ったので、３列目には １１、１４ が入ります。
２行目、３列目に１１を入れてみると、残りを入れていくうちに４が二つ出て、できません。(下図右下)
２行目、３列目に１４を入れてみると、残りを入れていくうちに７が二つ出て、できません。(下図右下)

１行目、２列目に ５ を入れてみます。(下図左)
３行目、２列目は ４ です。
縦、横が３４になるように数を入れると、下図中までは決まります。

４列目は １１、１４ の組が入ったので、３列目には １２、１３ が入ります。
２行目、３列目に１２を入れてみると、残りを入れていくうちに５が二つ出て、できません。(下図右上)
２行目、３列目に１３を入れてみるとできました。(下図右下)

結局、以下の二通りです。

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

16	5	2	11
3	10	13	8
9	4	7	14
6	15	12	1

【問題２】

１列目と４列目、あるいは２列目と３列目を入れ替えても魔法陣として成立します。
また、１行目と４行目、あるいは２行目と３行目を入れ替えても魔法陣として成立します。
これを繰り返しても成立します。

◆愛知県　Y.M.Ojisan　さんからの解答

【問題１,３】

下図の２通りあります。

証明

1. 斜め（緑矢印方向）の和が３４になる為に、１６の位置は決定です。
2. 縦の列（黄色矢印方向）の和が３４になる為には、空いているところは３＋６か４＋５でなければならない。
3. その上下関係も含め４通りを書き出すと下図となる。さらに２つの横の２列（青矢印の方向）各々一意に定まる。
4. ４つの可能性のうち１つは数字が重複するので除外される。
   
   
   　
   
5. 下図斜め（青緑矢印方向）の和が３４になる為には、対角線上の空きについては下図に示す配置が一意に定まります。
6. これで残りの空きも自動的決定され、重複しないように入れると、１つのケースで矛盾が発生します。 のところです。
7. よって２ケースです。
   
   
   　

【問題２】

縦横斜め以外の特別な位置関係にある４箇所に関しても、多くのケースでその合計が同じ値：３４である。
下図参照

【おまけ】

　二十四節気の漢字の総画数の魔法陣（５×５）です。
総画数調整のため「二十四節気」で旧字「氣」を採用しています。

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