数学の部屋へもどる。◆静岡県 ヨッシー さんからの解答。
【問題１】
１６本
【問題２】
目盛の数は
１＋１＋２＋２＋３＋３＋４＋４＋５＋５＋６＋６＋７＋７＋８＋８＝７２角は １５個
７２＋１５＝８７
８７秒（１分２７秒)
【問題３】
２ｎ番目の角に着く時間は、目盛の数が
２×（１＋２＋３＋・・・＋ｎ)＝ｎ（ｎ＋１)
角が２ｎ−１個
よって、（ｎ＋１)（ｎ＋２)−３ 秒後
２８番目の角（ｎ＝１４)に着くのが １５×１６−３＝２３７ 秒後
１秒かかって向きを変え、もう２目盛進むと、２４０秒（４分)となる。
この区間の角から角の長さは１５目盛なので、次の角までは１３秒。
◆石川県 Takashi さんからの解答。
＜T＞点Ａを原点、右方向にｘ軸、上方向にｙ軸を取る。
原点から、上に１ｍ、右に１ｍ、下に２ｍ、左に２ｍ、移動すると点（-1,-1)に到着する。
ｎ周目に点（1-n,1-n)から点（-n,-n)まで一周するのに必要な距離Ｌ(n)は、
Ｌ(n)＝（2n-1)＋（2n-1)＋2ｎ＋2ｎ＝8ｎ-2
Ｂ（-4,-4)に到着するのにかかる距離Ｌは、
| Ｌ＝ | 4 Σ n=1 | Ｌ(n) |
＝７２ｍ
＜U＞点Ａから点Ｂに移動して上向きになるまでの間に曲る回数を考えると、１周当り、４回
よって、点Ｂに到着するのにかかる時間Ｔは、
Ｔ＝Ｌ×１＋（４×４−１)×１
【最後の周で点Ｂに着いた時、上向きになる必要が無いので、曲る回数−１】＝１分２７秒
＜V＞点Ａ（0,0)から点Ｃn（-n,-n)に移動して上向きになるのに必要な時間をＴ(m)とすると、
| Ｔ(m)＝ | m Σ n=1 | Ｌ(n)＋４ｍ |
＝４ｍ2＋６ｍ
ここで、Ｔ(7)＝２３８だから、４分後は、７周した後２歩上に移動しているから、
上向きで点（-7,-5)にいる。
そこから、次の角（-7,8)に着くまでにかかる時間ｔは、
ｔ＝８−（−５)＝１３秒
◆広島県 清川 育男 さんからの解答。
【問題１】
点Bは点Aから左に４ｍ、下に４ｍの位置にある。
渦巻き状に近ずくから、
横 ４×２＝８。 縦 ４×２＝８。
通過する直線の本数は、
８＋８＝１６。
答え １６本。
【問題２】
横 １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６。
縦 １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６。
３６＋３６＋（１６−１)＝７２＋１５＝８７。
答え ８７秒。
【問題３】
直線の本数 １，２，３，４， ５， ６， ７，．．
要する時間 １，３，６，９，１７，２２，２７，．．
直線の本数と要する時間の関係
ｎ＝２ｍ−１ ｍ2＋２ｍ−２
ｎ＝２ｍ ｍ2＋３ｍ−１
ｎ＝２９のとき ｍ＝１５
１５2＋２×１５−２
＝２２５＋３０−２
＝２５３
２５３−２４０＝１３
答え １３秒。
おまけ
１)
（１＋（２ｍ−１))（２ｍ−１)＋（ｍ−ｎ)
＝４ｍ2−ｍ−ｎ
答え ４ｍ2−ｍ−ｎ。
２)
| 直線の本数 | １ | ２ | ３ | ４ |
| 位置 | （６，５) | （７，５) | （７，７) | （５，７) |
| 要する時間 | １ | ３ | ６ | ９ |
◆愛媛県の中学校３年生 阿部 さんからの解答。
問１)１６本
問２)
| Ｎ | 秒 | 頂点 |
| １ | ２ | １ |
| ２ | ６ | ３ |
| ３ | １２ | ５ |
| ： | ： | ： |
上のようになるので、Ｎと秒は、Ｎ（Ｎ＋１)
頂点は、 ２Ｎ−１
よって、Ｎ（Ｎ＋１)＋２Ｎ−１
８×９＋１６−１＝８７
８７秒
問３)
２４０＝Ｎ（Ｎ＋１)＋２Ｎ−１
２４１＝Ｎ（Ｎ＋３)
１４×１７＝２３８
方向転換で１秒
１５−２＝１３ １３秒
◆群馬県の中学校３年生
ゴリラーマンさん、モンゴルマンさん、太田 さんからの解答。
【問題１】
１６本
感想等
（太田、３年、女子)【問題２】
８７秒
◆石川県 平田和弘 さんからの解答。
【問題１】
ＡからＢへ進むまで１辺の長さがそれぞれ
１→１→２→２→．．．．．→８→８と進んでいくので直線の本数は
８×２＝１６本の直線を進みます。
【問題２】
まず辺の長さの総合計を求めると
１＋１＋２＋２＋．．．．．＋８＋８
＝２×{(２＋８)＋(３＋７)＋(４＋６)＋(５＋１)}
＝２×(１０＋１０＋１０＋６)
＝２×３６
＝７２ となります。
次に角の数を求めます。
１辺の長さが１→１、２→２、．．．というように同じ長さで辺が変わるときの角の数は８あります。
また１辺の長さが１→２、２→３、．．．．というように違う辺の長さで辺がかわるときの角の数は７あります。
従って求める角の数は８＋７＝１５です。
上記より求める時間は７２＋１５＝８７秒です。
【問題３】
４分＝４×６０秒＝２４０秒にどの地点にいるか求めてみます。
上記問題２を利用して
(１＋１＋２＋２＋．．．＋○＋○)＋(１＋１＋１＋１＋．．．＋１)＋(１＋１＋１＋．．．．１)≦２４０ ↓ ↓ ○個 ○−１個を満たす○を求めると○＝14となります。
１辺が１４→１５への角で１秒加算されるので２４０秒では１辺が１５の長さの最初の辺の２ｍ進んだところにいることになります。
(２４０−２３７＋１＝２)
従って、次の角までにかかる時間は
１５−２＝１３秒となります。
おまけ（１)
ｍ＞ｎ＞0なのでｍを中心に考えていく。
まずわかりやすくｎ＝１として(本当は何でもよいが)
ｍ＝１,２,３,......の地点では求める地点Ｃは必ず１辺が２ｍの最初の辺上になります。
だから、１辺が２ｍ−１までの直線の長さの総合計は
{(１＋１)＋(２＋２)＋....＋(２ｍ−１)＋(２ｍ−１)}
＝２×(２ｍ−１)・２ｍ／２
＝４ｍ2−２ｍ
今いる地点の１辺の長さは２ｍだから半分の長さはｍで
そこから高さｎだけ上に上がった地点はｍ−ｎで求められる。
従って、地点Ｃまでの距離は
４ｍ2−２ｍ＋ｍ−ｎ
＝４ｍ2-ｍ−ｎとなる。
感想
この問題は最初図形の問題として考えていましたが数字の列として考えると展開が見えてきました。
細かな注意点があるのでかなり難しいと思います。
おまけ(２)
Ｎ＝奇数のとき
長さの合計は
{(１＋１)＋(２＋２)＋．．＋{(Ｎ−１)／２}＋{(Ｎ−１)／２}＋(Ｎ＋１)／２
＝．．．．．．
＝(Ｎ＋１)2／４・・・(Ａ)
となるのでスタートからの長さが(Ａ)の地点にいます。
また角の合計は(Ｎ-1)なのでＡから進んだ時間は(Ａ)に加算すると
(Ｎ＋１)2／４＋Ｎ−１
＝．．．．
＝(Ｎ2＋６Ｎ−３)／４秒です。
Ｎ＝偶数のとき
長さの合計は
{(１＋１)＋(２＋２)＋．．＋(Ｎ／２)＋(Ｎ／２)
＝．．．．．．
＝(Ｎ2＋２Ｎ)／４ ・・・(Ｂ)
となるのでスタートからの長さが(Ｂ)の地点にいます。
また角の合計は(Ｎ-1)なのでＡから進んだ時間は(Ｂ)に加算すると
(Ｎ2＋２Ｎ)／４＋Ｎ−１
＝．．．．
＝(Ｎ2＋６Ｎ−４)／４秒です。
おまけ(３)
この問題はＴ秒後に角にいるかどうかわからないので公式は導けませんでしたが、以下の要領で直線の本数は求められます。
まず、直線の本数と経過時間の関係を調べると
| 直線の本数 | 経過時間 |
| １ | １、２(秒後) |
| ２ | ３、４ |
| ３ | ５、６、７ |
| ４ | ８、９、１０ |
| ５ | １１、１２、１３、１４ |
| ６ | １５、１６、１７、１８ |
| ： | ： |
となるので直線の本数をそれぞれ１つのグループと考えてある数(Ｔ)が与えられた時にＴがどのグループに属するかを求めれば直線の本数がわかります。
グループ番号(Ｎ)が奇数のとき
グループの先頭の数は
(２＋２)＋(３＋３)＋．．＋{(Ｎ＋１)／２}＋{(Ｎ＋１)／２}＋１
＝．．．．．．．
＝(Ｎ2＋４Ｎ−１)／４
またこのグループの個数は(Ｎ＋３)／２なので
(Ｎ2＋４Ｎ−１)／４≦Ｔ＜(Ｎ2＋４Ｎ−１)／４＋(Ｎ＋３)／２
式を簡単にして
Ｎ2＋４Ｎ−１≦４Ｔ＜Ｎ2＋６Ｎ＋５・・(Ａ)
を満たす整数をみつければよいことになる。
グループ番号(Ｎ)が偶数のとき
グループの先頭の数は
(２＋２)＋(３＋３)＋．．＋(Ｎ／２)＋(Ｎ／２)＋１
＝．．．．．．．
＝(Ｎ2＋４Ｎ)／４
またこのグループの個数は(Ｎ＋２)／２なので
(Ｎ2＋４Ｎ)／４≦Ｔ＜(Ｎ2＋４Ｎ)／４＋(Ｎ＋２)／２
式を簡単にして
Ｎ2＋４Ｎ≦４Ｔ＜Ｎ2＋６Ｎ＋４・・・(Ｂ)
を満たす整数をみつければよいことになる。
実際はグループ番号がわかりませんが例えばＴ＝１００とすると
グループ番号Ｎがもし奇数とすると上記(Ａ)を満たす整数は存在しない。
Ｎ＝１７としても
１７2＋４×１７−１≦４００＜１７2＋６×１７＋５
３５６≦４００＜３９６ となり存在しない。
グループ番号Ｎがもし偶数とすると上記(Ｂ)を満たす整数はする。
Ｎ＝１８とすると
１８2＋４×１８≦４００＜１８2＋６×１８＋４
３９６≦４００＜４３６ となり存在する。
従ってＴ＝１００秒のとき直線は１８本となる。
◆和歌山県 たま さんからの解答。
【問題１】
点Bは点Aから下に4、左に4進んだ位置にある。
ロボットは縦は上･下･上・・、横は右･左･右・・と進むので縦、横それぞれの直線の数が偶数本の時ロボットは下、左に進む。
ここで、縦の直線だけで考えると直線の数が2n本の時ロボットはn目盛り下の位置にある。
つまり、ロボットが4目盛り下の位置に来るには
2×4=8本の直線を通ることになる。
横の直線でも同じ事がいえるので点Bに到着するまで
8+8=16本の直線を進む。
【問題２】
縦、横それぞれ直線の数が1本増えると進む距離も1目盛り増えるので点Bに着くまで縦、横ともに
1+2+3+4+5+6+7+8=36目盛り進む。
また、n本の直線でn-1個の角ができるので、点Bに着くまで
16-1=15本の角を通る。
よって、点Bに着くまでにかかる時間は
36+36+15=87秒つまり1分27秒になる。
【問題３】
【問題2】より、縦n本、横n本つまり2n本の直線を進んだ時、進んだ距離は1〜nの和の2倍になり、角の数は2n-1になる。
1〜nの和は1/2n(n+1)だから2n本の直線を進むのにかかる時間は
2×1/2n(n+1)+2n-1=n(n+3)-1秒になる。
点Aを出発してから4分後の位置は
n(n+3)-1≦240
n(n+3)≦241
0＜n＜15
つまり、2×14=28本から2×15=30本の間にいる。
28本の直線を進むのにかかる時間は14×17-1=237秒、
角を曲がるのに1秒かかるから4分後の位置はそこから縦に2目盛り進んだ位置である。
縦に14本進んだ位置から次の角までは15目盛り進まなければならないから、
15-2=13目盛り、つまり13秒かかる。
※nは自然数
◆埼玉県の中学校３年生 安田 奈央 さんからの解答。
【問題１】
１６本
【問題２】
まず、Ａから出発したロボットが最初の角を曲がるまでが、１秒。
向きを変えるのに、１秒。
あわせて２秒かかります。これを偶数とします。
次の角も偶数です。
次の角は、２秒かかります。向きを変えるのに、１秒。
あわせて３秒。これを奇数とします。
列をＸとすると、
偶数の式は、２Ｘ と表せます。
奇数の式は、２Ｘ＋１と表せます。
偶数と奇数の式は２つずつあるので、
偶数の式は、４Ｘ
奇数の式は、４Ｘ＋２ と表せる。
| 偶数 | 奇数 | 合計 | |
| １列目 | ４ | ６ | １０ |
| ２列目 | ８ | １０ | １８ |
| ３列目 | １２ | １４ | ２６ |
| ４列目 | １６ | １８ | ３４ |
| 合計 | ４０ | ４８ | ８８ |
最後の角度を曲がらないので １を引くと答えは、８７です。
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