『今週の問題』第207回　解答

今回はできるだけ多くの方の解答を掲載しました。
誤りも多いと思うのですが、ご容赦を。

◆神奈川県の小学生　Holly さんからの解答

【問題１】

【問題１−１】

「私」は結局、5歩で1段ずつ上がっていくことになります。
この方法で47段目まで上がったとき、あとは3歩上って50段目に着きます。
5×47+3=238

よって答えは、238歩目

【問題１−２】

【問題1-1】の直後、2歩下がって48段目。その後2歩上がれば50段目につくので、
238+2+2=242

さらに1歩上がって51段目(本当は50段までしかないのですが)につき、その後1歩下がって50段目につくので、
242+1+1=244

さらに1歩上がって49段目につき、その後1歩上がって50段目につくので、
244+1+1=246

さらに2歩上がって52段目につき、その後2歩下がって50段目につくので、
246+2+2=250

これ以上いくら「３歩上ったあと２歩下がる」を繰り返しても、明らかに50段目には来ません。

よって答えは、238歩目、242歩目、244歩目、246歩目、250歩目

【問題２】

【問題２−１】

3歩上がる→
1歩下がって3歩上がる→
2歩下がって4歩上がる→
3歩下がって5歩上がる→
4歩下がって6歩上がる→…
と考える。

そうすると、最初を除けば結局2歩ずつ上がってます。
(50-3)÷2=23…1

すなわち、「2歩上がる」を23回繰り返して50段目の1段手前に来ています。
規則性から23+2の25歩上がったところで50段目の1段手前に来たといえます。

その後24歩下がるため50段目の25段手前に着く。
そして25歩上がれば終了。

「24歩下がった」ときまでは、(24+1)×(24+1)=625
（奇数列の和は平方数ですからね）

そして25歩上がり、625+25=650

よって答えは、650歩

【問題２−２】

400=20×20
答えは20段目

【問題２−３】

555=23×23+26
23段目についてから24歩上がり、2歩下がって555歩。

答えは45段目

【感想】

個人的には【問題2-1】が一番難しかったです。
考え方もややこしくなってしまったし…。
今思うと、「50歩上がって49歩下がった時には、当然50段目に着いている」ことを利用して、巻き戻し(?)して考えたほうが良かったのかもしれません。

◆広島県の中学校２年生　吉田　周平 さんからの解答

【問題１−１】

(50 - 3) * 5 + 3 = 238歩

【問題１−２】

238 + 2 (２歩下がる) + 2 (下がった分上がる) = 242歩
242 + 1 (もう一歩上がる) + 1 (上がった分下がる) = 244歩
244 + 1 (もう一歩下がる) + 1 (下がった分上がる) = 246歩
246 + 2 (もう二歩上がる) + 2 (上がった分下がる) = 250歩

これで最後なので、答えは[1-1]も含めて、"238,242,244,246,250"歩の５つ

【問題１−３】

三歩上がって二歩下がる、という五歩を組にして考えると、五歩で一段上がっている事になるので、
100 / 5 = 20段目

【問題２−１】

「上がる」と「下がる」を繰り返していますが、x回目の「上がる」の後、(2x-1)段目に立っているとわかります。
よって、初めて５１段目に来るのは、２６回目の「上がる」の後だとわかります。
それまでに、６２７歩歩いているので、答えは,
627 - 1 = 626歩

【問題２−２】

x回目(一回目の「上がる」の後に０歩「下がった」とする)の「下がる」の後、(x²)歩歩いているとわかります。
よって、４００歩目は、２０回目の下がるをした時とわかります。
また、x回目の「下がる」の後、x段目にいるので、答えは20段目

【問題２−３】

555 = 576(= 24²) - 21歩です。
よって、[2-2]より、576歩目は24段目にいる事になります。
従って答えは24 + 21 = 46段目

【おまけ２】

・正しく求める方法

x歩歩いた時、y段目にいると言うのをグラフに書くと、山と谷がだんだん大きくなりながら繰り返していることがわかります。
また、山の頂上を結ぶと、y = sqrt(4x - 3)　に、
また、谷を結ぶと、y = sqrt(x)　になることがわかります。

つまり、xが平方数の時、谷の底に来ることがわかります。
これを利用して、nに最も近い平方数をa² (| n - a² |がもっとも小さくなるようなa²)とすると、
n ＜ a² の場合、
{a + (a² - n)}段目

n ＞ a² の場合、
{a + (n - a²)}段目

・いい加減な方法

山は、y = sqrt(4x - 3)、谷は、y = sqrt(x)で表されるので、間を取って、
(sqrt(4n - 3) + sqrt(n)) / 2

この方法だと、誤差が山と谷の部分でだんだん大きくなってくるので、あまり役に立ちません。

・正しく求める方法２

初めは谷の部分を基準に考えましたが、山の頂上を基準に求めることも出来ます。
最も近い山の頂上を、a (a + 1)歩とすると、

{2a + 1 - (n - a(a + 1))}段目　(n ＞ a(a + 1)の場合)
{2a + 1 - (a(a + 1) - n)}段目　(n ＜ a(a + 1)の場合)

◆神奈川県の中学校３年生　Ozza さんからの解答

【問題１】

n歩歩いたとき、登っている階段の段数をf(n)とします。
5歩歩くと必ず1段登っていることに注意すると、

f(n)=
　(n+4)/5 (n=5k-4)
　(n+3)/5+1 (n=5k-3)
　(n+2)/5+2 (n=5k-2)
　(n+1)/5+1 (n=5k-1)
　n/5 (n=5k)

となります(k:自然数）

【問題１−１，２】

f(n)=50を満たすnは
n=246,242,238,244,250ですので、
∴238歩目(1-1)

また、238,242,244,246,250歩目(1-2)

【問題１−３】

100=5・20に注意すると、
f(100)=100/5=20
よって、20段目

【問題２】

「1歩上がる」を1回目の動作、「2歩上がって1歩下がる」を2回目の動作のように
「n歩上がって、(n-1)歩下がる」をn回目の動作とします。
この時、1回の動作終了毎に1段ずつ登っています。

まず、n回目の動作終了までにかかる歩数はn²歩となります。

また、その時到達できる最も高い地点は上がる動作をし終えたときですから、1回の動作につき2段上がることになり、
(2n-1)段目となります。

またこの時、(n(n-1)+1)歩歩いています。

【問題２−１】

これより、(2n+1)段目については(n+1)回目の動作で初めて到達できますが、2n段目については分かりません。

しかし、n回目の動作では(2n-1)段目までしか到達できないことに注意すると、
2n段目については(n+1)回目の動作の途中に初めて通過することがわかります。

ということは、初めて2n段目を通過するのは初めて2n+1段目を通過する1歩前となります。

よって、問われている50段目とはn=26のときですから、
26(26-1)+1-1=650歩目となります。

【問題２−２】

400=20²ですから、20回目の動作終了時です。
この歩き方においては1回の動作終了毎に1段ずつ登っていたので、20段目となります。

【問題２−３】

555=23²+26
ですから、24回目の動作中です。24回目の動作で最も高い地点に到達しているのは
24(24-1)+1=553歩目ですから、下がっている途中ということになります。

よって、(2・24-1)-(555-553)=45段目にいることになります。

【おまけ１】

n回目の動作の中で動く範囲は(n-1)段目から(2n-1)段目ですから、50段目を通過するのは、26回目から49回目までの動作です。
n回目の動作において、50段目を通過するとすれば、それは、

(n-1)²+(50-(n-1))歩目・・・上昇中
(n-1)²+(50-(n-1)+2(n-(50-(n-1)))歩目・・・下降中

の2回です。

上記をそれぞれ簡単にすると、

(n²-3n+52)歩目
(n²+n-50)歩目

となり、上記の2通りの場合においてnに26から49を代入したものが求めるべき答えになると思います。

【おまけ２】

n歩の時、n以下（以上）でnに最も近い平方数を求めます。
（ルートを取って整数部分をとる）

これら2つの内より近い方をa²とすると、a²とnの差をとって、それをaに加えます。
これが答えになるかと思います。

例:

777歩の時、√777≒27.87・・・
777-27²=48
28²-777=7
よって、28をとって　28+7=35段目となります。

◆広島県の高校生　K・T さんからの解答

【問題１−１】

計算式 47×5＋3＝238(歩)

【問題１−２】

最初にa段に上った時の歩数(a≧3)で
またその段に行くのは a、a＋4、a＋6、a＋8、a＋12のときである。
よって５０だんめにいるのは、238歩、242歩、244歩、246歩、250歩の時である。

【問題１−３】

n歩歩いた時にいる段の数はｎが5で割れる時は n÷5である。
よって100÷5＝20(段目)

【問題２−１】

これから上ろうとする時b段目にいる時次1番上まで上った時の段目は2b＋1である。
よって2b＋1＝50の時b＝24.5
これは整数ではないのでこれより大きくて24.5に1番近い数は25である。
よってb＝25の時、次上れば50段目にいける。

またb段目にいる時の歩数はｎ²歩である。
よって50段目に最初に行くのは
25²＋25＝625＋25＝650(歩)

【問題２−２】

400は20²であるから答えは問題2−1の下から2行目から20段である。

【問題２−３】

√555の小数部分を切り捨てた値は23である。
bの値が23の時の歩数は529歩である。
よって残り555−529＝26歩。

また上る段の数はb＋1＝24歩なので23段目に行ってから1番上まで上っても26−24＝2歩あまる。
この値を引けば良いからいる段の数は
23＋24−2＝45(段目)

【おまけ１】

50段目にいる時の値は奇数回目行ってから偶数回目に行くのをする回数をｘ回目とする。
(つまり1回目→2回目の時ｘ＝1で3回目→4回目の時X＝2・・・・9回目→10回目の時ｘ＝5)

その時かかる歩数は4x−2である。
偶数回目行ってから奇数回目に行くのをする回数をｙとする
(つまり2回目→3回めのときｙ＝1で4回目→5回目の時ｙ＝2・・・・10回目→11回目の時y＝5)

その時かかる歩数は50−2yである。
また50−2y＞0でないといけないので0＜ｙ≦25である(ｙは整数)
よって自動的にｘの範囲は0＜ｘ≦26である(ｘは整数)

よって50段目にいるのは

650歩、652歩、700歩、706歩、752歩、
762歩、806歩、820歩、862歩、880歩、
920歩、942歩、980歩、1006歩、1042歩、
1072歩、1106歩 、1140歩、1172歩、1210歩、
1240歩、1282歩、1310歩、1356歩、1382歩、
1432歩、1456歩、1510歩、1532歩、1590歩、
1610歩、1672歩、1690歩、1756歩、1772歩、
1842歩、1856歩、1930歩、1942歩、2020歩、
2030歩、2112歩、2120歩、2206歩、2212歩、
2302歩、2306歩、2400歩、2402歩、2500歩(疲れる・・・)

【おまけ２】

√n(ルートn)の小数を切り捨てた値をｃとする。
これから上ろうとする時の段のときｃ段目にいる。
また上ってる最中の時はc＋n−c² で範囲は0＜n−c² ＜c＋1
また下り中の時は3c＋2−n＋c² で範囲はc＋1＜n−c² ＜2c＋1である。

【感想】

こういう面白い数学のあるのはいいですねー＾＾年齢に関係なくとけるし、
なんてったって、解いた時の爽快感が1番(・∀・) イイ!ですね。
自分も多少問題を作るのは好きですよ{難易度は易しい〜普通までなら(汗)}

◆滋賀県　松尾 さんからの解答

【問題１−１】

歩数と段数の関係は以下のようになります。

歩数(n)  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 ... 
段数(N)  1 2 3 2 1 2 3 4 3  2  3  4  5  4  3  4  5  6  5  4  5 ... 
             *         *             *              *

50段目になるのは (50-2)×5-2= 238 (歩目)

【問題１−２】

他の段、たとえば 3段目や 4段目が出現するパターンと同じなので、
最初に出現するのを +0歩目とすると、同じ段が出現するのは
+0、+4、+6、+8、+12 歩目
になります。

これに問題１−１の答 238を足して、
238、242、244、246、250 歩目です。

【問題１−３】

3歩上がり終える歩数は 3,8,13,18,..です。
98歩目の段数(N)は、 (98+2)÷5+2=22 (段目)
ここから2歩下がった段数が100歩目だから、答は20段目です。

【問題２−１】

上がり終えた時を一回と数えると、回数と歩数と段数の関係は

回数(i) 1  2  3  4  5  6  7  8 ...     i     ...
歩数(n) 1  3  7 13 21 31 43 57 ... 1+i×(i-1) ...
段数(N) 1  3  5  7  9 11 13 15 ...   2×i-1   ...

i=26 の時の歩数は、1+26×25=651(歩目)です。
これの1歩前が50段目だから、650歩目ではじめて50段目になります。

【問題２−２】

20回目を上がり終えたとき、1+20×19=381 歩目、2×20-1=39 段目になります。
あと19歩ですが、これから19段(歩)下がるので、答は20段目です。

【問題２−３】

24回目を上がり終えたとき、1+24×23=553 歩目、2×24-1=47 段目です。
ここから2歩下がるから、47 - 2 = 45 (段目)になります。

【おまけ１】

簡単でなく申し訳ありませんが、50段目にいるのは以下の(*)印です。

25回目の上がりが終えて(601歩目、49段目)から、-24段 +25段(* 650歩目)+1段

26回目の上がりが終えて(651歩目、51段目)から、-1段(* 652歩目) -24段+24段(* 700歩目) +3段

27回目の上がりが終えて(703歩目、53段目)から、-3段(* 706歩目) -23段+23段(* 752歩目) +5段

28回目の上がりが終えて(755歩目、55段目)から、-5段(* 762歩目) -22段+22段(* 806歩目) +7段

29回目の上がりが終えて(813歩目、57段目)から、-7段(* 820歩目) -21段+21段(* 862歩目) +9段

この関係から 50段目にいるときの歩数は、

  i(回目)   25   26   27   28   29 ...        i           ...  50
上りのとき 650  700  752  806  862 ... 650+(i+24)×(i-25) ... 2500
下りのとき      652  706  762  820 ... 652+(i+27)×(i-26) ... 2500

【おまけ２】

上がり終えた時を一回と数えると、回数と歩数と段数の関係は(問題２-１を再掲)

回数(i) 1  2  3  4  5  6  7  8 ...     i     ...
歩数(m) 1  3  7 13 21 31 43 57 ... 1+i×(i-1) ...
段数(N) 1  3  5  7  9 11 13 15 ...   2×i-1   ...

その時の歩数(m)は 1+i×(i-1)です。
nより小さなmになるようiを求めます。
(大きくても可ですが、ここでは小さい方をとります。)

その時の段数は 2×i-1 で求められます。
上がり終えた時の歩数ですから、次は i-1歩下り、i+1歩上がります。
合わせて n-m 歩を歩けば答になります。

◆北海道　ヒグマ さんからの解答

【問題１−１】

５つずつのブロックに分けると

　　歩数　段数　　　歩数　段数　　　歩数　段数
Ａ　　１　　１　　　　６　　２　　　１１　　３　
Ｂ　　２　　２　　　　７　　３　　　１２　　４
Ｃ　　３　　３　　　　８　　４　　　１３　　５
Ｄ　　４　　２　　　　９　　３　　　１４　　４
Ｅ　　５　　１　　　１０　　２　　　１５　　３

Ａの横の行は（段数）×５−１　が歩数になります。
Ｂの横の行は（段数）×５−８　が歩数になります。
Ｃの横の行は（段数）×５−12　が歩数になります。
Ｄの横の行は（段数）×５−６　が歩数になります。
Ｅの横の行は（段数）×５　　　が歩数になります。

【問題１−２】

５０段目にいるときの歩数
＜Ｃの横の行＞は２３８歩目だったので、その周辺は

　　　歩数　段数　　歩数　段数　　歩数　段数
Ａ　２３６　４８　２４１　４９　２４６　５０
Ｂ　２３７　４９　２４２　５０　２４７　５１
Ｃ　２３８　５０　２４３　５１　２４８　５２
Ｄ　２３９　４９　２４４　５０　２４９　５１
Ｅ　２４０　４８　２４５　４９　２５０　５０

２３８歩、２４２歩、２４４歩、２４６歩、２５０歩

の５通りとなります。

【問題１−３】

１００歩目はＡ〜Ｅの中のＥの中にあります。
つまり段数と歩数の間には、（歩数）＝（段数）×５という関係があるので、
１００＝（段数）×５

したがって、２０段目にいることになります。

【問題２−１】

歩数と段数の関係をまとまりにして、「ブロック番号」をつけていきます。

ブロック　歩　数　段数
　　　１　　　１　　１　・・・・１＝２×（ブロック番号）−１

　　　２　　　２　　２
　　　〃　　　３　　３　・・・・３＝２×（ブロック番号）−１
　　　〃　　　４　　２

　　　３　　　５　　３
　　　〃　　　６　　４
　　　〃　　　７　　５　・・・・５＝２×（ブロック番号）−１
　　　〃　　　８　　４
　　　〃　　　９　　３

　　　４　　１０　　４
　　　〃　　１１　　５
　　　〃　　１２　　６
　　　〃　　１３　　７　・・・・７＝２×（ブロック番号）−１
　　　〃　　１４　　６
　　　〃　　１５　　５
　　　〃　　１６　　４

こうすることで、ブロック番号とブロック内の最大段数、データの個数の関係が明らかになります。
はじめて５０段に達するのは、ブロック内の最大段数が５１段のときなので
５１＝２×（ブロック番号）−１
（ブロック番号）＝２６

ブロック　　　歩数　　段数
　　２６　　６５０　　５０
　　　〃　　６５１　　５１
　　　〃　　６５２　　５０・・・・歩数は６７６−２４＝６５２
　　　・　　　　　　　　・
　　　〃　　６７６　　２６

【問題２−２】

４００歩目は、☆３より第２０ブロックの最終歩数である。
このときの段数は２０段である。

【問題２−３】

５５５歩目は、√５５５＝２３．５６
つまり５５５歩は第２４ブロックにある。

第２４ブロックの最終歩数は５７６歩で２４段にいる。
このブロックの最大段数は、２×２４−１＝４７段

ブロック　　歩数　段数
　　２４　５５３　４７（最大段数）
　　　・　　　・　　・
　　　〃　５７６　２４

【おまけ２】

ｎ歩目のとき、Ｎ＝int(√ｎ)とおく。
（√ｎの整数部分をＮとする。）

ブロック番号は、Ｎ＋１
ブロック内の最大歩数は　(Ｎ＋１)²
ブロック内の最大段数は　２×int(ｎ)＋１

したがって、ｎ歩目の段数は（｜｜は絶対値記号）
　２Ｎ＋１−｜ｎ−(Ｎ＋１)²＋Ｎ｜

◆東京都　まっちゃん さんからの解答

【問題１−１】

３歩上って２歩下がるのを１セットと考えて、「５歩で１段上る」とすると、
セット数をn(n≧1)として５n歩目ではn段目にいることになります。

しかし初めてn段目に着くのは、n≧3の場合(n-2)セットを終了して(n-2)段目にたどり着く２歩前になります。

つまり　5(n-2)-2=(5n-12)歩目　で初めてn段目に着くということになります。

今の場合 n=50 なので 5×50-12=238 歩目

【問題１−２】

問題１と同様に考えます。

n段目(n≧3)にいるのは

(n-2)セット目の３歩目={5(n-3)+3}歩目
(n-1)セット目の2歩目と4歩目={5(n-2)+2}歩目と{5(n-2)+4}歩目
nセット目の1歩目と5歩目={5(n-1)+1}歩目と{5(n-1)+5}歩目

となるので、合計して(25n-30)歩となります。

今回も　n=50 なので 25×50-30=1220歩

【問題１−３】

100歩目というのは100÷5=20セットを終了した時点ということなので、問題１の考察から20段目にいることが分かります。　

【問題２−１】

問題２ではn≧1として、「nセット目に、n段上って(n-1)段下がる。」を繰り返すことになります。

つまりnセット目では(2n-1)歩で１段上っていることになるので、
nセットを終えると「1+3+・・・+(2n-1)=n² 歩でn段上った。」ことになります。

また、nセット目中で一番高い位置にいるのは、「nセット目のn歩目」で、いるのは
『2n-1段目（←これを最高段と呼ぶことにします）」となります。

通算の歩数でいうと(n-1)²+n=n²-n+1歩目です。

最高段の高さはセット数に関して単調増加なので、初めて50段目に着くのは「初めて最高段の高さが50以上になるセット」と分かります。

25×2-1＜50＜26×2-1より26セット目の最高段の高さが初めて50を越え、26セット目の25歩目に初めて50段目に着きます。

よって25²+25=650歩目となります。

【問題２−２】

20²=400より400歩目はちょうど20セット目を終えた時点であり、問題２−１での考察により20段目にいることが分かります。

【問題２−３】

555^0.5=23.5・・・　より23²＜555＜24²
また、555-23²=26 より555歩目は24セット目の26歩目と分かります。

24セット目の26歩目というのは、24セット目の最高段から2歩下がったところなので
2×24-1-2=45段目にいます。

【おまけ２】

f(x)=x²とするとx≧0でf(x)は単調増加。
よってf(k-1) つまりn歩目はkセット目の {n-(k-1)²}歩目となる。

よって
{n-(k-1)²}≦k のとき　k-1+{n-(k-1)²}=n-(k-1)(k-2)段目
{n-(k-1)²}>k のとき　k-1+[2k-{n-(k-1)²}]=k²+k-n段目

◆千葉県　野口　哲也 さんからの解答

【問題１−１】

最初に３歩上った時点で３段目に着く。
その後は５歩ごとに到着段数が１増える。

よって(50-3)*5+3 = 238

２３８歩

【問題１−２】

上記の２３８歩は初めて着く歩数。
その後の行動(２歩下がるから開始)で上り(+)下り(-)の合計が同じになればよい。

(-2) → (+2)' + (+1) → (-1)' + (-1) → (+1)' + (+2) → (-2)' → (+3)

'がついている時点で同じになっており、それぞれ歩数は
4,6,8,12

ただし、５０段までしかないので、途中で５１以上になる{6,8,12}は除かれる。

よって{238,242}

５０段より上にも段があるとするならば、
{238,242,244,246,250}

【問題１−３】

Ｍ歩目にいる段数は、５歩ごとに１増える。
Ｍが５の倍数なら、Ｍ／５
それ以外はＭを５で割った余りに応じて以下の数を加える。

　　0 → 0
　　1 → 1
　　2 → 2
　　3 → 3
　　4 → 2

この問題はＭ＝１００で５の倍数なので、
　　100/5 = 20

２０段

【問題２−１】

１回目の行動＝１歩上０歩下　（１歩）
２回目の行動＝２歩上１歩下　（３歩）
３回目の行動＝３歩上２歩下　（５歩）
・・・
Ｎ回目の行動＝Ｎ歩上Ｎ−１歩下　（２Ｎ−１歩）

それぞれの行動終了後の歩数はＮ²、段数はＮである。

その後の(Ｎ＋１)の行動で(Ｎ＋１)歩上なので、
　　Ｎ＋(Ｎ＋１) ≧ ５０　(Ｎは最も小さい自然数)

これを解くと、Ｎ＝２５

２５回目の行動後に２５段上なら５０段になるので、
　　25² + 25 = 650

６５０歩

【問題２−２】

上とは逆に考えると、
Ｍ歩の時点で（int(sqrt(Ｍ))）（←これをＮと置く）回目の行動が終了している。

Ｍ歩の時点でいる段数Ｓは、
Ｍ−Ｎ² ≦ Ｎ＋１のとき（歩数上だけ）

　Ｓ＝Ｎ＋（Ｍ−Ｎ²）＝−Ｎ²＋Ｎ＋Ｍ

Ｍ−Ｎ² ＞ Ｎ＋１のとき（歩数上のち下）

　Ｓ＝Ｎ＋（Ｎ＋１）−（（Ｍ−Ｎ2）−（Ｎ＋１））
　　＝Ｎ＋Ｎ＋１−（Ｍ−Ｎ2）＋（Ｎ＋１）
　　＝Ｎ2＋３Ｎ−Ｍ＋２

問題は４００歩なので、Ｍ＝４００，Ｍ−Ｎ²＝０
よって、Ｓ＝２０
２０段

【問題２−３】

上の問題の公式を使う。

Ｍ＝５５５
Ｎ＝int(sqrt(５５５))＝２３
Ｍ−Ｎ²＝２６　＞　Ｎ＋１＝２４

Ｓ＝２３²＋３×２３−５５５＋２＝４５

４５段

【おまけ１】

５０段より上にも段があるとする。

行動の回数　　行動内容　　　合計歩数　最低段〜最高段
１回目の行動＝１歩上０歩下　（１歩）（１段〜１段）
２回目の行動＝２歩上１歩下　（３歩）（２段〜３段）
３回目の行動＝３歩上２歩下　（５歩）（３段〜５段）
・・・
Ｎ回目の行動＝Ｎ歩上Ｎ−１歩下　（２Ｎ−１歩）（Ｎ段〜２Ｎ−１段）

それぞれについて、問題２−２の公式を使って歩数Ｍを求める。
また、それぞれの行動中には２回５０段を通ることになるので、公式は両方使う。
ただし、２６〜５０というのは行動中の範囲であるから、実際には２５〜４９を代入する。

Ｍ−Ｎ² ≦Ｎ＋１のとき（歩数上だけ）
　Ｓ＝−Ｎ²＋Ｎ＋Ｍ　　だから、
　Ｍ＝Ｎ²−Ｎ＋５０

Ｍ−Ｎ²＞ Ｎ＋１のとき（歩数上のち下）
　Ｓ＝Ｎ²＋３Ｎ−Ｍ＋２　　だから、
　Ｍ＝Ｎ²＋３Ｎ−４８

これを全て解いて行動順に並べると、

 650　 652
 700　 706
 752　 762
 806　 820
 862　 880
 920　 942
 980　1006
1042　1072
1106　1140
1172　1210
1240　1282
1310　1356
1382　1432
1456　1510
1532　1590
1610　1672
1690　1756
1772　1842
1856　1930
1942　2020
2030　2112
2120　2206
2212　2302
2306　2400
2402　2500

問題２−２参照（記号が違いますが）

◆東京都　明 さんからの解答

【問題２−１】

実際に各段数に歩数を記録してゆくと、次のことがわかります。

(1)下がり終わったときの歩数は段数の２乗になっている。
(2)下がり終わったところから上がる数は、下がり終わったときの段数+1。

50段目へはじめて到達するときの、上がり始める（直前に下がり終わった）段数は(2)から、
段数×2+1=50または段数×2=50　となります。
50の場合、段数=25　となります。

下がり終わったとき、25段にいるための歩数は(1)より25×25=625。
50段まで、さらに25段あがるため、総歩数は650歩となります。

【問題２−２】

400歩は20×20ですので(1)より下がり終わりの20段目にいます。

【問題２−３】

555より小さな2乗の数で最大のものは　23×23=529。
このとき23段目にいます。

ここから555-529=26歩を歩くことになりますが、23段目から上がる数は(2)より24段です。
24段上がったところから26-24=2段下がることになります。
したがって555歩目は23+24-2=45段目です。

【おまけ１】

【問題２−１】より、初めて50段目へ到達するときの上がり始めの段数は25段。

以下、下がり終わりの段数が50段になるまで、上がり始めの段数が25段から49段まで、上がり、下がりで2回、50段目を踏むことになります。

25段から　25歩、27歩
26段から　24歩、30歩
27段から　23歩、33歩
28段から　22歩、36歩
48段から　 2歩、96歩
49段から　 1歩、99歩

上がり始めの段数をnとするとn=25〜49で
n²+50-n　・・・上がり
n²+50-n+2(n+1+n-50)=n²+3n-48　・・・下がり

【おまけ２】

ガウス記号[X](Xを越えない最大の整数）を使用して
g=[√(n-1)]として
段数=n-g²+g-2[(n-g²)/(g+1)](n-g²-g-1)

比較的簡単に電卓で求める方法として以下の方法を考えました。
√n（=R　とする)を電卓で求める。
Rの整数部Nを引く(=R'とする）
R'×2×Nを計算する。

この値がN以下であれば小数点下を四捨五入してNに加えて段数とする。

Nを越えていれば0.5を加えて小数点下を四捨五入をして3N+2から引いて段数とする。
（もしくは四捨五入をした数からN+1を引いてこの数で 2N+1を引く）

以上の計算はR=(N+R')²=N²+2NR'+R'²（0≦R'＜1)であることに基づきます。

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