『今週の問題』第20回　解答

◆石川県　平田　和弘 さんからの解答。

文字を使って、左手にあてる数をｘとし、右手にあてる数をｙとする。
左手の10の位は(ｘ-5)、1の位は5-(ｘ-5)で
右手の10の位は(ｙ-5)、1の位は5-(ｙ-5)だから求める数は

10×｛(ｘ-5)+(ｙ-5)｝+｛5-(ｘ-5)｝×｛5-(ｙ-5)｝
＝10×(ｘ+ｙ-10)+(10−ｘ)×(10-ｙ)
＝(10ｘ+10ｙ-100)+(100-10ｙ-10ｘ+ｘｙ)
＝ｘｙ

となり題意は証明された。

別解答

一般的に証明しようとすると文字を使わざるをえないので、使わないで考えてみます。
問題の中の例のように6×7を考えてみます。

6×7
＝(10-4)×(10-3)
＝100-30-40＋(4×3)
＝(50-30)+(50-40)＋(4×3)
＝10×(5-3)＋10×(5-4)＋(4×3)
＝｛10×(2+1)｝+｛4×3｝
＝｛10×(1+2)｝+｛4×3｝
　　　↓　　　　　↓
　　　Ａ　　　　　Ｂ

感想

この解答でも正の数・負の数の計算がわからなければ難しいと思います。
小学生にもわかる何かよい方法はないでしょうか。
これは昔、昔、矢野健太郎先生の本で読んだことがあります。　　

◆京都府　ネットＯＬ さんからの解答。

立っている指の数をそれぞれａ，ｂとすると、本当の数字は
ａ＋５とｂ＋５だからその積は
(ａ＋５)(ｂ＋５)、これを展開すると
ａｂ＋５ａ＋５ｂ＋２５・・・(１)となる。

そこにあるおもしろい計算方法でやってみると、折っている指の数はそれぞれ
５−ａ，５−ｂだから

(ａ＋ｂ)×１０＋(５−ａ)(５−ｂ)

これを展開すると
　１０ａ＋１０ｂ＋２５−５ａ−５ｂ＋ａｂ
＝５ａ＋５ｂ＋２５＋ａｂ・・・(２)となり、
(１)(２)が同じなので・・・
と、いうことでできるのですが、これは授業の問題としてはおもしろいですね。

◆海外　西野　友朗 さんからの解答。

6から9までの数と、立てた/折った指の数の関係は以下の通り。

数	立てた指	折った指
６	１	４
７	２	３
８	３	２
９	４	１

一般に元の数を n (nは 6≦n≦9 を満たす自然数)とすると、
立てた指: n-5、折った指: 10-n
と書くことができる。

さて、今任意の数を n、mとすると、nとmの積は:

　n・m
=n・m -10(n+m)+100  +10(n+m) -100
  　  ↓                　↓
=(10-n)・(10-m)      +10(n+m-10)
=(10-n)・(10-m) +10{(n-5)+(m-5)}
=10{(n-5)+(m-5)} +(10-n)・(10-m)

     (A)         　　　 (B)

ここで、n,mがそれぞれ 6≦n≦9、6≦m≦9 を満たす自然数のとき
(A)は問題にある「立てた指の和の10倍」
(B)は問題にある「折った指の積」
であり、その和が元の数(n,m)の積を表すことがわかる。

小学校のとき「9の段の掛け算は指で表現できる(*)」というのを見て感動したことがありましたが、これもとても面白いですね。
(*)両手を広げて、左からn番目の指を折ると、9xnの答えは
10の位: 折った指の左側の指の数、
1の位: 折った指の右側の指の数 で表すことができる。

例えば、左から3番目の指を折ると、
折った指の左側の指の数: 2
折った指の右側の指の数: 7
で、9x3の答えは27。

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

　(２＋１)×１０＋３×４
＝((２＋１)×５＋(２＋１)×５)＋((５−２)×(５−１))
＝(２＋１)×５＋(２＋１)×５＋５×５−(２＋１)×５＋２×１
＝(２＋１)×５＋５×５＋２×１
＝２×１＋(２＋１)×５＋５×５
＝(２＋５)×(１＋５)
＝７×６

上記の等式を下から上にたどっていけば、
７×６は(２＋１)×１０＋３×４と等しいことがわかる。
５を上手に使った方法ですね。　

◆福岡県　中山 さんからの解答。

６≦ｘ≦９なるｘについて、
立っている指はｘ−５、折っている指は１０−ｘと表現される。
問題の計算を上の条件を満たすｘ、ｙについて行ってみると、
｛(ｘ−５)＋(ｙ−５)｝×１０＋(１０−ｘ)(１０−ｙ)
＝１０ｘ＋１０ｙ−１００＋１００−１０ｘ−１０ｙ＋ｘｙ
＝ｘｙ

よって、問題の計算はｘかけｙという九九を計算していることにほかならない。

◆東京都　唯よーじゅ　さんからの解答。

小学生にわかるようにと思って書いたらすごく長くなってしまいました。

【答え】

５×５＝２５は確かに、指が一本も立ってないですから、そのまま折れた５本と５本をかけて２５ですね。
ここまでは九九と。
で、かけ算で片方の数が１つ進むということは、
その「１つ進んだのとは別の一方の数」が、もう１回足されるということです。
つまり、５×５が５×６になるということは、右側の５が６になった分、左側の５を(もとの５×５に対して)１回足すわけです。

もともと５×５とは５が５個、５×６は５が６個という決まりごとでもありますから、 ５×５が５×６になる、というのは、という数が、最初５個だったのが、今度は６個になりますよ、ということは、５という数が、もう１つ増えますよ、ということですね。

そこで、その５個が６個になるといったような変化を、数が進むほうの数を現す手(この場合右手とします)で指を立てて表現します。
右手の指が１本立つということは、【問題】のルールに従うと、十の位が１つ増えて(１０が１つ増えて)、左手にかける数が１つ減る、ということですから、

●１０を１回足して、同時に、もう一方の手(左手)の折れた指を１回引く、

ということです。
ですから、もう一方の手(左手)は、

◆もともとの数を１０から引いた分だけ、指を折っておけばいい

わけです。５以上の九九ならそれができますね。

どちらかの手の指が立ったり折れたりするということは、つねに、もう一方の手の指が(◆の方法で)表現している数を足したり引いたりしているということです。
７×６が８×５になる場合は？といったら、もし本当か確かめたいならまず片方の指から１本ずつ変えていけば目で見てなるほどとわかるはずです。

あ、その「目で見て」って部分を書くんですか？えーと、
左手の立った指をＡ、折れた指をＢ、右手の立った指をＣ、折れた指をＤとすれば、
例えば７×６を８×５にしてみたいとすると。７×６は
Ａ＝２　Ｂ＝３　Ｃ＝１　Ｄ＝４　　ですね。
これをまずは左手の指をもう１本立てて８×６を表現してみます。
Ａ＝３　Ｂ＝２　Ｃ＝１　Ｄ＝４　　になりますね。

Ａが１つ増えるので１０を足して、Ｂが１つ減るのでＤの分＝４を引きます。
つまり右手の指が現す「６」を１回、全体に足したことになります。
「６が７個」だったのが「６が８個」になるのですからそういうことです。

続いて右手の指を１本折って、８×５を表現します。
Ａ＝３　Ｂ＝２　Ｃ＝０　Ｄ＝５　になりますね。
こんどはＣが１つ減ったので１０を引き、Ｄが１つ増えたので５を足します。
つまり左手の指が現す「８」を１回、全体から引いたことになります。
「８が６個」だったのが「８が５個」になったのですからそういうことです。

いま片方の手ずつ行ったこの変化は、続けてやれば両手いっぺんにできますね。
それが指かけ算の仕組みです。
いや、もしかしたら、両手いっぺんにやったつもりでも、実はほんの一瞬のズレで片方ずつやっているのかもしれません。(笑)
両方いっぺんに数を変えられるかどうかも実際に試してみて下さい。

◆静岡県　ヨッシー さんからの解答。

ＡとＢの掛け算を考えます。
ただし、９≧Ａ≧５、９≧Ｂ≧５

左手でＡを表すと、
　折っている指は１０−Ａ本、立っている指はＡ−５本。
右手でＢを表すと、
　折っている指は１０−Ｂ本、立っている指はＢ−５本。

問題の通りに計算をすると、

立っている指の和の１０倍＋折っている指の積
＝１０×｛(Ａ−５)＋(Ｂ−５)｝＋(１０−Ａ)×(１０−Ｂ)
＝(１０Ａ＋１０Ｂ−１００)＋(１００−１０Ａ−１０Ｂ＋ＡＢ)
＝ＡＢ

となり、ＡとＢの積になります。

◆三重県　ぐぅすか　さんからの解答。

こんな計算方法があることを初めて知りました。

＜証明＞

５より大きい１けたの数字を(５＋Ａ)、(５＋Ｂ)とおく。
この２数の掛け算の結果は、
(５＋Ａ)(５＋Ｂ)＝２５＋５Ａ＋５Ｂ＋ＡＢ　・・・・・�@

ここで指による計算の場合を考えてみると、
左手の立っている指がＡ、右手の立っている指がＢ、
左手の折っている指は(５−Ａ)、右手の折っている指は(５−Ｂ)と表せる。

これを式にすると
　１０(Ａ＋Ｂ)＋(５−Ａ)(５−Ｂ)
＝１０Ａ＋１０Ｂ＋２５−５Ｂ−５Ａ＋ＡＢ
＝５Ａ＋５Ｂ＋ＡＢ＋２５・・・・・�A

�@＝�Aよりこの計算方法は正しいと言える。

◆神奈川県　せいちゃん さんからの解答。

初めの数をＸ、左手の立てている本数をＡ本とすると、
　折れている本数は５-Ａ本となる。

掛ける数をＹ、左手の立てている本数をＢ本とすると、
　折れている本数は５-Ｂ本となる。

立っている指の和の１０倍＋折っている指の積より
　ＸＹ
＝１０(Ａ＋Ｂ)＋(５−Ａ)(５−Ｂ)
＝ＡＢ＋５Ａ＋５Ｂ＋ＡＢ

になることの証明をすればいい。

またＸはＡについて解くとＸ＝５＋Ａ。同様にＹ＝５＋Ｂ
よってこれらを掛けると
　ＸＹ
＝(Ａ＋５)(Ｂ＋５)
＝ＡＢ＋５Ａ＋５Ｂ＋２５

ゆえに立っている指の和の１０倍＋折っている指の積になる。

◆神奈川県　あまえび　さんからの解答。

「立っている指の和の１０倍＋折っている指の積」がもとの九九の答えになっていることを示します。

もとの九九をＡ×Ｂとすると、
　(Ａ，Ｂはそれぞれ5から9の整数です。)

　立っている指の和の10倍
＝１０×[(Ａ−５)＋(Ｂ−５)]
＝１０Ａ＋１０Ｂ−１００

　折っている指の積
＝(１０−Ａ)×(１０−Ｂ)となります。

ここで、問題の「立っている指の和の１０倍＋折っている指の積」を計算すると、

１０Ａ＋１０Ｂ−１００＋｛１００−１０Ａ−１０Ｂ＋Ａ×Ｂ｝
＝Ａ×Ｂ
となり、「立っている指の和の１０倍＋折っている指の積」がもとの九九の答えになっていることが分かりました。
〈証明終り〉

感想：
非常に興味深く考えさせて頂きました。
式を使うと簡単に「立っている指の和の１０倍＋折っている指の積」がもとの九九の答えになっていることが分かりますが、九九の答えを「立っている指の和の１０倍＋折っている指の積」で表現できることには普通気付かないと思います。
生活の知恵とは凄いものですね。
でも、五五でなく九九が普及してるってことは、九九を覚える方が結局速い(早い？・役立つ)ってことですかね？

◆埼玉県　ＭＡＳＴＥＲ さんからの解答。

２つのある数をＸ、Ｙとします。
すると、１０の位の数は、たっている指の数の和なので、
(Ｘ−５)＋(Ｙ−５)＝Ｘ＋Ｙ−１０
と表せます。

そして、１の位の数は、折っている指の数の積なので、
(１０−Ｘ)(１０−Ｙ)＝１００−１０Ｘ−１０Ｙ＋ＸＹ
と表すことができます。

あとは、この２つの数をたせばＯＫです。

　１０(Ｘ＋Ｙ−１０)＋(１００−１０Ｘ−１０Ｙ＋ＸＹ)
＝１０Ｘ＋１０Ｙ−１００＋１００−１０Ｘ−１０Ｙ＋ＸＹ
＝ＸＹ

これで、この計算方法は、正しいということがいえます。
この問題は、中３の僕としては、簡単な問題でした。

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