いろいろな解答がきたので、なかにはよくわからないものもあるのですが、とりあえず掲載します。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】○○○○×○
○×○○○○
○○○×○○
×○○○○×
○○×○○○
○○○○×○
７個
【問題２】○○○○×○○
○○×○○○○
×○○○○×○
○○○×○○○
○×○○○○×
○○○○×○○
○○×○○○○
９個
【問題３】
４８通り。（盤を固定して）
◆千葉県 菜花子 さんからの解答
【問題１】
７個の○を置き換えれば、条件を満たすことができる。
（１，２）と（６，２）を×に置き換える。
すると、図１の青の線のところが条件を満たす。
次に（４，１）と（４，６）を×に置き換える。
すると、さらに図２の青の線のところが条件を満たす。
青の線を引いていないところに、図３のように赤の線を引く。
一番多くの線（４本）が交わるマス（３，３）を×に置き換える。
まだ条件を満たしていないところに、図４のように紫の線を引く。
一番多くの線（３本）が交わるマス（２，５）（５，４）を×に置き換える。
【問題２】
９個の○を置き換えれば、条件を満たすことができる。
（１，３）（６，３）、（２，５）（７，５）を×に置き換える。
すると、図１の線のところが条件を満たす。
同様に（３，２）（３，７）、（５，１）（５，６）を×に置き換える。
すると、図２の線のところが条件を満たす。
まだ条件を満たしていないところに、図３のように線を引く。
全ての線が交わるマスを×に置き換える。
【問題３】
４８通り
◆静岡県 medaka さんからの解答
【問題１】
７個○×○○○○
○○○○×○
○○×○○○
×○○○○×
○○○×○○
○×○○○○
【問題２】
９個○○○○×○○
○○×○○○○
×○○○○×○
○○○×○○○
○×○○○○×
○○○○×○○
○○×○○○○
【問題３】
プログラム（最後に添付）による探索の結果、反転対称解（鏡像解）を同一として数えた場合は、以下の１１個。
別物とした場合は、４８個
1 : ( 0, 0 ) ( 1, 1 ) ( 2, 2 ) ( 3, 3 ) ( 4, 4 )
2 : ( 0, 0 ) ( 1, 1 ) ( 2, 2 ) ( 3, 4 ) ( 4, 3 )
3 : ( 0, 0 ) ( 1, 2 ) ( 2, 3 ) ( 3, 1 ) ( 4, 4 )
4 : ( 0, 0 ) ( 1, 2 ) ( 2, 4 ) ( 3, 1 ) ( 4, 3 )
5 : ( 0, 0 ) ( 1, 3 ) ( 2, 2 ) ( 3, 1 ) ( 4, 4 )
6 : ( 0, 0 ) ( 1, 3 ) ( 2, 2 ) ( 3, 4 ) ( 4, 1 )
7 : ( 0, 0 ) ( 1, 3 ) ( 2, 4 ) ( 3, 1 ) ( 4, 2 )
8 : ( 0, 0 ) ( 1, 3 ) ( 2, 4 ) ( 3, 2 ) ( 4, 1 )
9 : ( 0, 0 ) ( 1, 4 ) ( 2, 2 ) ( 3, 3 ) ( 4, 1 )
10 : ( 0, 1 ) ( 1, 0 ) ( 2, 2 ) ( 3, 4 ) ( 4, 3 )
11 : ( 0, 1 ) ( 1, 4 ) ( 2, 2 ) ( 3, 0 ) ( 4, 3 )
【おまけ】最小の×の数をＲ（ｎ）、ｎ＝５＊ｋ＋ｍ（ｋは自然数、ｍは０〜４の整数）とすると、
Ｒ（ｎ）＝５＊ｋ2 ＋ ２＊ｋ＊ｍ ＋ δ（ｍ）
ただし、
δ（Ｍ）＝ ０ ｍ＝０，１，２の場合
δ（Ｍ）＝ １ ｍ＝３の場合
δ（Ｍ）＝ ３ ｍ＝４の場合
（説明）
境界を意識しないで済むような大きなパネル上に○が敷き詰められているものとする。
このパネル上に×のマークを桂馬跳びの要領で以下の図のようにつけていく。
注：見易さために、×の代りに●で表示
５個毎に仕切り（−，｜）を入れてあるが、この仕切りは無視してよい
（斜めの関係を見るときはない方がよい）
●○○○○|●○○○○|●○○○○ ○○○●○|○○○●○|○○○●○ ○●○○○|○●○○○|○●○○○ ○○○○●|○○○○●|○○○○● ○○●○○|○○●○○|○○●○○ ------------------------------ ●○○○○|●○○○○|●○○○○ ○○○●○|○○○●○|○○○●○ ○●○○○|○●○○○|○●○○○ ○○○○●|○○○○●|○○○○● ○○●○○|○○●○○|○○●○○ ------------------------------ ●○○○○|●○○○○|●○○○○ ○○○●○|○○○●○|○○○●○ ○●○○○|○●○○○|○●○○○ ○○○○●|○○○○●|○○○○● ○○●○○|○○●○○|○○●○○この配置には以下のような特徴がある。
（１）任意の×とその隣の×との距離は、縦・横・斜めの全てが丁度４つの○を間に置いている
（２）任意の位置から５ｘ５のパネルを切り出すと、丁度５個の×が含まれる
（３）任意の位置から５ｘｍ又はｍｘ５のパネルを切り出すと、丁度ｍ個の×が含まれる
（１）から、×の配置の仕方として全く無駄のないものとなっている。
従って、このパネルからｎｘｎの小パネルを切り出す場合に、×の数が最小となるような位置を選定すれば、ｎｘｎの求める答えの１つとなる。
具体的な×の数を求めるため、
ｎ＝５＊Ｋ＋ｍ （ｍ＝０〜４）として、ｎｘｎのパネルを以下の小パネルに分解して考える。
ａ）５ｋｘ５ｋのパネル
ｂ）５ｋｘｍのパネル
ｃ）ｍｘ５ｋのパネル
ｄ）ｍｘｍのパネル
ａ）は、５ｘ５のパネルがｋ2個と考えることができるので、
上記の（２）により×の数は、その位置によらず、５＊ｋ2個となる。
また、ｂ），ｃ）も５ｘｍ、ｍｘ５のパネルがｋ個と考えられるので、上記の（３），（４）により
×の数は、その位置によらず、それぞれがｋ＊ｍ個となる。
ｄ）のｍｘｍのパネルの場合は、どの位置に配置するかに依存して×の数が変わる。
×の最小となる数をδ（ｍ）とすると、以下のようになる。
（最初の図を良く見るとわかる）
δ（ｍ）＝０ ｍ＝０，１，２の場合
δ（ｍ）＝１ ｍ＝３の場合
δ（ｍ）＝３ ｍ＝４の場合
以上をまとめると、以下の式となる。
Ｒ（ｎ）＝５＊ｋ2 ＋ ２＊ｋ＊ｍ ＋ δ（ｍ）
なお、問題１，２の場合は、それぞれＲ（６）＝７，Ｒ（７）＝９となる。
----------- 問題３の探索プログラム -----------
def exe() :
out = open("log.txt","w")
M = 5
C = 0
D = 0
for hash in range(0,120) :
Pos = toPos(hash,M)
if Check(Pos) == 0 : continue
D += 1
if DupCheck(Pos,out) == 0 : continue
C += 1
Line = " %3d : " % (C)
for k in range(0,5) : Line += " ( %d, %d )" % (k,Pos[k])
WriteLog(out,Line)
Check(Pos)
WriteLog(out," Dup %d " % (D))
out.close()
###
def Check(Pos) :
U = 0
V = 0
for i in range(0,len(Pos)) :
j = Pos[i]
if (i == j) : U = 1
if (i+j == 4) : V = 1
if (U == 0) | (V == 0) : return 0
return 1
##
def toPos(Hash,M) :
h = Hash
Pos = []
for k in range(0,M) : Pos += [0]
for k in range(0,M) :
n = 6 - M + k
p = h % n
h = h / n
Pos[M-k-1] = p
for i in range(M-2,-1,-1) :
for j in range(i+1,M) :
if Pos[i] <= Pos[j] : Pos[j] += 1
return Pos
##
def DupCheck(Pos,out) :
for t in range(0,8) :
w = Pos
if (t & 0x01) != 0 :
u = [[],[],[],[],[]]
for k in range(0,len(Pos)) : u[k] = 4 - w[k]
w = u
if (t & 0x02) != 0 :
u = [[],[],[],[],[]]
for k in range(0,len(Pos)) : u[k] = w[4-k]
w = u
if (t & 0x04) != 0 :
u = [[],[],[],[],[]]
for k in range(0,len(Pos)) : u[w[k]] = k
w = u
if Pos > w : return 0
return 1
###
def WriteLog(out,Line) :
print Line
out.write(Line+"\n")
out.flush() ◆東京都 ぽこぺん さんからの解答
【問題１】
※この解答では見やすさのために×の代わりに●で表します。
最初に，一般の配置に対する十分条件を与える。
平面上の格子点に
{ (5k+m, 5l+2m) | k, l, m∈Z } （1）
で表される点●を配置すると (下図)，縦，横，斜めのいずれの方向にも５個連続して○が並ぶことはない。
また，
{ (5k+2m, 5l+m) | k, l, m∈Z } （2）
で表される点を配置しても同じ条件を満たす。
○○●○○○○●○○○○●○○○○●○○ ○○○○●○○○○●○○○○●○○○○● ○●○○○○●○○○○●○○○○●○○○ ○○○●○○○○●○○○○●○○○○●○ ●○○○○●○○○○●○○○○●○○○○ ○○●○○○○●○○○○●○○○○●○○ ○○○○●○○○○●○○○○●○○○○● ○●○○○○●○○○○●○○○○●○○○ ○○○●○○○○●○○○○●○○○○●○ ●○○○○●○○○○●○○○○●○○○○ ○○●○○○○●○○○○●○○○○●○○ ○○○○●○○○○●○○○○●○○○○● ○●○○○○●○○○○●○○○○●○○○ ○○○●○○○○●○○○○●○○○○●○ ●○○○○●○○○○●○○○○●○○○○ ○○●○○○○●○○○○●○○○○●○○ ○○○○●○○○○●○○○○●○○○○● ○●○○○○●○○○○●○○○○●○○○ ○○○●○○○○●○○○○●○○○○●○ ●○○○○●○○○○●○○○○●○○○○【問題１】
最少７個で，配置はたとえば：○○○○●○
○●○○○○
○○○●○○
●○○○○●
○○●○○○
○○○○●○
【問題２】
最少９個で，配置はたとえば：
○○●○○○○
○○○○●○○
○●○○○○●
○○○●○○○
●○○○○●○
○○●○○○○
○○○○●○○
【おまけ】
n×n に並ぶ n2 個の格子点において，
連続して並ぶ 5 個のうちの少なくとも 1 個が●になるには，
| 全体で少なくとも[ | n2 5 | ] 個の●が必要である。 |
逆に（1）または（2）の配置において，n×n の部分配置をうまく選べば，
| ●の個数をちょうど[ | n2 5 | ] 個とすることができるので， |
【その証明】
n≧0 の各整数 n に対して，n×n の正方形領域の内部に含まれる●の個数の最小値を f(n) とする。
（1）の配置において，n×n の正方形領域で，左下隅が原点に当たるものを考えると，その中の縦の各列に含まれる●の個数は：
| x＝0 のとき 0≦y≦(n-1) の範囲に[ | n+4 5 | ] 個 |
| x＝1 のとき 0≦y≦(n-1) の範囲に[ | n+2 5 | ] 個 |
| x＝2 のとき 0≦y≦(n-1) の範囲に[ | n 5 | ] 個 |
| x＝3 のとき 0≦y≦(n-1) の範囲に[ | n+3 5 | ] 個 |
| x＝4 のとき 0≦y≦(n-1) の範囲に[ | n+1 5 | ] 個 |
以下，これの繰り返しとなる。
f(n) を求めるには，必要があればこの正方形領域を右に平行移動して，●の個数を数える。
0≦n＜5 に対しては次のようになる：
f(0) ＝ 0 （平行移動しない）
f(1) ＝ 0 （右に 1 平行移動する）
f(2) ＝ 0＋0 ＝ 0 （右に 1 平行移動する）
f(3) ＝ 0＋1＋0 ＝ 1 （右に 2 平行移動する）
f(4) ＝ 0＋1＋1＋1 ＝ 3 （右に 2 平行移動する）
n≧5 に対しては，平行移動量を同じとして
f(n+5) ＝ f(n) ＋ 2n ＋ 5となる。
(∵下図でＡの領域が f(n)，ＢとＣが n，Ｄが 5)
| この漸化式を解くとf(n) = | n2−a 5 |
| f(n) ＝[ | n2 5 | ] と書ける。 |
□□□■■■■■ □□□■■■■■ □Ｂ□■■Ｄ■■ □□□■■■■■ □□□■■■■■ ■■■□□□□□ ■Ａ■□□Ｃ□□ ■■■□□□□□【感想】
最後の証明は，もっとスマートに行う方法があるかと思うのですが，場合分けを使って力づくでやってしまいました。
◆東京都 綾 さんからの解答
【問題１】
桂馬飛びで７つ○×○○○○
○○○×○○
×○○○○×
○○×○○○
○○○○×○
○×○○○○
【問題２】
桂馬飛びで９つ○○×○○○○
○○○○×○○
○×○○○○×
○○○×○○○
×○○○○×○
○○×○○○○
○○○○×○○
【問題３】
まず、５×５の中心に×を置かない場合、第３行目に置ける位置は４つあります。
対角線上に×印がある条件に注意すると、それぞれの位置について、可能な配置は次の例に示すように６通りあります。
×○○○○ ×○○○○ ○○×○○ ○○×○○ ○○○○× ○○○○× ○○○×○ ○○○×○ ○○○×○ ○○○○× ○○×○○ ×○○○○ ○×●○○ ○×●○○ ○×●○○ ○×●○○ ○×●○○ ○×●○○ ○○○○× ○○×○○ ×○○○○ ○○○×○ ○○○×○ ○○○×○ ○○×○○ ○○○○× ○○○○× ×○○○○ ×○○○○ ○○×○○よって、５×５の中心に×を置かない配置は全部で４×６通り
次に、５×５の中心に×を置く場合を考えます。
対角線上にある条件は満たされています。
したがって、これは４！通り。
以上から、４!＋４×６＝４８通り。
対称なものを排除するとさらに減ります。
【おまけ】
一階差分数列 元の数列 番号No ［(No+2)／5］ｎ 0，0，2，1，2，2，2， 0， 0， 5， 7， 9 3, 4, 5, 6, 7, 1 4，3，4，4，4， 13，16，20，24，28, 8， 9，10，11，12, 2 6，5，6，6，6， 34，39，45，51，57， 13，14，15，16，17, 3 8，7，8，8，8 65，72，80，88，96， 18，19，20，21，22, 4これから、A(k)をk×ｋのときの最小数とすると、ｎ≧2のとき、
A(5n-2)=5n2-4n+1
A(5n-1)=5n2-4n+1+2n-1=5n2-2n
A(5n)=5n2-2n+2n=5n2：ｎ≧1
A(5n+1)=5n2+2n：ｎ≧1
A(5n+2)=5n2+4n：ｎ≧1
面白かったです。桂馬飛びはなかなか気が付きませんでした。
◆東京都 JAVAKnight さんからの解答×○○○○
○○○×○
○×○○○
○○○○×
○○×○○
nが5以上のとき、縦n横nの升目に上記パターンを繰り返しはりつけることを考える。
これによって、縦横斜めどの方向にも4個以下しか○が連続で並ばない。
n=6の場合は、7個の×が必要である。
なぜなら6個のみでは、縦5つ並んではいけないという条件から、各列に1個の×が必要で、横5つ並んではいけないという条件からすべての行に×が現れる必要があり、そうするとどこかの列で端のみに×が現れるということになるからだ。
7個の場合は容易に例を構成できる。
n=7の場合、9個の×では容易に例を構成できる。
一方、n=6のとき×が7個必要だったから、縦横1行ずつ増えた場合は×が9個必要であることがわかる。
この考察により、nを5で割った余りが0,1,2のときの×の最小個数は容易に分かる。
kが1以上の整数のとき、
n=5kなら、×は5k2個であり、
n=5k+1なら×は5k2+2k個であり、
n=5k+2なら×は5k2+4k個である。
n=5のとき、縦横に○が5個以上並ばない×の置き方は120通りある。
全ての場合を調べると、斜めにも○が5個以上並ばない×の置き方は48通りあることがわかる。
◆愛知県 迷子の雄猫 さんからの解答
【問題３】
５個の配置は５＊４＊３＊２＊１＝１２０通り
うち、７２通りは対角線上にＸ印が無いから、
ｘが５個ならんでいないのは４８通り
（鏡像、回転を考えると実質６通り、でしょうか。）
【問題４】
とある一列を考えると、最小個数にするためにはｘとｘの間にＯが４個並んでいる必要がある。
左端から数えて、Ｏがａ個並んでいる列を「ａ」であらわす。
「３」「１」「４」「２」「０」の順で繰り返し並べると、縦横斜めとも、ｘとｘの間にＯが４個並ぶ。
さて、それぞれの列にはｘが何個有るだろうか？
「３」の場合、列の左端から３個のＯを切り取ると、
ＸＯＯＯＯの繰り返しになるから、ｘの個数は
| ｎ−３ ５ | 個（端数切り上げ）＝ | ｎ−３＋４ ５ | 個（端数切り捨て） |
| つまり | ｎ＋１ ５ | 個（端数切り捨て）である。 |
同様に
| 「４」の場合 | ｎ＋０ ５ | 個（端数切り捨て） |
| 「３」の場合 | ｎ＋１ ５ | 個（端数切り捨て） |
| 「２」の場合 | ｎ＋２ ５ | 個（端数切り捨て） |
| 「１」の場合 | ｎ＋３ ５ | 個（端数切り捨て） |
| 「０」の場合 | ｎ＋４ ５ | 個（端数切り捨て） |
ｎを５で割った商をｒ、余りをｍとする。
ｎが５で割り切れないとき、５で割り切れない部分には、
「３」「１」「４」「２」「０」の順であれば任意の列を並べることが出来る。
もちろん、ｋ４≦ｋ３≦ｋ２≦ｋ１≦ｋ０であるから、
ｍ＝０の場合、
（ｋ３＋ｋ１＋ｋ４＋ｋ２＋ｋ０）＊ｒ
ｍ＝１の場合、
（ｋ３＋ｋ１＋ｋ４＋ｋ２＋ｋ０）＊ｒ＋ｋ４
ｍ＝２の場合、
（ｋ３＋ｋ１＋ｋ４＋ｋ２＋ｋ０）＊ｒ＋ｋ４＋ｋ２
ｍ＝３の場合、
（ｋ３＋ｋ１＋ｋ４＋ｋ２＋ｋ０）＊ｒ＋ｋ３＋ｋ１＋ｋ４
ｍ＝４の場合、
（ｋ３＋ｋ１＋ｋ４＋ｋ２＋ｋ０）＊ｒ＋ｋ３＋ｋ１＋ｋ４＋ｋ２
◆東京都 明 さんからの解答
【問題１】
盤面の縦または横に連続して並んだ５目の列（以後簡単のため単に「セル」と呼びます）には少なくとも１つの×がなくてはなりません。
６×６の盤面では、明らかに、重ならない７個のセルを選択することができます。
従って、条件を満たす×の最小値Ｍ≧７
実際、以下の配置は×が７個で条件を満たしています。
よって、最小値Ｍ＝７○×○○○○
○○○×○○
×○○○○×
○○×○○○
○○○○×○
○×○○○○
【問題２】
【問題１】と同様に７×７の盤面では９個の重ならないセルを選択することができます。
従って、Ｍ≧９
実際、以下の配置は×が９個で条件を満たしています。
よって、最小値Ｍ＝９○○×○○○○
○○○○×○○
○×○○○○×
○○○×○○○
×○○○○×○
○○×○○○○
○○○○×○○
【問題３】
×が止める行と列が全て異なるような配置で、下図のａ〜ｄおよびｅ〜ｈの斜めの２列に×が少なくとも１つ含まれる配置の数を求めることになります。ａ○○○ｅ
○ｂ○ｆ○
○○ｏ○○
○ｇ○ｃ○
ｈ○○○ｄ
ｏが×のときは、斜め２列に×が１つ含まれます。
この時、×が止める行と列が全て異なるような配置の数は
４！＝２４
次にｏが○の時、条件を満たす数を求めます。
×が止める行と列が全て異なるような配置の条件下で、
Ｎ(ｘ∪ｙ)を、ｅ〜ｈのいずれかが×（ｏは除く）でｘまたはｙ
（ｘ、ｙはａ〜ｄのいずれか）のいずれかが×である場合の数、
Ｎ(ｘ∩ｙ)を、ｅ〜ｈのいずれかが×（ｏは除く）でｘ，ｙ共に×である場合の数と定義します。
求める数はＮ(ａ∪ｂ∪ｃ∪ｄ)となります。
Ｎ(ａ∪ｂ∪ｃ∪ｄ)
＝Ｎ(ａ)＋Ｎ(ｂ)＋Ｎ(ｃ)＋Ｎ(ｄ)
−Ｎ(ａ∩ｂ）・・・−Ｎ(ｃ∩ｄ)
（ａ〜ｄからの２つの組み合わせすべて）
＋Ｎ(ａ∩ｂ∩ｃ)・・・＋Ｎ(ｂ∩ｃ∩ｄ)
（ａ〜ｄからの３つの組み合わせすべて）
−Ｎ(ａ∩ｂ∩ｃ∩ｄ)
Ｎ(ａ)＝Ｎ(ｄ)＝２×２×２−１
Ｎ(ｂ)＝Ｎ(ｃ)＝２×２×２−１
Ｎ(ａ∩ｄ）＝Ｎ(ｂ∩ｃ)＝２
Ｎ(他の組み合わせ)＝０
よって
Ｎ(ａ∪ｂ∪ｃ∪ｄ)＝４×(２×２×２−１)−２×２＝２４
以上より条件を満たす配置の数は４８となります。
【おまけ】
ｎ×ｎでの最小値Ｍを求めるために、まず５×５の４つをつなげて１０×１０の盤面を考えます。
１つの５×５の盤面で、×が止める行と列が全て異なるような配置とした場合、○の５連ができないように１０×１０の盤面を配置すると、４つの５×５の盤面の配列がすべて同一になります。
この条件で、斜めに５連ができないような配置を考えると、斜めの連続した５目からなる列も、×は唯１つである必要があります。
（さもないと×の数が斜めでカウントしたとき、増えてしまいます。）
この状況では、盤面の配置は、１箇所の×を決めると自動的に２つの形が求まります。
左上隅を×とした場合は以下のとおり。×○○○○
○○×○○
○○○○×
○×○○○
○○○×○
×○○○○
○○○×○
○×○○○
○○○○×
○○×○○
この配置に、上下または左右にセルを追加したとき、○の５連ができないようにし、かつ×の数を最小化しようとすると、追加したセルの×の位置は決定され、×の数は追加したセルの数に一致します。
次に８×８と９×９の盤面の最小値Ｍを求めます。
８×８のとき、下記のように重ならないセルは１２あります。ａａａａａｄｅｆ
ｂｂｂｂｂｄｅｆ
ｃｃｃｃｃｄｅｆ
ｈｉｊｘｘｄｅｆ
ｈｉｊｘｘｄｅｆ
ｈｉｊｋｋｋｋｋ
ｈｉｊｌｌｌｌｌ
ｈｉｊｍｍｍｍｍ
よって、Ｍ≧１２
実際下記配置が条件を満たし、よってＭ＝１２○○○×○○○○
○×○○○○×○
○○○○×○○○
○○×○○○○×
×○○○○×○○
○○○×○○○○
○×○○○○×○
○○○○×○○○
９×９のとき、
同様にして重ならないセルは１６あることがわかります。
下記配置が条件を満たし、よってＭ＝１６○○○○×○○○○
○○×○○○○×○
×○○○○×○○○
○○○×○○○○×
○×○○○○×○○
○○○○×○○○○
○○×○○○○×○
×○○○○×○○○
○○○×○○○○×
以上からｎ×ｎの最小値Ｍは
ｎ＝５ｋ＋ｊ （ｊ＝０〜４）として
Ｍ＝５ｋ2＋２ｋｊ＋Ｒ(ｊ)
ただし
Ｒ(ｊ)＝０ ｊ＝０，１，２
Ｒ(ｊ)＝１ ｊ＝３
Ｒ(ｊ)＝３ ｊ＝４
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】 ７個
| ○×○○○○ ○○○○×○ ○○×○○○ ×○○○○× ○○○×○○ ○×○○○○ |
【問題２】 ９個
| ○○○○×○○ ○○×○○○○ ×○○○○×○ ○○○×○○○ ○×○○○○× ○○○○×○○ ○○×○○○○ |
【問題３】 ４８通り
（１）下左図のように中央を×にした場合、斜めの防手は済みなので残り４！＝２４とおり可能である。
（２）中央を〇とした場合、中央ライン上は左右、上下、内外行列入れ替えの８対称を考慮すると下右図のように上辺中央に限ってよい。すると５個で斜めを防ぐには左下隅（右下隅は対称で考慮）が必須である。
残り３×３〇を用いて完全に防手とできるのは、可能性のある３！通りを調べると、その内３通りである。よって、３×８＝２４通りである。
（３）即ち 合計４８とおり。
|
○○●○○ ○○●○○ ●●×●● ○○●○○ ○○●○○ |
●●×●● ●○●○○ ●○◎○○ ●○●○○ ×●●●● |
G=[N/5] F=N mod 5 とするとき
G*(N+F)＋max( 0 , 2*F-5)
計算すると下記である。
実際の並べ方は問題２、３に示した規則的な並べ方（♯配置とよぶ）である。
| N | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| × | 5 | 7 | 9 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 33 | 39 | 45 | 51 | 57 | 64 | 72 | 80 |
【理由】
ある一列(行)を防ぐのに G=[N/5]個は最低必要である。
従って、Nが５の倍数のときは最低N2／５=GN 個必要である。
これは、＃配置で実現可能である。
F=1の場合、少なくとも両端の各列にG個ずつ防手を配置する必要があるので、この場合配置された行は×G個では防ぎ切れない。
よって余分に少なくともG個必要である。
即ち、GN+G個必要である。
これも＃配置で実現可能。
F=２の場合、少なくとも両端の各２列にG個ずつ防手を配置する必要があるので、この場合配置された行は×G個では防ぎ切れない。
左２列の×を同じ行に配置しても防手効果は改善しないので、少なくとも余分に２G個必要である。
即ち、GN+２G個必要である。
これも＃配置で実現可能。
F=３の場合、少なくとも両端の各３列にG個ずつ配置する必要があるので、この場合配置された行は×G個では防ぎ切れない。
左３列の×を同じ行に配置しても防手の効果は改善しないので、少なくとも余分に３G個必要である。
さらにこの関係は上下方向にも考えなければならず、F=3になると両端の各３列のうち一列はG+1個の防手をしなければならない。
よって、GN+３G＋１個必要である。
これも＃配置で実現可能。
F=４の場合、少なくとも両端の各４列にG個ずつ配置する必要があるので、この場合配置された行は×G個では防ぎ切れない。
左４列の×を同じ行に配置して防手の効果は改善しないので、少なくとも余分に４G個必要である。
さらにこの関係は上下方向にも考えなければならず、F=４になると両端の各４列のうち３列はG+1個の防手をしなければならない。
よって、GN+４G＋３個必要である。
これも＃配置で実現可能。
以上まとめると
GN+FG+K（F）
K(F)＝（０、０、０、１、３）=max(0,2F-5)である。
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