◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】 １ ３
｜ ｜
９―２―４
｜ ｜
８ ６
1=1，2=2，3=3，
4=2*2，
5=5，
6=2*3，
7=7，
8=2*2*2，
9=3*3
2の素因数は７個
3の素因数は４個
5の素因数は１個
7の素因数は１個
したがって、５、７は使えない。
また２は中央に入らなければならない。
３つの数の積の中に２の素因数は３個、３の素因数は２個。
したがって、３つ数の積は７２。１ ３
□ ２ □
□ □
-----------
１ ３
９ ２ ４
８ ６
上下、左右が交換可能であるから、８通り。
【おまけ１】
213497856=211*36*11*13 ，64
536481792=212*35*72*11 ，64
【おまけ２】
1379524608=213*37*7*11 ，65
1745960832=27*311*7*11 ，65
◆三重県 とくしん さんからの解答
【おまけ１・２】
9桁、10桁の場合において合計が70未満になるのはこれで全てです。0213497856:64,2*11,3*6 ,11*1,13*1
0536481792:64,2*12,3*5 ,7 *2,11*1
0619573248:65,2*12,3*2 ,7 *5
0164923857:66,3*11,7*2 ,19*1
0214396875:66,3*4 ,5*5 ,7 *1,11*2
0372594816:68,2*7 ,3*7 ,11*3
0948721536:69,2*7 ,3*2 ,7 *7
1379524608:65,2*13,3*7 ,7 *1,11*1
1745960832:65,2*7 ,3*11,7 *1,11*1
1072963584:66,2*13,3*5 ,7 *2,11*1
左からX、合計、因数の種類と数です。
0〜9の順列を作る部分が一番苦労しました（笑）
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
対称性を考慮すると１種のみ３ １
｜ ｜
４―２―９
｜ ｜
６ ８
【導出法】Ａ Ｅ
ＢＤＦ
Ｃ Ｇ
としたとき
A*B2*C*D*E*F2*G=X3
でなければなりません。
（１）従ってX3の素因数冪数が２以上にならない５と７は使えません。
のこりは丁度７個です。
（２）素因数３を生むのは ３(1個)、６(1個)、９（２個）です。
従ってＸ3の３の冪数は４〜７個であり、３の倍数は６のみです。
冪数６になるには３か９はＢかＦにある必要があります。
（３）素因数２を生むのは ２(1個)、４(２個)、６(1個)、８（３個）です。
従ってＸ3の２の冪数は７〜１２個であり、３の倍数は９か１２です。
冪数１２になるには、ＢとＦは偶数でなければなりません。
しかし（２）によりそれは不可能です。
よって冪数は９です。
（４）以上からＸ＝７２です。
３個の積で７２になるのは １−８−９ ２−４−９ ３−４−６の３種のみです。
（５）よってＢ，Ｆに入るのは４と９です。
これよりＤ＝２です。
【おまけ１解答】
Ｘ＝213497856 合計＝64 等 下表参照
【おまけ２解答】
Ｘ＝1379524608 合計＝65 等 下表参照
【おまけのＰＣ探索方法】
合計７５以下を目標としてＰＣ探索した方法を示します。
Ｘ＝２P2３P3５P5・・・として
合計 ＝2*P2＋3*P2＋5*P5・・・ ≦７５
log(X) ＝log(2)*P2＋log(3)*P2＋log(5)*P5・・・ ≦log(9876543210) & ≧log(123456789)を満足する Piを定め、Ｘを計算してそれが 0〜9だけでできているかチェックします。
ある因数の冪数は残りを全部２の冪でまかなうとして最大値を切ることができ、３１まで考えれば良いことが判ります。
さらにＸは９の倍数ですから３の冪は２以上です。
細かいところでは、２と５の冪数が共に２以上だとＸの下２桁が００になるので、これは除外できます。
得られた結果で最上位が「０」のものがおまけ１の解で、その他がおまけ２の解です。
◆東京都 明 さんからの解答
【問題１】
裏返し、回転を同一と見ると、下記２通りのみ。８ ３
｜ ｜
９―２―４
｜ ｜
１ ６
１ ３
｜ ｜
９―２―４
｜ ｜
８ ６
以下のように考えました。
３数の積の３系統すべてに共通な項は存在しない。
従って、素因数分解の一意性により、１〜９の中の数で、２つ以上
の数に共通する素数を持たない数（５と７）は候補から外れます。
他の数を素因数分解します。
１ ＝ １
２ ＝ ２
３ ＝ ３
４ ＝ ２・２
６ ＝ ２・３
８ ＝ ２・２・２
９ ＝ ３・３
３の素因数に着目して、３系統で、３の素因数を同数にする配置は裏返し、回転を同一と見ると、下記一通りのみ。□ ３
｜ ｜
９―□―□
｜ ｜
□ ６
次に２の素因数に着目して、下記の３系統で、２の素因数を同数に
する配置を考えればよい。□ Ｘ
｜ ｜
Ｘ―□―□
｜ ｜
□ ２
以上から前記解を求めることができます。
【おまけ１】
２以上の整数では、２数の積 ≧ ２数の和。
従って、因数の和を最小にするためには素因数分解をすることになります。
和が１００以下のヒントがあるので、後はしらみつぶしで素因数が１００以下で構成される数列を検索し、和が最小のものを求めました。
数列 : 213497856 素因数合計 : 64
素因数 : 211 × 36 × 111× 131
数列 : 536481792 素因数合計 : 64
素因数 : 212 × 35× 72× 111
【おまけ２】
【おまけ１】と同様に求めました。
数列 : 1379524608 素因数合計 : 65
素因数 : 213× 3 7 × 71× 111
数列 : 1745960832 素因数合計 : 65
素因数 : 27× 311× 71× 111
参考で【おまけ２】のプログラムを添付します。
（10進BASIC）
---------------------------------------
DECLARE EXTERNAL SUB zyun
REM 素数データ
DATA 2 , 3 , 5 , 7 , 11
DATA 13 , 17 , 19 , 23 , 29
DATA 31 , 37 , 41 , 43 , 47
DATA 53 , 59 , 61 , 67 , 71
DATA 73 , 79 , 83 , 89 , 97
REM 数値列データ
DATA 1,0,2,3,4,5,6,7,8,9
DIM PN(25)
DIM N(10)
DIM CN(25)
MAT READ PN
MAT READ N
SUB number
LET NB=0
FOR J=1 TO 10
LET NB=NB+N(J)*10^(10-J)
NEXT J
END SUB
LET MIN=100
DO
CALL number
MAT CN=ZER
LET NC=NB
LET ID=1
LET SUM=0
DO
IF NC=1 THEN EXIT DO
IF MOD(NC,PN(ID))=0 THEN
LET NC=NC/PN(ID)
LET SUM=SUM+PN(ID)
LET CN(ID)=CN(ID)+1
ELSE
LET ID=ID+1
END IF
IF ID>25 THEN
LET SUM=101
EXIT DO
END IF
LOOP
IF MIN>=SUM THEN
LET MIN=SUM
PRINT "数列 : ";NB;" 素因数合計 : ";SUM
PRINT "素因数 : ";
LET BG=1
FOR J=1 TO 25
IF CN(J)<>0 THEN
IF BG=0 THEN PRINT "×";
LET BG=0
PRINT PN(J);"^";CN(J);
END IF
NEXT J
PRINT
PRINT
END IF
CALL zyun(10,EX,N)
LOOP UNTIL EX=0
PRINT "END"
END
!順列の変更
EXTERNAL SUB zyun(K,EX,N())
DECLARE EXTERNAL SUB seiretu
LET EX=0
LET J=1
DO
IF J>=K THEN EXIT DO
IF N(K-J)<N(K-J+1) THEN
CALL seiretu(J,K,N)
LET L=1
DO
IF N(K-J)>=N(K-J+L) THEN
LET L=L+1
ELSE
LET B=N(K-J)
LET N(K-J)=N(K-J+L)
LET N(K-J+L)=B
LET EX=1
EXIT DO
END IF
LOOP
EXIT DO
ELSE
LET J=J+1
END IF
LOOP
END SUB
!配列の整列
EXTERNAL SUB seiretu(J,K,N())
LET D=K-J+1
LET E=K
DO WHILE D<E
LET B=N(D)
LET N(D)=N(E)
LET N(E)=B
LET D=D+1
LET E=E-1
LOOP
END SUB
--------------------------------------
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