『今週の問題』第185回　解答

◆千葉県　菜花子 さんからの解答

◆和歌山県　kasama さんからの解答

【問題１】

調査した範囲では、偶数列の最小は１で、狸の配置は以下の通りです。

○,×,○,○,
×,○,×,×,
○,○,×,○,
○,○,×,○

○,×,○,○,
×,○,○,○,
○,×,×,×,
○,×,○,○

○,×,○,○,
○,×,×,×,
×,○,○,○,
○,×,○,○

○,×,○,○,
○,×,○,○,
×,×,○,×,
○,○,×,○

○,○,×,○,
×,×,×,○,
○,○,○,×,
○,○,×,○

○,○,×,○,
×,×,○,×,
○,×,○,○,
○,×,○,○

○,○,×,○,
○,○,×,○,
×,○,×,×,
○,×,○,○

○,○,×,○,
○,○,○,×,
×,×,×,○,
○,○,×,○
【問題２】

調査した範囲では、奇数列の最小は１で、狸の配置は以下の通りです。

×,○,×,○,
○,○,×,×,
○,○,○,○,
×,○,○,×

×,○,○,×,
○,○,○,○,
×,×,○,○,
○,×,○,×

×,○,○,×,
○,○,○,○,
○,○,×,×,
×,○,×,○

○,×,○,×,
×,×,○,○,
○,○,○,○,
×,○,○,×
【おまけ】

上記の考察より
問題１・・・８通り
問題２・・・４通り

◆東京都　明 さんからの解答

【問題１】

○，×，○，○，
○，×，×，×，
×，○，○，○，
○，×，○，○
狸が10匹で縦または横が偶数にならない数の組み合わせは3,3,3,1のみ。
この組み合わせで斜めができるだけ偶数にならない配置を探しました。

【問題２】

×，○，○，×，
○，○，○，○，
○，○，×，×，
×，○，×，○
問題１と逆に、狸が10匹で縦または横の偶数の列が出来る だけ大きくなる組み合わせは4,2,2,2のみ。
この組み合わせで斜めができるだけ偶数になる配置を探しました。

【おまけ】

プログラムで狸10匹の配置を総当り（8008通り）をして適合するものをリストアップしました。
結果として、基本パターンは上記解以外にはありませんでした。

偶数列が最小になる配置は、裏返し、回転の８通り。
偶数列が最大となる配置は、対称性により裏返しが同型となるため、回転の４通りとなります。

狸の数を変えてどうなるか、２匹から１５匹まで総当りをしてみました。
１１匹、１２匹の場合も基本解が１種類とわかりました。

偶数の列が必ず１列はできる最小の狸の数は？とか様々なバリエーションがありそうで面白いと感じました。
このような配置問題を統一的に扱える理論はあるのでしょうか。

狸の数 :  15 
チェック数 : 16 
最小適合数 : 4            MIN =  11 
最大適合数 : 12           MAX =  12 

狸の数 :  14 
チェック数 : 120 
最小適合数 : 12           MIN =  8 
最大適合数 : 30           MAX =  12 

狸の数 :  13 
チェック数 : 560 
最小適合数 : 16           MIN =  5 
最大適合数 : 4            MAX =  14 

狸の数 :  12 
チェック数 : 1820 
最小適合数 : 8            MIN =  3 
最大適合数 : 1            MAX =  18 

狸の数 :  11 
チェック数 : 4368 
最小適合数 : 8            MIN =  3 
最大適合数 : 4            MAX =  15 

狸の数 :  10 
チェック数 : 8008 
最小適合数 : 8            MIN =  1 
最大適合数 : 4            MAX =  16 

狸の数 :  9 
チェック数 : 11440 
最小適合数 : 32           MIN =  2 
最大適合数 : 16           MAX =  14 

狸の数 :  8 
チェック数 : 12870 
最小適合数 : 16           MIN =  1 
最大適合数 : 1            MAX =  16 

狸の数 :  7 
チェック数 : 11440 
最小適合数 : 8            MIN =  1 
最大適合数 : 16           MAX =  12 

狸の数 :  6 
チェック数 : 8008 
最小適合数 : 72           MIN =  1 
最大適合数 : 8            MAX =  11 

狸の数 :  5 
チェック数 : 4368 
最小適合数 : 8            MIN =  0 
最大適合数 : 24           MAX =  8 

狸の数 :  4 
チェック数 : 1820 
最小適合数 : 10           MIN =  0 
最大適合数 : 18           MAX =  6 

狸の数 :  3 
チェック数 : 560 
最小適合数 : 68           MIN =  0 
最大適合数 : 80           MAX =  3 

狸の数 :  2 
チェック数 : 120 
最小適合数 : 44           MIN =  0 
最大適合数 : 76           MAX =  1

◆岩手県　utu さんからの解答

【問題１】

最小　１列 対称なものを除けば次の１通り

○○×○
××○×
○×○○
○×○○
（考え方） 縦横計について考えると、全部で１０個を４列に配置するので、『４列とも奇数』『奇数偶数２列ずつ』『４列とも偶数』のどれかになるはずだが、２または４を減らすことを考えれば、『４列とも奇数』から考えるのが妥当である。

このとき、計が１である列の位置で場合わけすると、対称な図形を除けば、
（１）縦（１，３，３，３）　横（１，３，３，３）
（２）縦（１，３，３，３）　横（３，１，３，３）
（３）縦（３，１，３，３）　横（３，１，３，３）
以上３通りになる。
あとはこの条件に合うような配置をしらみつぶしに考えればよい。

（１）の形になるもの

　１３３３　　１３３３　　１３３３　　１３３３
１○×××　１×○××　１××○×　１×××○
３×○○○　３○×○○　３○○×○　３○○○×
３×○○○　３×○○○　３×○○○　３×○○○
３×○○○　３×○○○　３×○○○　３×○○○

　１３３３　　１３３３　　１３３３　
１××○×　１×××○　１×××○　
３×○○○　３×○○○　３×○○○
３○○×○　３○○○×　３×○○○
３×○○○　３×○○○　３○○○×
（２）の形になるもの 
　１３３３　　１３３３　　１３３３　　１３３３　　１３３３
３×○○○　３○×○○　３○○×○　３○○○×　３×○○○
１○×××　１×○××　１××○×　１×××○　１×○××
３×○○○　３×○○○　３×○○○　３×○○○　３○×○○
３×○○○　３×○○○　３×○○○　３×○○○　３×○○○

　１３３３　　１３３３　　１３３３　　１３３３　　１３３３
３×○○○　３×○○○　３×○○○　３×○○○　３×○○○
１××○×　１×××○　１×○××　１××○×　１×××○
３○○×○　３○○○×　３×○○○　３×○○○　３×○○○
３×○○○　３×○○○　３○×○○　３○○×○　３○○○×
（３）の形になるもの 
　３１３３　　３１３３　　３１３３　　３１３３
３○×○○　３×○○○　３○○×○　３○○○×
１×○××　１○×××　１××○×　１×××○
３○×○○　３○×○○　３○×○○　３○×○○
３○×○○　３○×○○　３○×○○　３○×○○

　３１３３　　３１３３　　３１３３
３○×○○　３○×○○　３○×○○
１××○×　１×××○　１×××○
３○○×○　３○○○×　３○×○○
３○×○○　３○×○○　３○○○×
この中で最小のものは、はじめに述べた解である。
計が２または４の列が、１列であるものを発見した時点で、縦横計が『奇数偶数２列ずつ』『４列とも偶数』であるパターンは除外された。

≪ちなみに≫
配列は次のようにして作り出せる。
（１）の場合
基準とするのは縦計１の列と、横計１の列の交点に○がある配列。
左上の○とａ〜ｉの中のどれか１箇所を選んで×に交換し、代わりに、その縦横の交点にある×を○に変える。 

　基準とする配列　　ｂを×にすると　　ｅを×にすると
　　　１３３３　　　　　　１３３３　　　　　１３３３
　　１○×××　　　　　１××○×　　　　１××○×
　　３×ａｂｃ　　　　　３○ａ×ｃ　　　　３×ａｂｃ
　　３×ｄｅｆ　　　　　３×ｄｅｆ　　　　３○ｄ×ｆ
　　３×ｇｈｉ　　　　　３×ｇｈｉ　　　　３×ｇｈｉ
ただし、ｂとｄ、ｃとｇ、ｆとｈは対称な位置関係にあるので、一方だけ考えればよい。

【問題２】

最大　１６列

対称なものを除けば次の１通り 

×○○×
○○○○
○○××
×○×○
（考え方）

問題１と同じように縦横計が４２２２のパターンになるものをしらみつぶしに考えると、１６通りの配列がある。（略）
その最大のものがはじめに挙げた解。

ただし、列は全部で１８列あるので、２列までの損失が許されると考えると、下の図のように、縦横一方の計に奇数が入っても１６列作れる可能性がある。 
　　　　４３２１　　　４４１１
　　　４○○○○　　４○○○○
　　　２○○××　　２○○××
　　　２○○××　　２○○××
　　　２○×○×　　２○○××
これは、行どうし、列どうしの入れ替えで、すべてのパターンを網羅できるはずですが、もう疲れたのでやめます。
予測ですが、計が２または４の列を多く作るには、対称図形である方が有利であると考えられるので、上のような可能性は排除していいのではないでしょうか。
（いまいち数学的でない）

【感想】

問題２のほうは、後半の可能性に気づいてしまった時点で時間切れです。

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