◆千葉県 菜花子 さんからの解答
◆東京都 明 さんからの解答
【問題１】 8-1-15-10-6-3-13-12-4-5-11-14-2-7-9
１〜１５の２数を加えて平方数４、９、１６、２５のいずれかになるペアを書き挙げます。
すると、各数字の出現回数は、
３回・・１,３
１回・・８,９
２回・・上記以外の数
したがって、８，９が先頭、または末尾であることが必要です。
また２回だけ出現する数のペアは必ず並びになくてはなりません。
（さもなければ、その数は端に位置することになります。）
以上により数を並べると、８から９へつながる解は１通りのみです。
【おまけ１】
大村 平博士著の「数理パズルの話」（1998年）にハミルトン閉路の話題があり、一般的に解く方法は（少なくとも1998年には）見つかっていないとされていました。
２数の和が平方数という条件がありますが、うまい考えがないのでプログラムを作ってみました。
（仮称10進BASIC）
結果は以下の１通りです。（逆回りを同一とする。）
1 8 28 21 4 32 17 19 30 6 3 13 12 24 25 11 5 31 18 7 29 20 16 9 27 22 14 2 23 26 10 15
DECLARE EXTERNAL SUB hamilton LET M=32 ! 最大値 LET NN=INT (SQR(M+1))+1 DIM H(M,NN) ! 接続表 DIM P(M) ! 接続表ポインタ DIM S(M) ! 選択済み表示 DIM Q(M) ! 選択状態 REM 接続表の生成 MAT H=ZER FOR J=1 TO M LET C=1 FOR K=INT(SQR(2*M-1)) TO 2 STEP -1 LET PA=K^2-J IF PA<=M AND PA>=1 THEN LET H(J,C)=PA LET C=C+1 END IF NEXT K NEXT J REM ハミルトン閉路の探索 LET SE=1 ! START/END MARK LET NO=0 DO CALL hamilton(H,P,S,Q,M,SE,NB,CT) IF SE=1 THEN EXIT DO LET NO=NO+1 PRINT "No ";NO FOR J=1 TO M PRINT Q(J); NEXT J PRINT BREAK LOOP PRINT "END" END EXTERNAL SUB hamilton(H(,),P(),S(),Q(),M,SE,NB,CT) IF SE=1 THEN MAT P=CON LET SE=0 ! START/END MARK MAT S=ZER LET CT=1 ! COUNTER LET NB=1 ! NUMBER LET S(NB)=1 LET Q(CT)=1 ELSE CALL nexpros END IF DO IF EM=1 THEN EXIT SUB DO UNTIL CT=M LET NB=H(NB,P(NB)) LET CT=CT+1 LET Q(CT)=NB IF S(NB)=1 THEN LET CT=CT-1 LET NB=Q(CT) EXIT DO END IF LET S(NB)=1 LOOP IF CT=M AND H(NB,P(NB))=1 THEN EXIT SUB CALL nexpros LOOP SUB nexpros DO LET P(NB)=P(NB)+1 IF H(NB,P(NB))>0 THEN EXIT DO LET P(NB)=1 LET S(NB)=0 LET CT=CT-1 IF CT=0 THEN LET SE=1 EXIT DO END IF LET NB=Q(CT) LOOP END SUB END SUB
【おまけ２】
プログラムのメインを変えて計算させた結果を以下に記載します。
NUMBER = 7 解なし NUMBER = 8 解なし NUMBER = 9 解なし NUMBER = 10 解なし NUMBER = 11 解なし NUMBER = 12 解なし NUMBER = 13 解なし NUMBER = 14 解なし NUMBER = 15 解なし NUMBER = 16 解なし NUMBER = 17 解なし NUMBER = 18 解なし NUMBER = 19 解なし NUMBER = 20 解なし NUMBER = 21 解なし NUMBER = 22 解なし NUMBER = 23 解なし NUMBER = 24 解なし NUMBER = 25 解なし NUMBER = 26 解なし NUMBER = 27 解なし NUMBER = 28 解なし NUMBER = 29 解なし NUMBER = 30 解なし NUMBER = 31 解なし NUMBER = 32 1 15 10 26 23 2 14 22 27 9 16 20 29 7 18 31 5 11 25 24 12 13 3 6 30 19 17 32 4 21 28 8 NUMBER = 33 1 15 10 26 23 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24 12 13 3 6 30 19 17 32 4 21 28 8 NUMBER = 34 1 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 23 26 10 6 19 30 34 15 21 28 8 17 32 4 12 13 3 NUMBER = 35 1 35 29 20 16 33 31 18 7 9 27 22 14 2 23 26 10 6 19 30 34 15 21 28 8 17 32 4 5 11 25 24 12 13 3 NUMBER = 36 1 35 29 20 16 33 3 13 36 28 21 15 34 30 19 6 10 26 23 2 14 22 27 9 7 18 31 5 11 25 24 12 4 32 17 8 NUMBER = 37 1 35 29 20 16 33 3 22 14 2 23 26 10 6 19 30 34 15 21 4 32 17 8 28 36 13 12 37 27 9 7 18 31 5 11 25 24 NUMBER = 38 1 35 29 20 16 33 3 22 14 2 34 30 19 6 10 15 21 28 36 13 23 26 38 11 25 24 12 37 27 9 7 18 31 5 4 32 17 8 NUMBER = 39 1 35 29 20 16 33 31 18 7 9 27 37 12 24 25 39 10 6 19 30 34 15 21 28 36 13 3 22 14 2 23 26 38 11 5 4 32 17 8 NUMBER = 40 1 35 29 20 16 33 3 22 14 2 7 18 31 5 11 38 26 23 13 36 28 21 15 34 30 19 6 10 39 25 24 40 9 27 37 12 4 32 17 8 NUMBER = 41 1 35 29 20 16 33 31 18 7 9 40 41 8 17 32 4 5 11 38 26 23 13 36 28 21 15 10 39 25 24 12 37 27 22 14 2 34 30 19 6 3 NUMBER = 42 1 35 29 20 16 33 31 18 7 42 39 25 24 40 9 27 37 12 13 36 28 21 15 34 30 19 17 32 4 5 11 38 26 10 6 3 22 14 2 23 41 8 NUMBER = 43 1 35 29 20 16 33 31 18 7 42 39 25 24 40 9 27 37 12 13 36 28 21 43 38 11 5 4 32 17 19 30 6 3 22 14 2 34 15 10 26 23 41 8 NUMBER = 44 1 35 29 20 44 37 27 22 42 39 25 24 40 41 23 26 38 43 21 15 10 6 3 33 16 9 7 18 31 5 11 14 2 34 30 19 17 32 4 12 13 36 28 8 NUMBER = 45 1 35 29 20 44 37 27 22 42 39 25 24 40 41 23 26 38 43 21 28 36 45 19 30 6 10 15 34 2 14 11 5 31 18 7 9 16 33 3 13 12 4 32 17 8 NUMBER = 46 1 35 46 18 31 33 16 20 29 7 42 39 25 24 40 9 27 37 44 5 11 38 43 21 28 36 45 19 30 6 10 26 23 41 8 17 32 4 12 13 3 22 14 2 34 15 NUMBER = 47 1 35 46 18 31 33 16 20 29 7 42 39 25 24 40 9 27 37 44 5 11 38 43 21 28 36 45 19 30 6 10 26 23 41 8 17 32 4 12 13 3 22 14 2 47 34 15 NUMBER = 48 1 48 33 31 18 46 35 29 20 16 9 40 41 23 26 38 43 21 15 34 47 17 32 4 5 44 37 27 22 3 13 12 24 25 11 14 2 7 42 39 10 6 30 19 45 36 28 8 NUMBER = 49 1 48 33 31 18 46 35 29 20 16 9 40 41 23 26 38 43 21 28 36 45 19 30 34 15 49 32 4 5 44 37 27 22 14 11 25 24 12 13 3 6 10 39 42 7 2 47 17 8 NUMBER = 50 1 48 33 31 50 14 35 46 18 7 29 20 16 9 40 41 23 26 38 43 21 28 36 45 4 32 49 15 10 39 42 22 27 37 44 5 11 25 24 12 13 3 6 19 30 34 2 47 17 8 NUMBER = 51 1 48 33 31 50 14 35 46 18 7 29 20 16 9 40 41 23 26 38 43 21 28 36 45 19 30 51 13 3 6 10 39 42 22 27 37 44 5 11 25 24 12 4 32 49 15 34 2 47 17 8 NUMBER = 52 1 48 52 29 35 46 18 31 50 14 22 42 39 25 24 40 41 23 26 38 11 5 44 20 16 33 3 13 51 49 32 17 47 2 7 9 27 37 12 4 21 43 6 10 15 34 30 19 45 36 28 8 NUMBER = 53 1 48 52 29 35 46 18 31 50 14 22 42 39 25 24 40 41 23 26 38 43 21 28 53 11 5 44 20 16 33 3 13 36 45 19 6 10 15 49 51 30 34 47 2 7 9 27 37 12 4 32 17 8 NUMBER = 54 （中止）ちなみにN=35までの解の種類は以下のとおりでした。
N=32 1
N=33 1
N=34 11
N=35 57
変更したプログラムのメイン部は以下のとおりです。
DECLARE EXTERNAL SUB hamilton
LET N=100 ! 最大値
LET NN=INT (SQR(N+1))+1
DIM H(N,NN) ! 接続表
DIM P(N) ! 接続表ポインタ
DIM S(N) ! 選択済み表示
DIM Q(N) ! 選択状態
FOR M=7 TO 100
PRINT "NUMBER = ";M;
REM 接続表の生成
MAT H=ZER
FOR J=1 TO M
LET C=1
FOR K=INT(SQR(2*M-1)) TO 2 STEP -1
LET PA=K^2-J
IF PA<=M AND PA>=1 THEN
LET H(J,C)=PA
LET C=C+1
END IF
NEXT K
NEXT J
REM ハミルトン閉路の探索
LET SE=1 ! START/END MARK
CALL hamilton(H,P,S,Q,M,SE,NB,CT)
IF SE=1 THEN
PRINT " 解なし"
ELSE
PRINT
FOR J=1 TO M
PRINT Q(J);
IF J/15=INT(J/15) THEN PRINT
NEXT J
PRINT
PRINT
END IF
NEXT M
PRINT "END"
END
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
下記黒線経路１通り
必然を繋いでゆけば、選択肢は僅か。
【おまけ１】
下記黒線経路１通り
太線の非成立性の読み手が長いが、下記色凡例順に経路が絞られて行く。
【おまけ２】
Ｎ＝３３で 下記黒線経路１通りあり。
以降を 計算機で調べてみました。
Ｎ＝３３ １通り
Ｎ＝３４ １１通り
Ｎ＝３５ 下記など５７通り
以下 Ｎ＝５０まで １０００通り以上あることがわかりました。
Ｎ＋１〜２Ｎ−１以内にある平方数の数はＮが大きいほど増えるので、この後ずっと存在すると予想されます。
| Ｎ | ＜32 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 |
| 解答数 | 0 | 1 | 1 | 11 | 57 | 31 | 20 | 25 | 50 | 64 | 464 | 1062 | 4337 |
| Ｎ | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
| 解答数 | 10091 | 21931 | ≧1000 | ≧1000 | ≧1000 | ≧1000 | ≧1000 |
探索に用いたソフトを添付します。
（１）単純探索で経路も出力するＥＸＣＥＬのマクロ=Basicソフト。
（Ｎ＝４３〜４４が限界）
N183_excel_macro.bas
（２）縦探索と横探索を適度に混合した解答数のみを求めるＶＣ＋＋ソフト。
（上の表ぐらいが計算できる限界）
N183Main.cpp
【感想】
おまけ１はパズルとして、とても優れた問題ですね。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
8-1-15-10-6-3-13-12-4-5-11-14-2-7-9
9-7-2-14-11-5-4-12-13-3-6-10-15-1-8
【おまけ１】
1 8 28 21 4 32 17 19 30 6 3 13 12 24 25 11 5 31 18 7 29 20 16 9 27 22 14 2 23 26 10 15輪状であるから１通りです。
【おまけ２】
N＜32 解なし。
N≧32 は可能のような。
重複を排除していません。
３２，３３は解１個。
N=33
* *
1 8 28 21 4 32 17 19 30 6 3 13 12 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 23 26 10 15
1 15 10 26 23 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24 12 13 3 6 30 19 17 32 4 21 28 8
* *
N=34
1 3 13 12 4 32 17 8 28 21 15 34 30 19 6 10 26 23 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24
1 3 13 12 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 23 26 10 15 34 30 6 19 17 32 4 21 28 8
1 3 13 12 24 25 11 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 4 32 17 19 6 30 34 2 23 26 10 15 21 28 8
1 3 13 12 24 25 11 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 4 32 17 19 30 6 10 26 23 2 34 15 21 28 8
1 3 13 23 26 10 6 19 30 34 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24 12 4 32 17 8 28 21 15
1 3 13 23 26 10 6 30 19 17 32 4 12 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 34 15 21 28 8
1 3 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 4 32 17 19 6 30 34 2 14 11 25 24 12 13 23 26 10 15 21 28 8
1 3 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 4 32 17 19 30 6 10 26 23 13 12 24 25 11 14 2 34 15 21 28 8
1 3 33 31 18 7 29 20 16 9 27 22 14 2 34 30 6 19 17 32 4 5 11 25 24 12 13 23 26 10 15 21 28 8
1 3 33 31 18 7 29 20 16 9 27 22 14 2 34 30 19 6 10 26 23 13 12 24 25 11 5 4 32 17 8 28 21 15
1 8 28 21 4 32 17 19 6 30 34 15 10 26 23 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24 12 13 3
1 8 28 21 15 10 26 23 2 34 30 6 19 17 32 4 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 11 25 24 12 13 3
1 8 28 21 15 10 26 23 13 12 24 25 11 5 4 32 17 19 6 30 34 2 14 22 27 9 16 20 29 7 18 31 33 3
1 8 28 21 15 10 26 23 13 12 24 25 11 14 2 34 30 6 19 17 32 4 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 3
1 8 28 21 15 34 2 14 11 25 24 12 13 23 26 10 6 30 19 17 32 4 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 3
1 8 28 21 15 34 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24 12 4 32 17 19 30 6 10 26 23 13 3
1 8 28 21 15 34 2 23 26 10 6 30 19 17 32 4 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 11 25 24 12 13 3
1 8 28 21 15 34 30 19 17 32 4 12 13 3 6 10 26 23 2 14 22 27 9 16 33 31 18 7 29 20 5 11 25 24
1 15 21 28 8 17 32 4 5 11 25 24 12 13 23 26 10 6 19 30 34 2 14 22 27 9 16 20 29 7 18 31 33 3
1 15 21 28 8 17 32 4 12 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 34 30 19 6 10 26 23 13 3
1 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 23 26 10 6 3 13 12 4 32 17 19 30 34 15 21 28 8
1 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 2 23 26 10 6 19 30 34 15 21 28 8 17 32 4 12 13 3
N=35
1 3 6 19 30 34 2 7 18 31 33 16 9 27 22 14 11 25 24 12 13 23 26 10 15 21 28 8 17 32 4 5 20 29 35
1 3 13 12 4 32 17 8 28 21 15 34 30 19 6 10 26 23 2 7 18 31 33 16 9 27 22 14 35 29 20 5 11 25 24
1 3 13 12 24 25 11 5 4 32 17 8 28 21 15 34 30 19 6 10 26 23 2 14 22 27 9 7 18 31 33 16 20 29 35
1 3 13 12 24 25 11 5 20 29 35 14 22 27 9 16 33 31 18 7 2 23 26 10 15 34 30 6 19 17 32 4 21 28 8
1 3 13 12 24 25 11 14 22 27 9 16 33 31 18 7 2 23 26 10 6 19 30 34 15 21 28 8 17 32 4 5 20 29 35
1 3 13 23 26 10 6 19 30 34 2 7 18 31 33 16 9 27 22 14 35 29 20 5 11 25 24 12 4 32 17 8 28 21 15
1 3 13 23 26 10 6 30 19 17 32 4 12 24 25 11 5 20 29 35 14 22 27 9 16 33 31 18 7 2 34 15 21 28 8
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以下、解答例
1- 36 1 3 6 19 30 34 2 23 26 10 15 21 4 32 17 8 28 36 13 12 24 25 11 5 20 29 7 18 31 33 16 9 27 22 14 35 1- 37 1 3 22 14 35 29 20 5 11 25 24 12 37 27 9 16 33 31 18 7 2 34 15 21 4 32 17 19 30 6 10 26 23 13 36 28 8 1- 38 1 3 33 16 9 7 18 31 5 20 29 35 14 22 27 37 12 13 36 28 8 17 32 4 21 15 10 6 19 30 34 2 23 26 38 11 25 24 1- 39 1 3 22 14 2 7 18 31 33 16 9 27 37 12 24 25 39 10 6 19 30 34 15 21 4 32 17 8 28 36 13 23 26 38 11 5 20 29 35 1- 40 1 3 6 19 30 34 2 7 18 31 33 16 9 40 24 25 39 10 15 21 28 36 13 23 26 38 11 5 20 29 35 14 22 27 37 12 4 32 17 8 1- 41 1 3 6 10 39 25 24 12 37 27 22 14 35 29 20 5 11 38 26 23 13 36 28 8 41 40 9 16 33 31 18 7 2 34 30 19 17 32 4 21 15 1- 42 1 3 6 10 15 21 4 32 17 19 30 34 2 14 22 27 37 12 24 25 39 42 7 18 31 33 16 9 40 41 8 28 36 13 23 26 38 11 5 20 29 35 1- 43 1 3 6 10 15 21 43 38 26 23 2 34 30 19 17 32 4 5 11 14 22 42 39 25 24 40 41 8 28 36 13 12 37 27 9 7 18 31 33 16 20 29 35 1- 44 1 3 6 10 15 21 43 38 26 23 2 34 30 19 17 32 4 5 11 14 22 27 9 16 33 31 18 7 42 39 25 24 40 41 8 28 36 13 12 37 44 20 29 35 1- 45 1 3 6 10 15 21 43 38 26 23 13 12 24 25 39 42 22 14 11 5 44 37 27 9 40 41 8 28 36 45 4 32 17 19 30 34 2 7 18 31 33 16 20 29 35 1- 46 1 3 6 10 15 21 43 38 26 23 13 12 24 25 39 42 22 14 11 5 44 37 27 9 40 41 8 28 36 45 4 32 17 19 30 34 2 7 29 20 16 33 31 18 46 35 1- 47 1 3 6 10 15 21 43 38 26 23 13 12 4 32 17 47 2 34 30 19 45 36 28 8 41 40 9 7 29 20 16 33 31 18 46 35 14 11 5 44 37 27 22 42 39 25 24 1- 48 1 3 6 10 15 21 43 38 26 23 13 12 4 32 17 47 2 34 30 19 45 36 28 8 41 40 9 7 29 20 16 48 33 31 18 46 35 14 11 5 44 37 27 22 42 39 25 24 1- 49 1 3 6 10 15 49 32 4 5 11 14 2 7 9 27 22 42 39 25 24 40 41 8 17 47 34 30 19 45 36 28 21 43 38 26 23 13 12 37 44 20 29 35 46 18 31 33 16 48 1- 50 1 3 6 10 15 49 32 4 5 11 14 50 31 18 46 35 29 7 9 27 22 42 39 25 24 40 41 8 17 47 2 34 30 19 45 36 28 21 43 38 26 23 13 12 37 44 20 16 33 48
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