『今週の問題』第18回　解答

【コメント】

　今回の解答は、偶数・奇数で分けたものと、ガウス記号を使ったものがありました。

【おまけ　その２】 は冗談の問題だったのですが、有名な問題だと思っていたので解答者が少なかったのは意外でした。
６本買うと、空き瓶６本で新しく２本がもらえます。
その２本を飲むと、残っている空き瓶は２本です。
ここでジュースを飲みに来た近所のおじさんに、飲んだ後の瓶を貸してもらい、お店に３本の空き瓶を持っていって更に１本をもらいます。
結局６＋２＋１で合計９本飲むことができます。

そのジュースを飲んだ後、空き瓶をおじさんに返せば、全て解決というわけです。

◆石川県　Takashi さんからの解答。

＜T＞　７本

＜U＞１０本

＜おまけT＞
ｎ本買った時に飲める本数を、ａ(n)とする。
まず、一本飲んだ後の状態について、あと２本飲むと３本の空瓶が出来て、１本のおまけが付いてくる。
ｎ＝１＋２ｃ＋ｄと置くと、
　【ｃ，ｄは整数、ｃ≧０、ｄ＝０,１】

ｃ本のおまけが付いてくるので、ａ(n)＝ｎ＋ｃ
　【ｃは(ｎ-1)/２を越えない最大の整数】

ａ(55)＝55＋(55-1)/2＝82

◆広島県　清川　育男 さんからの解答。

問題１　答え　７本。

問題２　答え　１０本。

　３　　　　４
　５　　　　７
　７　　　１０
．．．．．．．．
．．．．．．．．
２ｎ＋１　　３ｎ＋１

上記の関係がみられます。

おまけの問題

１．２ｎ＋１＝５５
　ｎ＝２７
　２７×３＋１＝８２

　答え　８２本。

２．
　n=2m-1が奇数のとき A(n)=3m-2
　n=2mが偶数のとき　　A(n)=3m-1

まとめると
　A(n)=(3/2)×n-3/4+(1/4)×(-1)n-1

◆石川県　平田　和弘 さんからの解答。

問題１
ジュースを５本買うと７本飲めます。
買ったジュースを○としておまけでもらったジュースを●とすると
(○○○)(○○●)●　となります。

問題２
ジュースを７本買うと１０本飲めます。
買ったジュースを○としておまけでもらったジュースを●とすると
(○○○)(○○○)(○●●)●　となります。

関係をみていくと
買った本数３４５６７８．．．
飲める本数４５７８1011．．．

となりますので(飲める本数−買った本数)を求めると

買った本数３４５６７８．．．
飲める本数４５７８1011．．．
差１１２２３３．．．

になって２個ずつペアにすると規則性があります。

買った本数　(３　４)　(５　６)　(　７　　８)．．．
飲める本数　(４　５)　(７　８)　(１０　１１)．．．
差　　　　　(１　１)　(２　２)　(　３　　３)．．．
となって数字(買った本数)を２個カウントするごとに差が１ずつ加算されます。

おまけ１

上記より

買った本数　(３　４)　(５　６)　(　７　　８)．．．(　　　ｎ　　　　　　ｎ＋１　　)
差　　　　　(１　１)　(２　２)　(　３　　３)．．．((ｎ−１)／２　　(ｎ−１)／２　)
飲める本数　(４　５)　(７　８)　(１０　１１)．．．((３ｎ−１)／２　(３ｎ＋１)／２)
ですが実際買った本数をｎとして奇数、偶数に分けて考えると奇数のときは必ず１本余り、偶数のときは必ず２本余るので

ｎ＝奇数のとき　　(３ｎ−１)／２
ｎ＝偶数のとき　　(３ｎ−２)／２

となります。

したがって５５本買ったときは、奇数なので上記より、
(３×５５−１)／２＝１６４／２＝８２本です。

◆石川県　ミケさんからの解答。

問題１　７本
問題２　１０本

３本　４本　　　１
５本　７本　　　２
７本　１０本　　３
９本　１３本　　４
・・・
・・・
・・・
５５本　８２本　２７
ｎが奇数のとき、買える数
　n＋(n-1)／２

nが偶数のとき、買える数

４本　５本　　　 1
６本　８本　　　２
８本　１１本　　３
・・・
・・・
・・・
n+(ｎ/2-1)

◆神奈川県　taro さんからの解答。

問題１の答え　７本
問題２の答え　１０本

おまけ
買った本数と、飲める本数の関係は次のようになる。

買った本数　→　飲める本数
３(本)　　　→　３＋１(本)
５(本)　　　→　５＋２(本)
７(本)　　　→　７＋３(本)
・・・・・
２ｎ＋１(本)→(２ｎ＋１)＋ｎ(本)
となる。ここで、ｎ=１，２，３，・・・

おまけ１の答え
５５＝２ｎ＋１よりｎ＝２７
よって飲める本数は(２×２７＋１)＋２７＝８２(本)

◆愛知県　まこっちゃん さんからの解答。

いちもんめ
５本飲むと、空き瓶が５本でる。(当然だけど)
そのうちの３本で、もう１本ＧＥＴする。
空き瓶は最初の残りの２本と、さっきの１本で合計３本になり、さらにもう一本飲める。
５＋１＋１＝７で、全部で７本飲める。

にもんめ
７本飲む。
３本を１本に替えて飲む。
すると・・・
いちもんめと同じですね。
最初に３本＋７本飲めるので、合計１０本も飲めると。

感想
１０本も飲んだら、おなか壊しますよ！！(または太る)
問題の方は、楽でした。
(とかなんとかいって、ちがってたりして・・・)

◆紙津　恭介 さんからの解答。

問題１　答え　　７本
問題２　答え　　１０本

おまけ
　まずジュ−スを３本買った時は４本飲めます。
以下に買った数と飲める本数を並べてみます。

買った本数飲める数
３本４本
４５
５７
６８
７１０
８１１
９１３
１０１４

３本、５本、７本・・・・　と２本買い増す毎に飲めるジュ−スは３本ずつ増えていきます。
４本、６本、８本の時も同様です。
ではｎ本買った時は、２本につき３本プラスになるので
(ｎ￥２)×３−(−１)n　
５５本買った時は上の式に５５を代入して
(５５￥２)×３−(−１)55＝８２

青木注：￥ ２は２で割った商ですね。

◆神奈川県　飯田　孝久 さんからの解答。

［おまけ］２
　 飲める本数＝［(３ｎ−１)／２］
　［ｘ］はガウス記号(切り捨て)

［おまけ(その２)］
　隣の人からジュースの空き瓶を１本借りると、ジュースを９本飲むことができて、手元に１本空き瓶が残る。
この空き瓶を隣の人に返す。
つまり、９本飲めることになる。

◆岐阜県　水の流れ さんからの解答。

○　買ったジュース、●　おまけのジュース　とする。

問題１
　○○○　・・・１段目
　●○○　・・・２段目
　●　　よって、７本

問題２
２ｎ＋１本買うと

　○○○　・・・１段目
　●○○　・・・２段目
　●○○　・・・３段目
　●　　　よって、１０本
　・・・
　・・・
　●○○　・・・ｎ段目
　●

３ｎ＋１本　飲める　　　　　　　　　　　　　　　　


２ｎ＋２本買うと

　○○○　・・・１段目
　●○○　・・・２段目
　●○○　・・・３段目
　・・・
　・・・
　●○○　・・・ｎ段目
　●○

３ｎ＋２本　飲める

だから、買ったジュースをＡ(ｎ)，飲めるジュースＢ(ｎ)とすると、
Ａ(ｎ)＝２ｋ＋ｍ(ｍ＝１，２)のとき、Ｂ(ｎ)＝３ｋ＋ｍ　となり、ｋ本おまけで、ｍ本空きビンが残ります。

【おまけ】
Ａ(５５)＝２×２７＋１より、　
　Ｂ(５５)＝３×２７＋１＝８２(本)

ｎ本買ったときに飲める本数がa(n)より、
　a(n)＝ｎ＋［ｎ／２］
　ただし、［　　］はガウス記号です。

一般にｐ本でおまけの場合は
　a(n)＝ｎ＋［ｎ／(ｐ−１)］　になります。

◆北海道　暇つぶし　さんからの解答。

n=k(kは自然数)の時、p本飲むことができ、かつ、空き瓶が一本だけ残るn、k、pを考えます。
n=k+1の時、p+1本飲むことができます。
空き瓶は２本にしかならないのでおまけはつきません。

n=k+2の時、p+2本飲むことができるほか、空き瓶が３本となり、もう一本余計に飲むことができます。
つまり、n=k+2の時、p+3本飲むことができ、かつ、空き瓶が一本だけ残ることになります。
Ｋ=k+2、Ｐ=p+3とすれば、Ｎ、Ｋ、Ｐについて上記n、k、pと同じことがいえます。

これを整理すると、仮定のようなn､k､Pが存在するとき、
n(n≧k)に対してAnは、
n=k+2m(ただし、m≧０の整数とする。) のとき、
　An=p+3m・・・(1)

n=k+2m+1=k+2m+1 のとき、
　An=p+3m+1･･･(2)と表すことができます。

ここで、n=1の時、１本飲むことができ、かつ、空き瓶が一本残ることになります。
そこでk=１、p=１を(1)､(2)に代入すると、
n=１+2m=2m+1 のとき、
　An= 3m+1・・・(3)

n=１+2m+1=2ｍ+2 のとき、
　An=3m+2本･･･(4)
となります。

(3)を変形すると、m=(n-1)/2であることから、
n=2m+1 (nは奇数)のとき、
　An= 1+3(n-1)/2)=(3n-1)/2

(4)を同様に変形して、
n=2m+2(nは偶数) のとき、
　 An=3n/2−1となります。

つまり、
ｎが奇数のとき、An=(3n-1)/2
ｎが偶数のとき、An=3n/2−1となります。

【問題1】

５本買ったときは、５は奇数なので、
A5=(3×5-1)/2=７
７本

【問題2】

７本買ったときは、７は奇数なので、
A7=(3×7-1)/2=10
１０本

【おまけ１】

５５本買ったときは、
A55=(55×3-1)/2=82
８２本

◆神奈川県　のぉえい　さんからの解答。

おまけその２の解答

６本飲んで空き瓶６本、これから交換して２本。
これを飲んで２本の空き瓶。
そこで友人から１本空き瓶を借りて、合計３本。
これを交換して１本。飲んでできる空き瓶１本を友人に返す。

したがって６＋２＋１＝９

　９本が飲める本数。

◆和歌山県　たま　さんからの解答。

【問題1】　７本
【問題2】　１０本

買う本数が２本増えるごとに飲める本数は３本増える・・(１)

【おまけ】

５５本買った場合、買う本数は７本の時より４８本増えている。
飲める本数は(１)より48/2×3=72本増える。
【問題2】より７本買った時飲める本数は１０本だから、
５５本買うと10+72=82本飲める。

n本買った時飲める数をａnとすると
ａn=1+(n-1)/2×3

◆三重県　ぐぅすか　さんからの解答。

[問題1]
　５本買う→７本飲める

[問題２]
　７本買う→１０本飲める

[おまけ]

  1. ５５本買う→８２本飲める

  2. ｎ本買う→
    　ｎが奇数なら、（３ｎ−１）/２　本飲める
    　ｎが偶数なら、（３ｎ−２）/２　本飲める

◆海外　西野　友朗　さんからの解答。

まず、一般解を求めることにします。

  1. 最初に買うジュースの本数をn、その時最終的に飲むことができるジュースの本数をZ(n)、最終的に残った空ビンの本数をkとする。
    問題の定義上、n、Z(n)、kは自然数である。

  2. n=1の時、Z(1)=1、k=1である。

  3. 次に一般に、n=a(aは自然数)で、Z(n)=Z(a)=b(bは自然数)、k=1である場合を仮定する。

  4. このとき、n=a+1でZ(n)=Z(a+1)がどうなるか考える。
    最初に飲むことができる本数がn=aの時よりも1本増える。
    最終的にb+1本飲んで、k=2となる。
    空ビンが3本集まらないので、新たにジュースは手に入らない。

  5. 同様に、n=a+2でZ(n)=Z(a+2)がどうなるか考える。
    最初に飲むことができる本数がn=aの時よりも2本増える。
    b+2本飲んだ時点で、k=3となり、さらに新たなジュース1本を飲むことができる。
    最終的にb+3本飲んで、k=1となる。

  6. 5.の状態は3．を満たしている。
    よって、以降同様にしてnとZ(n)の関係示すことができる。すなわち、

    1) nがk=1を満たすようなaのとき、Z(a)=b

    2) n=a+1+2(m-1)、mは自然数のとき、
    　Z(a+1+2[m-1])=b+1+3(m-1)=b+3m-2

    3) n=a+2+2(m-1)、mは自然数のとき、
    　Z(a+2+2[m-1])=b+3+3(m-1)=b+3m

  7. 6-1)を満たす最小の自然数は2.より1であることがわかるから、6.は以下の様にまとめ直すことができる。

    1') n=1のとき、Z(1)=1

    2') n=2m(mは自然数)のとき、Z(2m)=3m-1、
    　nを代入し直すとZ(n)=3n/2-1

    3') n=1+2m(mは自然数)のとき、Z(1+2m)=3m+1、
    　nを代入し直すとZ(n)=(3n-1)/2

    このうち、3')はn=1のときZ(1)=1となり 1'）が成り立っているので、さらに

  8. 「nが正の奇数の場合、Z(n)=(3n-1)/2
    nが正の偶数の場合、Z(n)=3n/2-1 」とまとめられる。

問1の答え： n=5本のとき、Z(5)=7本
問2の答え： n=7本のとき、Z(7)=10本
おまけ： n=55本のとき、Z(55)=82本

おまけその2：
西野少年は、ジュースを6本買いました。
最初に６本飲みました。
空ビンを交換して、さらに２本飲みました。
この空ビン２本がもったいないので、回りを見回してみると、ちょうど店の横に、ジュースを飲んでいるを発見。
そこで、「すいません、ジュース飲み終わったら、その空ビンを３０秒間だけ貸してもらえますか？」

西野少年は、空ビンを借りてもう１本ジュースを手に入れると、それをその場で飲み干して、空びんを貸し主に返して帰っていったとさ。

こんなオチだったと思いますが。

◆京都府　みなみようへい　さんからの解答。

｢第18回｣おまけの解答

(@)ａn≡ 1　(mod 3)　のとき
ａn+1＝ａn+ 1 ≡ 2　(mod 3)

(A)ａn≡ 2　(mod 3)　のとき
ａn+1＝ａn+ 1 + 1 ≡ 4 ≡ 1　(mod 3)

(@), (A), ａ1 ＝ 1　より、
ａn+1−ａn＝ 3
――
2		 ＋ (-1)n
――
2

∴ａn＝ａ1＋ n-1
Σ
k=1		 (ａk+1−ａk)
＝1＋ 3
――
2		 (n-1)＋ 1
――
2		 × -1-(-1)n
――――――
1-(-1)
＝ 3(2n-1)+(-1)n-1
―――――――――
4		 ……(答)

東京出版の大学への数学に掲載された九段ゼミナールの広告についている問題に同じものがありました。
その時の模範解答を下に書きます。

ジュースの値段をａ円、ビンの値段をｂ円とすると、
ジュース一本の値段は(ａ+ｂ)円。

次に、飲めるジュースの本数をN本とする。
ジュース一本と交換できない空ビンが1本または2本残るから、飲んだジュースと手元に残ったビンの関係をジュースｎ本の値段として表すと、

()空ビンが最後に1本残るとき
ａN+ｂ＝ｎ(ａ+ｂ)

()空ビンが最後に2本残るとき
ａN+2ｂ＝ｎ(ａ+ｂ)

である。一方、空ビン3本とジュース1本が交換できることを値段の関係で表すと

3ｂ＝ａ+ｂ⇔ａ＝2ｂ

したがって、()のとき

2bｎ＋b＝3ｂｎ

よって　
N＝ 3ｎ-1
――――――
2

Nは整数だから、このときｎは奇数。

()のときも同様にして
N＝ 3ｎ-2
――――――
2

Nは整数だから、このときｎは偶数。

以下略

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