◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答。
【問題１】
【問題２】
３人ずつA,B,Cクラスに分け
（１） クラス内では３すくみ（つまり各人１勝）
（２） ＡはＢから各人２勝、Ｃから各人３勝→全６勝中Ｃから３勝
（３） ＢはＣから各人２勝 →全４勝中Ｃから２勝 ＆ Ｃは全２勝中Ｃから１勝
が成立すればＯＫ．実際成立した。
【問題３】 ９人のみ
Ｃクラス内では３試合あり、勝ち数合計は３である。
よってＣクラスの３人の勝ち数合計はその倍の６に限られる。
これを均等に分けるとしても最低Ｃクラスの人の勝ち数は２である。
よってＡ〜Ｂクラスの人の勝ち数は４か６（Ｃクラスは３人）でなければならない。
人数をＮとするとき、トーナメント全体の勝ち数はＮＣ２でありこの数には次の条件を満足しなければならない。
（１） 偶数である。
（２） ４（Ｎ−３）＋６以上
（３） ６（Ｎ−３）＋６以下
以上を満足するＮは８と９だけである。
Ｎ＝９は【問題１】で存在が確認されている。
Ｎ＝８の場合、勝ち数２８を振り分けるとＡクラス１人、Ｂクラス４人及びＣクラス３人でなければならない。
ＢクラスはＣクラスに各人１敗：全体で４敗しなければならない。
一方、ＣクラスはＡクラスには勝てないのでＢクラスから丁度合計３勝しなければならず矛盾する。
よってＮ＝８は不可能。
【Ｐ。Ｓ。】
勝ち数タイ時は得失点差とかトスで順位を決める場合は、次の【問題１】の解もある。＼××○○○○○○
○＼×○○×○○○
○○＼×○×○○○
××○＼×○×○○
×××○＼○×○○
×○○××＼○×○
×××○○×＼○○
×××××○×＼○
××××××××＼
この場合、問題３の条件（２）は２（Ｎ−３）＋６以上である。
そしてＮ＝５が条件を満足するものとして加わる。
即ち Ｃクラス５人である。
しかしその解は存在しない。
またＮ＝８の場合、新しいクラス分けが可能になる。
即ち Ｄクラス０勝を含めＡ３Ｃ５、Ａ２Ｂ２Ｃ４、Ａ１Ｂ５Ｃ１Ｄ１の３ケースが可能性ありになる。
しかしこれらに対応する解も存在しない。
従ってやはり９人のみである。
【Ｐ。Ｓ。ケース不可能証明１】
下位３チームは上位チームから必ず合計３個勝ちをえなければならない。
それはＢまたはＣクラスからのみである。
従って上位チームのクラス分けはＡXＢ１Ｃ１かＡXＢ３しかない。
（a）Ｎ＝５のＣ５の上位はＣ２であり適合しない。
（b）Ｎ＝８のＡ３Ｃ５の上位はＡ３Ｃ２であり適合しない。
（c）Ｎ＝８のＡ２Ｂ２Ｃ４の上位はＡ２Ｂ２Ｃ１であり適合しない。
（d）Ｎ＝８のＡ１Ｂ５Ｃ１Ｄ１の上位はＡ１Ｂ４であり適合しない。
なお、 (問題３解) Ｎ＝８のＡ１Ｂ４Ｃ３の上位はＡ１Ｂ４であり適合しない。
【Ｐ。Ｓ。ケース不可能証明２】
一般に
(I) Ｎ＝ＮA+ＮB+ＮC+ＮD
(II) Ｎ（Ｎ−１）／２＝6ＮA+4ＮB+2ＮC
(III) ＮB+2(ＮC -3)=3 (下位Ｃ３ケース)
or ＮB +2(ＮC -1)=3 (下位B1C1D1ケース)
である非負整数ＮA,ＮB,ＮC,ＮDがあるかという問題にもなります。
(III)から
[ＮB＝１ ＮC ＝４ ＮD＝０],
[ＮB＝３ ＮC＝３ ＮD＝０],
[ＮB＝１ ＮC＝２ ＮD＝１],
[ＮB＝３ ＮC＝１ ＮD＝１]
の４ケースが可能で
4ＮB+2ＮC＝１２、１８、８、１４≡0 or 2 mod 6 です。
すなわち(II)式より
Ｎ（Ｎ−１）／２≡0 or 2 mod 6でなければなりません。
よってＮ＝５，８は成立しません。
一方Ｎ＝９は候補です。
あるいは、(I)を代入すると
Ｎ（Ｎ−１）/2＝６Ｎ−[18|18|16|16] に帰着され、
ここからＮ＝４，９が得られます。
Ｎ＝４はＮA＜０で不適当です。
よってＮ＝９のみ。
◆東京都 明 さんからの解答
【問題１】＼×○○×××××
○＼××○××××
×○＼××○×××
×○○＼○○×××
○×○×＼○○××
○○×××＼○○×
○○○○××＼○○
○○○○○××＼○
○○○○○○××＼
【問題２】
「全員がリーグ戦の最下位から３人までの選手との対戦で勝ち星のちょうど半数を得た」ことから「最下位から３人までの負け数」が全体の勝数の半分になる。
９人のリーグ戦のため、全体の勝数は 36
３人の総試合数は 24
したがって、最下位から３人までの総勝数を w とすると、
2･(24-w) = 36
よって w = 6
最下位３人の個々の勝数をできるだけ少なくするためには、最下位３人同士の戦いは３すくみ（各自一勝ずつ）が望ましい。
逆に１人が２勝してしまうと、その選手は題意より４勝していなければならず、 それより上位の６選手は５勝以上していなければならない。
各人の勝数は、最下位３選手からの勝数の倍であることから偶数でなくてはならない。
したがって上位６選手は、少なくとも６勝をあげていることになり、全体の勝数が36を越えてしまう。
したがって最下位３人の戦いは３すくみとならなくてはならない。
以上より最下位３選手の個々の勝数は２勝ずつとなる。
この条件で下位３選手の勝敗を決定する。
このとき下位選手が特定の上位選手から勝ちを取らないように配置する。
最下位３選手の勝敗を決めると、上位選手６人が最下位３選手から取る勝数が決まる。
後はこの勝数と同じ勝ちがとれるように、上位６人同士の勝敗を決定すればよい。
なお、最下位３選手については勝数が最下位選手同士の対戦の勝数の倍である制限を外すと、以下のような勝敗表が可能ですが、題意には合わないようです。＼○×××××××
×＼○○×××××
○×＼×○○×××
○×○＼○○×××
○○××＼○○××
○○×××＼○○×
○○○○××＼○○
○○○○○××＼○
○○○○○○××＼
【問題３】
最下位３選手同士の試合を外して、最下位３選手と上位６選手と18試合の勝敗に注目すると、最下位から３人までの総勝数 w と全体の勝数との間で以下の関係が成り立つ。
2･(18-(w-3))+w = 36
（w から引かれる 3 は最下位同士の試合の勝数）
答えは【問題２】と同じく w = 6
（これが上記「最下位３選手については勝数が最下位選手同士の対戦の勝数の倍である制限を外す」ときの勝敗表が可能な理由の一つです。）
以上の考え方から、リーグ戦への参加人数を n とすると以下の二式が成立することになる。
2･(3･(n-1)-w) = n(n-1)/2 (1)
2･(3･(n-3)-(w-3))+w = n(n-1)/2 (2)
(2)-(1)より n にかかわらず
w = 6
(1)式に代入して
n(n-1)/2-12･(n-1)+24 = 0
よって n2-13n+36 = 0
n = 9 または 4
n = 4 のときは勝敗表が下記のようになり、上位選手が存在しない。＼○×○
×＼○○
○×＼○
×××＼
したがって最下位３選手を対象とする場合、 n = 9 のみが条件をみたせる。
最下位の選手を３選手から p 選手に拡張すると、(1),(2)式は次のように表現されます。
2･(p(n-1)-w) = n(n-1)/2 (1)
2･(p(n-p)-(w-p(p-1)/2))+w = n(n-1)/2 (2)
同じように(2)-(1)から w を求めると、
w = p(p-1)
(1)に代入して p について解くと
2p2-2np+n(n-1)/2 = 0
p = (n±貧)/2
p が整数となるためには n = k2 の形が必要であり、また最下位選手数が全体の半分以下であると考えると、
p = k(k-1)/2 (n = k2)
【問題１】は k = 3に対応している。
k = 4 とすると１６選手のリーグ戦を扱うことになり、この時、「全員がリーグ戦の最下位から６人までの選手との対戦で勝ち星のちょうど半数を得る」という条件になります。
実際この時は以下の勝敗表が条件に合致します。
＼○○○×× ○○○×××××××
×＼○○○× ×××○○○××××
××＼○○○ ××××××○○○×
×××＼○○ ○××××××××○
○×××＼○ ×○○×××××××
○○×××＼ ×××○○×××××
×○○×○○ ＼○○○○×××××
×○○○×○ ×＼○○○○××××
×○○○×○ ××＼○○○○×××
○×○○○× ×××＼○○○○××
○×○○○× ××××＼○○○○×
○×○○○○ ○××××＼○○○○
○○×○○○ ○○××××＼○○○
○○×○○○ ○○○××××＼○○
○○×○○○ ○○○○××××＼○
○○○×○○ ○○○○○××××＼
（最初の６選手が最下位グループです。）
n = k2 (k≧2) すべてで成立することは証明できていませんが、何とかなりそうな雰囲気です。
ちなみに n = 4 は最下位選手が１名の全敗で上の n = 4 の表のひっくり返しの形になります。
◆愛媛県 Ｋ５ さんからの解答
たとえば、＼○○○××○○○
×＼○○○×○○○
××＼○○○○○○
×××＼○○○○×
○×××＼○○×○
○○×××＼×○○
×××××○＼×○
××××○×○＼×
×××○×××○＼
このような感じになります。
解き方は、全員がリーグ戦の最下位から３人までの選手との対戦で勝ち星のちょうど半数を得たわけだから全員勝ち数は偶数になり、また最高は６勝になる。
また、リーグ戦の表から全員の勝ち星の合計は３６となるから、９人で組み合わせを考えると、６勝が３人、４勝が３人、２勝が３人となり、最下位から３人というのは、その３人全員が２勝ずつしていることになる。
そこに注目すると、その３人はお互いに１勝ずつして残りの１勝を、その３人以外の人からあげていることになる。
同様に考えて、４勝した３人は最下位の３人から２勝ずつし、上位３人は最下位３人に全勝していることになる。
このように考えて○×を当てはめていくと、あとは何通りもの組み合わせができる。
問題３は、最下位の３人から最高あげられる星数は、全員に勝ったときの３勝だから、何人参加しようが上位は最高６勝までしかできない。
また、問題文の条件から最下位の３人はお互いに１勝ずつしてリーグで２勝という形しかできない。
したがって、２勝３人、４勝、６勝を何人ずつするかという組み合わせになる。
１０人、１１人のときはリーグ戦の総勝ち数が奇数になり一人一人の勝ち数が偶数であるから、その組み合わせができない。１２人のときは最下位３人が４勝して残り９人が６勝すれば勝ち数は一致するが、最下位３人がお互いから２勝ずつすることは不可能であるから１２人も無理である。
したがって、まず最高９人であるといえる。
次に、８人のときは２勝３人、４勝４人、６勝１人、７人、６人は総勝ち数が奇数、５人のときは２勝３人で残り２人で４勝だから全員２勝ということになり、不可能。
それ以下はない。
８人のときは４勝が４人になるがそれでは２勝が３人でなくなり、結局これも不可能。
したがってこの問題では９人のみである。
◆大阪府 Non さんからの解答
【問題１】
＼○×○○×○○○
×＼○×○○○○○
○×＼○×○○○○
×○×＼○×○○×
××○×＼○×○○
○××○×＼○×○
××××○×＼○×
×××××○×＼○
×××○××○×＼
【問題２】
９人を上位３人(Aグループ),中位３人(Bグループ),下位３人(Cグループ)に分け、
A-A １勝１敗 A-B ２勝１敗 A-C ３勝０敗 （総勝ち星６、対C勝ち星３）
B-A １勝２敗 B-B １勝１敗 B-C ２勝１敗 （総勝ち星４、対C勝ち星２）
C-A ０勝３敗 C-B １勝２敗 C-C １勝１敗 （総勝ち星２、対C勝ち星１）
とすると条件を満たす。各グループ内では三つ巴の状態。
（条件を満たす形はこれだけではないが）
【問題３】
下位３人をCグループとよぶことにすると、勝ち星の数は、
・総勝ち星０（対C勝ち星０）
・総勝ち星２（対C勝ち星１）
・総勝ち星４（対C勝ち星２）
・総勝ち星６（対C勝ち星３）
の４つの可能性が考えられる。
Cグループ内対戦（総勝ち星数３）について考える。
もし総勝ち星０の選手がいたと仮定すると、
Cグループの構成は、
・総勝ち星０（グループ内勝ち星０）
・総勝ち星２（グループ内勝ち星１）...(A)
・総勝ち星４（グループ内勝ち星２）...(B)
の３人ということになり、他の選手はすべて
・総勝ち星６（対Cグループ勝ち星３）
ということになるが、そうするとCグループ選手はグループ外選手に全く勝てないことになり、(A)や(B)に矛盾する。
よって、総勝ち星０の選手はいない。
よって、Cグループの構成は、
・総勝ち星２（対C勝ち星１）
が３人ということになる。
このとき、Cグループ選手はそれぞれグループ外選手から１勝をあげていることになるが、その選手は重ならない。
（もし重なるとすればその相手はCグループ相手に高々１勝しかできないことになり矛盾）
よって、Cグループ選手に負けた選手
・総勝ち星４（対Cグループ勝ち星２）
が３人。
残りが、
・総勝ち星６（対Cグループ勝ち星３）
ということになる。
選手の総人数をn人とすれば、その内訳は、
・総勝ち星２ ３人
・総勝ち星４ ３人
・総勝ち星６ (n-6)人
となり、勝ち星の総数は、6+12+6(n-6)=6n-18だが、
総対戦数を考えると、勝ち星の総数はn(n-1)/2となるので
6n-18=n(n-1)/2を解いて、n=4,9
このうち条件に適するのは９人の時のみ。
◆東京都 じっさん さんからの解答
【問題１】＼×○○○×○○○
○＼×○×○○○○
×○＼×○○○○○
××○＼×○○○×
×○×○＼×○×○
○×××○＼×○○
×××××○＼×○
××××○×○＼×
×××○×××○＼
【問題２】
Ａ ｜Ｂ
｜
−−＋−
Ｃ ｜Ｄ
図のように対戦表の各領域にＡ〜Ｄと名前をつける。
Ｄは下位３人の中での対戦。全３戦。
Ｄ中には○が３個あり、最低１勝する人がいる。
題意から、Ｃ中の○の数とＤ中の○の数は同じ。
Ｃ中も○が３個となる。
対戦表の特性から、Ｂ中の×の数はＣ中の○の数と同じ３個となる。
Ｂ中の○の数は（ｎ−３）×３−３＝３ｎ−１２個となる。
題意から、Ａ中の○の数とＢ中の○の数は同じ。
Ａ中の○の数も３ｎ−１２個となる。
表の全体の○の数は、（Ｂ中の○の数＋Ｄ中の丸の数）×２
なので（３ｎ−１２＋３）×２＝６ｎ−１８となる。
一方、ｎ人のリーグ戦の対戦数は、
ｎ×（ｎ−１）÷２で、その数だけ対戦表に○が付くので、
ｎ×（ｎ−１）÷２＝６ｎ−１８
とならなければならない。
これを解くと、
ｎ×ｎ−１３ｎ＋３６＝０
（ｎ−４）（ｎ−９）＝０
従って、ｎ＝４，９
ただしｎ＝４の場合はＢ中の○の数が０となり、下位３人よりも上位１人の成績が低くなってしまうので題意を満たさない。
従って、９人以外は解が無い。
【問題３】
対戦者ｎ人、下位ｋ人で考える。（ｎ＞ｋ≧１）
Ｄ中の○の数はｋ×（ｋ−１）÷２
Ｃ中の○の数はｋ×（ｋ−１）÷２
Ｂ中の○の数はｋ×（ｎ−ｋ）−ｋ×（ｋ−１）÷２
Ａ中の○の数はｋ×（ｎ−ｋ）−ｋ×（ｋ−１）÷２
これらの合計は、２ｋ×（ｎ−ｋ）
ｎ人の対戦数と同じなので、
ｎ×（ｎ−１）÷２＝２ｋ×（ｎ−ｋ）
ｎ×ｎ−（４ｋ＋１）×ｎ＋４ｋ×ｋ＝０
これを解くと、
ｎ＝｛４ｋ＋１±ルート（８ｋ＋１）｝÷２
ｎは整数なので、８ｋ＋１は奇数の２乗でなければならない。
８ｋ＋１＝（２ｊ＋１）×（２ｊ＋１）
（２ｊ＋１＞０，ｊは整数）と置く。
ｋ≧１に対し、ｊ≧１となる。
これを解くと
ｋ＝ｊ×（ｊ＋１）÷２となる。
ｊとｊ＋１はどちらかが必ず偶数になるので、ｋは整数という条件を満たす。
また、このときｎをｊで表すと、
ｎ＝｛２ｊ（ｊ＋１）＋１±（２ｊ＋１）｝÷２
これを解いて
ｎ＝（ｊ＋１）×（ｊ＋１）またはｊ×ｊ
でいずれも平方数となる。
次に、ｋ人が下位と確定するためには、下位ｋ人の勝ち星（○の数）を平均化し小数点以下を切り上げた数が、 上位ｎ−ｋ人の誰の勝ち星よりも小さくなければならない。
全員、下位ｋ人との対戦で勝ち星の半分を得ることから、下位ｋ人との対戦での勝ち星の数で考えても条件は同じ。
下位ｋ人の間での対戦数（＝○の数）、即ちＤ中の○の数は、
ｋ×（ｋ−１）÷２
下位ｋ人の平均は （ｋ−１）÷２ となる。
これの小数点以下を切り上げた数は、
ｋが奇数のとき、 （ｋ−１）÷２
ｋが偶数のとき、 ｋ÷２である。
上位ｎ−ｋ人が全てこの数よりも最低１勝多く勝たなければならないので、Ｂ中の○の数は、以下の数字以上でなければならない。
ｋが奇数のとき、 （ｎ−ｋ）×｛（ｋ−１）÷２＋１｝
ｋが偶数のとき、 （ｎ−ｋ）×（ｋ÷２＋１）
Ｂ中の○の数はｋ×（ｎ−ｋ）−ｋ×（ｋ−１）÷２ なので、以下の不等式を満たす必要がある。
（１）ｋが奇数のとき
ｋ×（ｎ−ｋ）−ｋ×（ｋ−１）÷２≧（ｎ−ｋ）×｛（ｋ−１）÷２＋１｝
２ｋ×（ｎ−ｋ）−ｋ×（ｋ−１）≧（ｎ−ｋ）×（ｋ＋１）
（ｎ−ｋ）×（ｋ−１）−ｋ×（ｋ−１）≧０
（ｋ−１）×（ｎ−２ｋ）≧０
ｋ≧１なので、ｋ＝１またはｎ≧２ｋ
ｎ＞ｋなので、ｋ＝１のときｎ≧２となりｎ≧２ｋを満たすので、
まとめて ｎ≧２ｋ
ｎ≧２×｛ｊ×（ｊ＋１）÷２｝
ｎ≧ｊ×ｊ＋ｊ
これはｊ×ｊよりも大きく、（ｊ＋１）×（ｊ＋１）よりも小さい。
従って、解はｎ＝（ｊ＋１）×（ｊ＋１）だけであり、
またこの解はｎ≧２ｋの条件を満たす。
（２）ｋが偶数のとき
ｋ×（ｎ−ｋ）−ｋ×（ｋ−１）÷２≧（ｎ−ｋ）×（ｋ÷２＋１）
２ｋ×（ｎ−ｋ）−ｋ×（ｋ−１）≧（ｎ−ｋ）×（ｋ＋２）
（ｎ−ｋ）×（ｋ−２）−ｋ×（ｋ−１）≧０
（ｋ−２）×ｎ−ｋ（２ｋ−３）≧０
（ｋ−２）×ｎ≧ｋ（２ｋ−３）
ここで、ｋ＝２のとき、０≧２ で条件を満たさない。
１≦ｋ＜２の偶数は無い。
ｋ＞２のとき、両辺をｋ−２で割って、
ｎ≧ｋ×（２ｋ−３）÷（ｋ−２）
ｋ＝ｊ×（ｊ＋１）÷２を代入して、
ｎ≧（ｊ×ｊ＋ｊ）÷２×（ｊ×ｊ＋ｊ−３）÷（ｊ×ｊ＋ｊ−４）×２
ｎ≧（ｊ×ｊ＋ｊ）×｛１＋１÷（ｊ×ｊ＋ｊ−４）｝
右辺の前半はｊ×ｊよりも大きく、後半は１よりも大きいので、
ｎ＝ｊ×ｊの解は無い。
ｎ＝（ｊ＋１）×（ｊ＋１）の解についてはこれだけではわからない。
（ｊ＋１）×（ｊ＋１）−｛（ｊ×ｊ＋ｊ）×（ｊ×ｊ＋ｊ−３）÷（ｊ×ｊ＋ｊ−４）｝≧０
が成り立てばｎ＝（ｊ＋１）×（ｊ＋１）は条件を満たすことになる。
（ｊ＋１）×（ｊ＋１）×（ｊ×ｊ＋ｊ−４）−ｊ×（ｊ＋１）×（ｊ×ｊ＋ｊ−３）≧０
（ｊ＋１）×（ｊ×ｊ＋ｊ−４）−ｊ×（ｊ×ｊ＋ｊ−３）≧０
ｊ×ｊ×ｊ＋２ｊ×ｊ−３ｊ−４−ｊ×ｊ×ｊ−ｊ×ｊ＋３ｊ≧０
ｊ×ｊ−４≧０
（ｊ＋２）×（ｊ−２）≧０
ｊ≧２
これを満たさないのはｊ＝１の時だけであるが、
ｊ＝１の時はｋ＝２×３÷２＝１で奇数であるため、
ｋが偶数であれば必ずｊ≧２を満たすことになる。
従って、ｋが奇数でも偶数でも、ｎ＝ｊ×ｊの解は無く、
ｎ＝（ｊ＋１）×（ｊ＋１）の解は条件を満たす。
結果として、
ｊ＝１，２， ３， ４， ５， ６，．．．に対し、
ｋ＝１，３， ６，１０，１５，２１，．．．
ｎ＝４，９，１６，２５，３６，４９，．．．
が決まる。
上記以外の解は無い。
解答
【問題】
あるスポーツでは，ｎ人の参加選手全員の総当りのリーグ戦で順位を決めています。
ただしこのスポーツには引き分けがないとします。
今回の対戦では、選手は全員がリーグ戦の最下位からｋ人までの選手との対戦で勝ち星のちょうど半数を得ました。
に解があるという条件で、ｎとｋに当てはまる数字は以下の条件を満たす。
正の整数ｊ（ｊ＝１，２，３，．．．）に対し、
ｋ＝ｊ×（ｊ＋１）÷２
ｎ＝（ｊ＋１）×（ｊ＋１）
問題３はこれ以外に解は無いことは証明できましたが、この対戦表が必ず作れることは証明の
方法がわかりませんでした。
残念。
◆愛知県 迷子の雄猫 さんからの解答
＼○○×○×○○○
×＼×○○○○○○
×○＼×○○○○○
○×○＼×××○○
×××○＼○○×○
○××○×＼○○×
×××○××＼○×
××××○××＼○
×××××○○×＼
下位３人以外を上位陣と定義する。
１人あたりの試合数をｎとおく。
試合に参加した人は全て偶数個の勝ち星を上げたから、各個人の勝利数は６，４，２，０のいずれかである。
このゲームには引き分けがないので、
全員の勝数合計＝全員の負数合計＝１人あたりの試合数Ｘ人数÷２
上位（ｎ−２）人が全て６勝（下位３人に３勝０敗）したと考えると、
（勝数−負数）の合計は、(ｎ−２)(１２−ｎ)となる。
実際には下位３人同士では、３勝３敗となるから、下位３人は全員で、６勝したことになる。
つまり、上位陣は下位３人に、合計３敗している。
上位陣の（勝数−負数）の合計は、
(ｎ−２)(１２−ｎ)−１２となる。
これが下位三人の（負数−勝数）
つまり(３ｎ−１２)と等しいから、
(ｎ−２)(１２−ｎ)−１２＝(３ｎ−１２)
これをといて、ｎ2−１１ｎ＋２４＝０
ｎ＝８またはｎ＝３
試合数＝(参加人数−１)より、考えられる人数は９人または４人
しかし、参加人数が４人であると、上位陣が一人しかいないので、上位陣一人は下位３人に、合計３敗、つまり全敗していることになる。
これでは２勝している下位３人より上位にはなれないので、考えられる人数は９人のみ。
＝証明終わり＝
９人しかありえないのにはおどろきました。
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