◆茨城県の中学校１年生 新五百円玉 さんからの解答
【問題１−１】
Ａの方は２分の１で当たる
Ｂの方は，まず正解を「ア」と「ａ」だと仮定する。
選び方は４×４で１６通りあり，
当たる場合は，初め「ア」を選んだ場合の４通りと，「ア」ではないものを選んだあとに「ａ」を選んだ場合の３通りで，確率は１６分の７になる。
よってＡのゲームの方が有利になる。
【問題１−２】
１６分の７
【問題２】
実際に正常な人は１９８００人いる。
また，実際に病気にかかっている人は２００人いる。
正常な人のうち１９８００×５％の９９０人は病気にかかっていると診断される。
病気の人のうち２００×９５％の１９０人は病気にかかっていると診断される。
よって，実際に病気にかかっている確率は
１９０＋９９０分の１９０＝１１８分の１９となる。
答えは１１８分の１９
◆山梨県 Footmark さんからの解答
【問題１】
Ａのゲームで賞品をもらえる確率＝１/２。
Ｂのゲームで賞品をもらえる確率
＝(１/４)＋(３/４)*(１/４)＝７/１６
【問題１−１】
Ａが有利。
【問題１−２】
７/１６
【問題２】
病気である者が陽性となる人数 ： 病気でない者が陽性となる人数
＝ （１ｘ９５）：(９９ｘ５)
＝ １９：９９
よって、
病気にかかっている確率
＝１９/（１９＋９９)
＝１９/１１８
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
【問題１−１】
Ｂの方が損である。
Ａの期待値は０．５である。
一方、単純にはＢのほうの期待値は０．２５×２＝０．５で同じある。
しかし２回当たっても賞品は１個であるから、その分期待値が低下し、Ｂは損である。
【問題１−２】
０．４３７５
１／４＋３／４＊１／４＝７／１６＜１／２
【問題２】
０．１６１０１
正確さ＝病気であって陽性の確率＝病気でなくて陰性の確率＝０．９５
の意味とします。
[陽性] ＝[病気で陽性]＋[病気でなくて陽性]
[病気で陽性]＝200*0.95＝190
[病気でなくて陽性]＝(20000-200)*(1-0.95)＝990
港さんが病気の確率=[病気で陽性]/ [陽性] =190/(190+990)=19/118=0.16101…
【正確さの別定義の場合１】
閾値が病気の側で３σ、すなわち病気である人を９９．８６５％陽性とするように設定されている場合。
＝０．１６６６７
病気であって陽性の確率：ｐ＝０．９９８６５≒１
正確さ≒(q*19800+p*200)/20000＝０．９５
の意味とします。ここでｑ：病気でなくて陰性の確率
よってｑ= ０．９４９５
[陽性] ＝[病気で陽性]＋[病気でなくて陽性]
[病気で陽性]＝200*0.99865＝200
[病気でなくて陽性]＝(20000-200)*(1-0.9495)＝1000
港さんが病気の確率=[病気で陽性]/ [陽性] =200/(200+1000)=1/6=0.16666…
【正確さの別定義の場合２】
正確さの定義が陽性側だけで定義の場合＝０．９５
つまり
正確さ＝ [病気で陽性]／[陽性]＝０．９５
◆東京都 Q平 さんからの解答
【問題１】
１と２一緒に答えたほうが解答が楽なので一緒にします。
まず、Ａで商品が貰える確率はそのまま １/２ ある。
次にＢで商品が貰える場合とその確率は、
1回目 ２回目 当（1/4） ハズレ（3/4） 3/16 当（1/4） 当（1/4） 1/16 ハズレ（3/4）当（1/4） 3/16の３通りである。
1/2＞7/16 なのでＡのほうが有利であることが分かる。
【問題２】
Ａ：検査で陽性、Ｂ：実際の病気であるとすると、
P(B)＝0.01 P(A|B)＝0.95 である。
ここで、ベイズの定理を使いたいんだが、
この場合のベイズの定理の形は Xの余事象をX\とすると、
P(B|A)＝ P(B)*P(A|B) / { P(B)*P(A|B) + P(B\)*P(A|B\) ｝
となる。
これに値を代入して行けばよいが、P(A|B\)の値が求まらない。
授業でやった問題を見てみると、更に後一つのデータが与えられていた。
感度と特異性、と言う表現をしていたが、両方が95%であると解釈して計算すると、
P(B|A)＝ 0.161となり、検査で陽性が出ても実際に病気である確率は 約１６％なのであるので、港さんの考えは間違っていて、もうちょっと気楽に考えても良いよ、とアドバイスできる。
◆富山県 ヨーリー。 さんからの解答
【問題１−１】
とりあえず数量的な話をすると問題１−２まで突き抜けてしまうんでできるだけ理論的に 問題ででていた説に一つずつ考えていきます。
＞１、Ａの方は確率２分の１。
＞Ｂの方は当たり２つに、はずれが６つもある。
＞だからＡの方がかなり有利だろう。
これについてはＢコースの選択の仕方に問題があります。
一回目のボタンにはあたりが１つはずれが３つ、二回目のボタンにあたりが１つはずれが３つ。
この中でそこを押した時点で確実にはずれというボタンは二回目のはずれ三つしかありません。
というのは一回目のはずれのボタンは次に二回目のボタン郡から当たりを引けばいいということなのではずれというよりは「もう一回」ボタン。
話を総合するとあたり２つ、もう一回３つ、はずれ３つの計８個でこの理論では決定できません
＞２、２回挑戦できるＢの方がよさそうだ。
一見そのようにも見えますがＢはＡよりも当たりを引く確率ははるかに低く、この理論でも決定はできません
＞３、Ｂは確率４分の１で２回挑戦できるのだから、２分の１になって同じだろう。
一番正論のように見えますが大事なことを一つ忘れています。
「両方当たっても１つしか貰えない」ということです。
この事により一回目の４分の１と２回目の４分の１でかぶるところが発生し純粋に足すことができないということです。
ということは実際には２分の１より少なくなっています。
３番よりＡがお得になります。
【問題１−２】
Ｂコースの確率を簡単に求めます。仮にアとａが当たりだとして
ａｂｃｄ
ア○○○○
イ○×××
ウ○×××
エ○×××
ここの時点では７/１６、答えの組み合わせはア〜エとａ〜ｅで１６通りですべて確率は一緒。
これらから
Ｂコースの当たりの確率＝７/１６*１６*１/１６＝７/１６
【問題２】
ここで２００００人と言う具体的な数が使われているので使わせてもらいます。
実際に陰性の人（１９８００人）
正確に診断された人＝１９８００＊０．９５＝１８８１０人（陰性と診断される）
間違って診断された人＝９９０人（陽性と診断される）
実際に陽性の人（２００人）
正確に診断された人＝２００＊０．９５＝１９０人（要請と診断される）
間違って診断された人＝２００＊０．０５＝１０人（陰性と診断）
これより
陽性と診断された人は１１８０人でその内本当に陽性の人は１９０人
よって
１９０/１１８０＝0.16101694915254237288135593220339
約１６．１％
◆神奈川県の高校生 Osamu さんからの解答
【問題１】
賞品をもらえる確率は Ａのゲ−ム:1/2
Ｂのゲ−ム:
最初のゲイムで勝つ事象を Ｃ,２回目のゲ−ムで勝つ事象をＤ とおく。
(求める確率)
=P(C∪D)
=P(C)+P(D)-P(C∩D)
=1/4+1/4-(1/4)2
=7/16
ゆえに､Ａのゲ−ム:1/2, Ｂのゲ−ム:7/16
Ａの方が有利。
【問題２】
<<こういう問題って大抵偽>>
検査を受けた20000人のうち､
病気にかかっていないのに陽性と出た人:
(20000[人]-200[人])*(1-95[%])=990[人] ･･･(a)
病気にかかっていないので陰性と出た人:
(20000[人]-200[人])*95[%]=18810[人]
病気にかかっている ので陽性と出た人:
200[人]*95[%]=190[人] ･･･(b)
病気にかかっている のに陰性と出た人:
200[人]*(1-95[%])=10[人]
港さんは(a),(b)のうちの何れかである。
病気にかかっている確率は
190[人]/(990[人]+190[人])=19/118≒16.102...[%]
ゆえに偽。でもちゃんと精密検査すべき。
◆京都府 ゴレンジャイッ!! さんからの解答
【問題[１−１]と[１−２]の解】
Aが当たる確率は1/2
Bのゲームで賞品をもらえる確率は、
１-(２回ともはずれる確率)=1-(3/4)2=7/16 だから、 Aの方が有利といえる。
【問題２】
Aを検査の結果が病気だと示す事象、Cを港さんが病気であるという事象とする。
この場合、Aという条件の下で港さんが病気にかかっている確率P(C/A)は、ベイズの定理より
P(C/A)＝P(C)P(A/C)/{P(C)P(A/C)＋P(C~)P(A/C~)} ( P(C)+P(C~)=1 )
P(C)=0.01 P(C~)=0.99 P(A/C)=0.95 P(A/C~)=0.05 であるから、
P(C/A)＝0.01×0.95/(0.01×0.95+0.99×0.05)=0.161
よって、このとき港さんが病気である確率は約16%であり、港さんの考えは間違いであることがわかる。
・感想
問題１の実験では256回中116回当たって、ほぼ理論通りの結果でした。
問題２は今後のためにもいい問題でした。
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