●，●，●，●，●， ○，○，●，○，○， ●，○，●，●，●， ●，○，●，○，○， ●，●，●，●，●
◆北海道 takuya さんからの解答
【問題１】●，●，●，●，●，
○，○，●，○，○，
●，○，●，●，●，
●，○，●，○，○，
●，●，●，●，●
いわゆる「ナンクロ」に似ていますね。
ExcelのVBAで計算させました。
VBAには2進数にする関数がないので解くのに時間がかかりました。
左上の生徒から順に右方向へ1〜25の番号をつけて解きました。
'10進数⇒2進数
Option Explicit
Dim a As Long '10進数の数値
Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim k As Long
Dim b(1 To 25) As Byte
Dim flag As Boolean
Sub nishinka()
flag = False
Erase b
a = Cells(1, 1).Value
'If a >= 2 ^ 25 Then GoTo errow1
For k = 2 ^ 25 - 1 To 1 Step -1
Erase b
a = k
'******2進化する**********
For i = 1 To 25
If a >= 2 ^ (25 - i) Then
b(i) = 1
a = a - 2 ^ (25 - i)
Else: b(i) = 0
End If
Next
tyousa
If flag = True Then Exit For
Next
If flag = False Then GoTo err1
For j = 1 To 25
Cells(j, 1).Value = b(j)
Next
MsgBox ("解が見つかりました。")
Exit Sub
err1: MsgBox ("解なし")
End Sub
Sub tyousa()
flag = False
Do
If b(2) + b(6) + b(7) <> 1 Then Exit Do
If b(1) + b(3) + b(6) + b(7) + b(8) <> 3 Then Exit Do
If b(2) + b(4) + b(7) + b(8) + b(9) <> 3 Then Exit Do
If b(3) + b(5) + b(8) + b(9) + b(10) <> 3 Then Exit Do
If b(4) + b(9) + b(10) <> 1 Then Exit Do
If b(1) + b(2) + b(7) + b(11) + b(12) <> 3 Then Exit Do
If b(1) + b(2) + b(3) + b(6) + b(8) + b(11) + b(12) + b(13) <> 6 Then Exit Do
If b(2) + b(3) + b(4) + b(7) + b(9) + b(12) + b(13) + b(14) <> 5 Then Exit Do
If b(3) + b(4) + b(5) + b(8) + b(10) + b(13) + b(14) + b(15) <> 7 Then Exit Do
If b(4) + b(5) + b(9) + b(14) + b(15) <> 4 Then Exit Do
If b(6) + b(7) + b(12) + b(16) + b(17) <> 1 Then Exit Do
If b(6) + b(7) + b(8) + b(11) + b(13) + b(16) + b(17) + b(18) <> 5 Then Exit Do
If b(7) + b(8) + b(9) + b(12) + b(14) + b(17) + b(18) + b(19) <> 3 Then Exit Do
If b(8) + b(9) + b(10) + b(13) + b(15) + b(18) + b(19) + b(20) <> 4 Then Exit Do
If b(9) + b(10) + b(14) + b(19) + b(20) <> 1 Then Exit Do
If b(11) + b(12) + b(17) + b(21) + b(22) <> 3 Then Exit Do
If b(11) + b(12) + b(13) + b(16) + b(18) + b(21) + b(22) + b(23) <> 7 Then Exit Do
If b(12) + b(13) + b(14) + b(17) + b(19) + b(22) + b(23) + b(24) <> 5 Then Exit Do
If b(13) + b(14) + b(15) + b(18) + b(20) + b(23) + b(24) + b(25) <> 7 Then Exit Do
If b(14) + b(15) + b(19) + b(24) + b(25) <> 4 Then Exit Do
If b(16) + b(17) + b(22) <> 2 Then Exit Do
If b(16) + b(17) + b(18) + b(21) + b(23) <> 4 Then Exit Do
If b(17) + b(18) + b(19) + b(22) + b(24) <> 3 Then Exit Do
If b(18) + b(19) + b(20) + b(23) + b(25) <> 3 Then Exit Do
If b(19) + b(20) + b(24) <> 1 Then Exit Do
flag = True
Exit Do
Loop
End Sub◆東京都 hirojk さんからの解答
【問題１】●，●，●，●，●，
○，○，●，○，○，
●，○，●，●，●，
●，○，●，○，○，
●，●，●，●，●
<考え方>
生徒の周りには最大で８人居ます。
帽子が７個見えている生徒に注目すると、１つだけ見えている生徒が隣接しています。
その場合、７の生徒が帽子を被っていると、１の生徒の周りは他には帽子を被っていないことになり、もし１の生徒が帽子を被っていても８−２で７の生徒が見える帽子は６こで矛盾します。→７の生徒は帽子を被らない。？，？，？，？，？，
？，？，？，○，？，
？，？，？，？，？，
？，○，？，○，？，
？，？，？，？，？
ここで左下の２の生徒に注目すると、隣り合った３，４の生徒が帽子を絶対に被っていることになります。
左列真中の１は下の３の生徒が帽子を被っているのが確定しているので、周りの他の生徒は帽子を被ってないことになります。？，？，？，？，？，
△，△，？，○，？，
？，△，？，？，？，
●，○，？，○，？，
？，●，？，？，？
左下の７の周りのうち１つ被っていない生徒が決まったので、他の７人は被っていることになります。？，？，？，？，？，
○，○，？，○，？，
▲，○，▲，？，？，
●，○，▲，○，？，
▲，●，▲，？，？
ここで、下行真中の３は決まっていない右側の？が帽子を被っていないと数があいません。
すると一番右下の１は隣の３が被っているので、上の４は帽子を被らないことになります。？，？，？，？，？，
○，○，？，○，？，
●，○，●，？，？，
●，○，●，○，△，
●，●，●，▲，？
右下側の７の周りで帽子を被っていない生徒が分かったので、それ以外は帽子を被っています。？，？，？，？，？，
○，○，？，○，？，
●，○，●，▲，▲，
●，○，●，○，○，
●，●，●，●，▲
右列真中の１は隣が帽子を被っているので、上の一人は帽子を被らないことになります。
すると右上側の７の周りで帽子を被っていない生徒が決まるので、他は帽子を被っています。？，？，▲，▲，▲，
○，○，▲，○，△，
●，○，●，●，●，
●，○，●，○，○，
●，●，●，●，●
あとは左上側の６の生徒、または３の生徒などから残りの二人が帽子を被っているのが分かります。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答
【問題１】●，●，●，●，●，
○，○，●，○，○，
●，○，●，●，●，
●，○，●，○，○，
●，●，●，●，●
[ 図の説明 ]
◆海外 Londonたぬき さんからの解答
【問題１】●，●，●，●，●，
○，○，●，○，○，
●，○，●，●，●，
●，○，●，○，○，
●，●，●，●，●
＜考察過程＞
少々長いですが。
(縦に上からＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ。横に左からア、イ、ウ、エ、オと番号をふり、例えば上から2つめ、左から3番目の子をＢ-ウとあらわすことにします。）
(1)Ｂ-エは7であることから、この子の周囲8人のうち、帽子をかぶっていない子は1人だけと考えられます。
また、Ａ-オは1人であることから、この2人に共通して見えている、Ａ-エとＢ-オの子のうち一人は帽子を被っており、もう一方は帽子を被っていないことがわかります。
（何故なら、最初の条件より、Ａ-エとＢ-オは、「どちらか一方が帽子を被っており、どちらか一方は被っていない」、または「両方とも帽子を被っている」の2通り状態が想定でき、後半の条件より、Ａ-エとＢ-オは「両方とも帽子を被っている」というケースは否定される為。）
(2)また、同時に、Ａ-オの残りの隣人Ｂ-エは帽子を被っていなく、Ｂ-エの他の隣人Ａ-ウ、Ａ-オ、Ｂ-ウ、Ｃ-ウ、Ｃ-エ、Ｃ-オの6人が帽子を被っていることが確定します。
(3)Ａ-エは3で、(2)から周囲の5人のうち3人の帽子を被っている子(Ａ-ウ、Ａ-オ、Ｂ-ウ）が確定していることから、Ｂ-オの子が帽子を被っていないことが確定。
この結果、(1）からＡ-エの子が帽子を被っていることが確定します。
(4)Ｄ-エの7、Ｅ-オの1に注目して同様の考え方で、Ｄ-ウ、Ｅ-ウ、Ｂ-エ、Ｂ-オが帽子を被り、Ｄ-エ、Ｄ-オが帽子を被っていないことが確定します。
(5)Ｃ-ウは3で、これまでにでＣ-ウの周囲8人のうち帽子を被っている3人（Ｂ-ウ、Ｃ-エ、Ｄ-ウ）が確定したことから、まだ確定していないＢ-イ、Ｃ-イ、Ｃ-イの3人が帽子を被っていないことが確定します。
(6)Ｄ-イは7で、周囲8人のうち帽子を被っていない子は1人だけ。
且つ、(5)でＣ-イが帽子を被っていないことが確定していることから、まだ確定していないＣ-ア、Ｄ-ア、Ｅ-ア、Ｅ-イが帽子を被っていることが確定します。
(7)Ｅ-アは2で、帽子を被っている2人（Ｄ-ア、Ｅ-イ）が確定したことから、Ｄ-イは帽子を被っていないことが確定します。
(8)Ｃ-アは1で、隣のＤ-アが帽子を被っていることが確定していることから、確定していないＢ-アが帽子を被っていないことが確定します。
(9)Ａ-アは1で、周囲の3人のうち2人(Ｂ-ア、Ｂ-イ）が帽子を被っていないことが確定していることから、残るＡ-イは帽子を被っていることで確定。
(10)Ａ-イは3で、周囲5人のうちＡ-ウ、Ｂ-ウは帽子を被っており、Ｂ-ア、Ｂ-イが帽子を被っていないことが各々確定していることから、Ａ-アが帽子を被っていることが確定。
以上で全ての子について確定した。
【問題２−１】
Ａ
＜証明＞Ａの立場で考える。
Ａからは、Ｂが赤で、Ｃが黒であること、ＢとＣ共に手を挙げていることが見えている。
もし、自分が黒であるならば、Ｂから見えているＡとＣともに黒帽子となり手を挙げているはずはないから、自分は赤であることが分かる。
（同様の考え方は、Ｂの立場にたっても成り立つが、ＡはＢよりすばやいという条件から、Ａが勝つ。）
尚、ＣにはＡとＢ共に赤であり、ＡとＢ共に手を挙げているのが見える。
Ｃが赤帽子、黒帽子の場合でもＡとＢは互いの赤帽子をみて手を挙げている状態が想定できることから、Ｃは自分が赤か黒か即座には確定出来ない。
【問題２−２】
Ａ （但し、2-1の場合より反応までにしばらく間があり）
Ａ、Ｂ、Ｃは共に他の2人が赤帽子であり、共に手を挙げていることが見えている。
この場合、問題2-1のＣの立場に立って考えたとおり、自分の帽子が赤か黒か即座には判定できない。
しかしながら、しばらく後に、Ａが聡明ならば。
（以下Ａの思考内容）
もし自分(Ａ)が黒帽子ならば、Ｂからは自分の黒帽子と、Ｃの赤帽子が見えているはずである。
この時Ｂは自分(Ｂ)が黒帽子と仮定すれば、Ｃには赤帽子は見えないはずだから、自分の色は黒で無く赤に違いないと判断し、Ｂは直ぐに自分は赤帽子であると回答するであろう。
同様にＣも、自分の帽子が赤帽子であることがすぐ判断できるはずである。
しかしながら、実際にはＢもＣも即答していないことから、自分は赤帽子であると判断できる。
（Ｂ、Ｃも上記と同様の思考を行い、自分の帽子の色を赤と判断できるが、Ａが一番すばやいとの条件から、Ａが回答となる。）
【問題２−３】
４すくみ
Ａの立場に立って考える。(Ｂ,Ｃ,Ｄの立場に立っても同様です。）
Ａからは、Ｂ、Ｃ、Ｄが共に赤帽子であり、全員手を挙げている状態が見える。
もし、自分(Ａ)が黒、赤どちらの場合であっても、Ｂは少なくともＣとＤの2つの赤帽子が見えており、Ｂは自分が黒帽子であるか、赤帽子であると回答できない。
（何故なら、Ｂが自分を黒帽子と仮定しても、ＣとＤが赤であることから、ＣとＤがそれぞれ互いの赤帽子を見て手を挙げているのだと推測できる為、Ｂは自分が赤であると確定出来ない為。）
これは、Ｃ、Ｄについても同じ。
よって自分(Ａ）は、自分が黒か赤か判断出来ない。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
問題２−２ はポピュラーですね。
そこでちょっと天邪鬼してみました。
【問題１】
下記のアンダーラインの位置の ７人と１人を手がかりに始めると、下記のとおり。●，●，●，●，●，
○，○，●，○，○，
●，○，●，●，●，
●，○，●，○，○，
●，●，●，●，●
【問題２】
赤を０ 黒を１ 挙手を１ で状態をあらわします。
【問題２−１】
Aが勝ち
Ｃのすばやさは下記のように関係しません。
【問題２−２】
Ｃが勝ち
Ｃ：自分は一番反応が遅い。
自分が黒であるとすると、自分が挙手した時点で問題２−１の考えた方からAが即座に判断し勝つであろう。
赤の場合は、みんなが判断できない状態にあるので、Aはその状況を確認して自分が赤と確信し、即座に勝つであろう。
よって、ここは赤といってみるしか勝機はない。
【問題２−３】
だれも判断ができない。
自分が赤でも黒でも全員が挙手し、かつ判断出来ない状態であることは矛盾していない。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
この問題では、
以後、
明らかに帽子をかぶっている生徒を赤マス。
明らかに帽子をかぶっていない生徒を青マス。
どちらか不明な生徒を白マス。
さらに、
帽子をかぶっていない可能性のある生徒を薄青マス。
とします。
周囲８マスでは、７個が赤マスで１個が青マスの筈です。
そこで、周囲８マスから、それぞれ1個の青マスを探すものとします。
以下、上図の左端の場合を例とします。
周囲８マスで唯一の青マスを赤マスに変えるものとします。
（上図の黄色数字のマス）
すると、以下になる筈です。
（１） 周囲８マスはすべて赤マス。
（２） 変えたマスを見ることのできる周囲のマスの数字はどれも1つ増える。
（上図の青色数字）
すると（１）より、周囲８マスのどこかのマスに１がそのまま存在するのは明らかに矛盾します。
故に（２）より、１を変えるためには変えたマスは[１のあるマス]からも見えなければなりません。
結局、唯一の青マスは、周囲８マスの内で、[１のあるマス]の周囲のマスであることになります。
すると、それぞれの周囲８マスにおける青マスの各候補は以下の薄青マスとなります。
ところで、上の左２つの図では、どちらの図にも[１のあるマス]が２個存在します。
その２個の１を両方とも変えるには、どちらの[１のあるマス]からも見えるマスでなければなりません。
上の右端の図では、[３のある薄青マス]からは既に赤マスが３個見えてます。
ですから、[５のある薄青マス]は赤マスでなく青マスでなければなりません。
すると、それぞれの周囲８マスにおける唯一の青マスは以下と決定します。
これらを一緒にすると、下の左端の図となります。
左端の図の黄色数字に注目すると、そのマスから既に数字と等しい個数の赤マスが見えています。
ですから、[７のあるマス]はいずれも青マスです。
（左から２番目の図）
左から２番目の図の黄色数字に注目すると、そのマスから既に数字と等しい個数の赤マスが見えています。
ですから、左上隣の[３のあるマス]や上隣の[６のあるマス]はいずれも青マスです。
（左から３番目の図）
左から３番目の図の黄色数字に注目すると、そのマスから見える赤マスの個数は、マスにある数字より２個不足しています。
ですから、左上隣の[１のあるマス]や上隣の[３のあるマス]の、２個のマスはいずれも赤マスです。
（右端の図）
（余談）
正解が「正解」の頭１文字の「正」の字になっているのが憎いですね。
【問題２】
背理法を使うので、【問題２−１】や【問題２−２】ではＡになりきって解答します。
（甲州弁が多少入るかもしれませんが、あしからず。）
【問題２−１】ステージ
おっ、Ｂが赤でＣが黒か。
赤が見えるんだから手も挙げなきゃあ〜。
おうおう、ＢもＣも手を挙げたぞ。
あれ？
俺もＣも、Ｂが赤だから手を挙げたけど、Ｂは何故手を挙げるんだ？
あっそうか、Ｃは黒だから俺しかないじゃん。
「は〜い。俺、赤で〜す。」
【問題２−２】ステージ
おっ、今度はＢもＣも赤だ。
赤が見えるんだから手も挙げなきゃあ〜。
おうおう、ＢもＣも手を挙げたぞ。
まいったなあ、ＢもＣも赤じゃあ俺の色なんて判るわけないじゃん。
俺が何色だって、二人が手を挙げるのに何の不思議もねぇもんなあ〜。
まてよ、もし俺が黒だとすると、【問題２−１】ステージで俺が気付いたようにＢもＣも気付く筈だぞ。
いくらのろまだって、もう気付いてもいい時間なのに、まだ気付かんぞ。
あっそうか、ちゅうことは俺は黒じゃなくて赤っちゅうこんじゃん。
「は〜い。俺、赤で〜す。」
【問題２−３】
この問題も、自分を仮に黒と仮定すると、他の３人は【問題２−２】ステージのＡの立場と一緒です。
ですから、【問題２−２】ステージでＡが気付いたように、他の３人もいずれは気付く筈です。
ところが、いくらたっても他の３人が気付かなければ、翻って自分は黒でなく赤と気付くことができます。
[ P・S]
【問題２−２】や【問題２−３】に限らず、３人以上なら同様な背理法が成立します。
でも、気付くまでの時間は人によって、まちまちです。
ですから、どれだけの時間をもって気付かなかったとすべきかが問題です。
また、全員が可能な限りの背理法を駆使することも条件になります。
そんな訳で、現実的には４人以上となると、この推論はあまりあてにならないでしょうね。
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