◆神奈川県の小学生 ☆ＫＡＮＡ☆ さんからの解答
【問題１】赤● 緑◆ 黄■ 青★
黄◆ 青● 赤★ 緑■
青■ 黄★ 緑● 赤◆
緑★ 赤■ 青◆ 黄●
【問題２】
まず、２つの蚊取り線香のうち１つは両はじから、もう１つは片側だけから、同時に火をつける。
すると、３０分後に、両はじから火をつけたほうが燃え尽きる。
片側だけから火をつけたほうは、ちょうど半分のところまで燃えている。
その時に、はじめ片側だけから火をつけた方の蚊取り線香のもう片方のはじから火をつける。
すると、１５分後にそちらの蚊取り線香も燃え尽きる。
始めの３０分とあわせて、４５分後に、ちょうど二つの蚊取り線香が燃え尽きたことになる。
◆上海日本人学校２年生 中山晨超 さんからの解答
【問題１】
【原始的な考え方（笑）】
僕は消去法で解きました。
まず、赤●，青◆，緑★，黄■をベースとして考えます。
（どこかの列、行、斜めに必ず「赤●，青◆，緑★，黄■」の組み合わせがあるはずです。）
それで、赤●，青◆，緑★，黄■を下のように置きます。
（どこでも良いのですが、斜めに置いたほうが少し簡単になります） １ ２ ３ ４
１赤●，＊＊，＊＊，＊＊，
２＊＊，青◆，＊＊，＊＊，
３＊＊，＊＊，緑★，＊＊，
４＊＊，＊＊，＊＊，黄■
例えば（１、２）を考えてみます。
ここには、１の列には赤,●、２の行には青,◆が使われているので、黄★か緑■しか置けない事になります。
※緑★、黄■はもう使われている
つまり、もうここで選択肢が二つになったわけです。
＜黄★の場合＞
まず黄★を置きましょう。 １ ２ ３ ４
１赤●，＊＊，＊＊，＊＊，
２黄★，青◆，＊＊，＊＊，
３＊＊，＊＊，緑★，＊＊，
４＊＊，＊＊，＊＊，黄■
すると、（１、３）は青■に確定されます。
次に、（１、４）は緑◆に確定されます。
このように、確定されるところにどんどん駒を置いていけば、いずれ全てのマスに駒が置かれ、問題１が解けます。
しかし、この選択肢の場合、置けなくなる（矛盾が起こる）時がきます。
つまり、この選択肢は誤ってたという事になるので、残りの緑■が正解に導く選択肢になります。
そうして、出てきた答えがこれです。
【答え】赤●，黄★，青■，緑◆，
緑■，青◆，黄●，赤★，
黄◆，赤■，緑★，青●，
青★，緑●，赤◆，黄■
【問題２】
蚊取り線香をＡ、もう一方の蚊取り線香をＢとする。
最初にＡのはじめの方ととおわりの方の両方に火をつける。
Ｂははじめの方だけに火をつける。
Ａがすべて燃え尽きたら、（その時は１時間の１/２なので３０分間経過した事になる）Ｂの終わりの方に火をつける。
（現時点Ｂは３０分が過ぎたので、残り３０分間の蚊取り線香が残っている事になる）
そしてＢがすべて燃え尽きる。
（その時は３０分の１/２なので終わりの方につけてから１５分経過した事になる）
結論：
ＡとＢに火をつけた時からＢが燃え尽きた時間は４５分間である。
感想；単純なんだけど、実用的で興味深い問題ですね。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】変形ラテン方陣ですね。赤●，青◆，緑★，黄■，
緑◆，黄●，赤■，青★，
黄★，緑■，青●，赤◆，
青■，赤★，黄◆，緑●
【問題２】
２本の香取線香をA,Bとする。
１）
同時に、
Aの香取線香は両端に点火する。
Bの香取線香は１方の端に点火する。
２）
Aの香取線香が燃え尽きたときに、Bの香取線香のもう１方の端に点火する。
３）Bの香取線香が燃え尽きたときが、４５分。
６０÷２＋３０÷２＝４５
【問題３】
１＋８＋１２＋３＝２４
３＋６＋１０＋５＝２４
５＋９＋ ８＋２＝２４
２＋１２＋６＋４＝２４
４＋１０＋９＋１＝２４
【おまけ】
A+F+G+C=24
C+H+I+E=24
E+J+F+B=24
B+G+H+D=24
D+I+J+A=24
2*(A+B+C+D+E+F+G+H+I+J)=120
A+B+C+D+E+F+G+H+I+J=60
A,B,C,D,E,F,G,H,I,J はすべて異なる自然数であり、
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 であるから、最大の数は15以下でなければならない。
したがって、A,B,C,D,E,F,G,H,I,J はすべて15以下の数でなければならない。
結果的に、11,14,15は使えない。
これは、プログラムで探索した結果ですが、数学的な証明は保留。
上図を固定しての結果（プログラムによるの探索。）２４０通り。
上図を固定しない場合（回転、裏返し。）
２４０÷１０＝２４
２４通り。
２つのグループに分かれることに気づきました。
１） (1,2,3,4,5,6,8,9,10,12) 10個
２） (1,2,3,4,5,6,7,9,10,13) 10個
結果は同数組。
これで、数学的に証明すべきことが揃ったと思います。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
（蛇足）
本問題は魔方陣を２段のラテン方陣からつくる問題と近い。
下図は解答に対応する４方陣である。
従って解答は対角線上もばらばらになっている。
【問題２】 下図手順
【問題３】
【おまけ】
(1)すべて２回ずつ使用されており、
全合計×２＝５×２４より 全合計＝６０である。
(2)１点Ｐをとおる２方向の和を考えると
２Ｐ＋その他６点合計＝２×２４ である。
その他合計の最小値は１＋２〜６＝２１であるので Ｐ＝１３が最大である。
(3) 1を使わないと2〜１１の和は６５で６０を超過する。
よって１は必須。同様に１〜５は必須。
即ち１〜５の５個と ６〜１３から選んだ異なる数字５個の合計が６０であるものを使用しなければならない。
よって1〜５ 以外の数字の組み合わせは
(6,7,8,11,13) (6.,7,9,10,13) (6,7,9,11,12)
(6,8,9,10,12) (7,8,9,10,11)の5通りである。
(4)l回転対称、左右対称に加え、下図のような内外入れ替えの対称性がある。
よって、回転対称（５対称）と内外入れ替え（２対称）を使って、
左図でのＡ１＝１に限定（１０対称）してよい。
さらに、Ｂ１≠２の場合、左右対称性で
２の入れ場所は→Ａ２｜Ａ３｜Ｂ２｜Ｂ３ のみを考えればよい。
一方、Ｂ１＝２の場合は左右対称性で
３の入れ場所は→Ａ２｜Ａ３｜Ｂ２｜Ｂ３ を考えればよい。
(5)Ａ１〜Ａ５が決まると Ｂ１〜Ｂ５は下記で計算される。
Ｂ［ｉ］＝12+Ａ[i]-A[i-1]-A[i+1]
添え字iは1〜５。
添え字加減結果は mod(結果-1,5)+1を行う。
以上を用いて限定的に探索すると、全部で１２通りあった。
従って実際にはその２０倍の２４０とおりである。
下記は 探索結果を A=[A1 A2 A3 A4 A5]、 B=[B1 B2 B3 B4 B5] で表記したものである。
さらに対称性があり基本形を削減できるようである。A=[ 1 2 3 4 5] B=[ 6 10 9 8 12]
A=[ 1 2 3 9 6] B=[ 5 10 4 12 8]
A=[ 1 2 10 8 6] B=[ 5 3 12 4 9]
A=[ 1 2 10 12 5] B=[ 6 3 8 9 4]
A=[ 1 2 3 4 6] B=[ 5 10 9 7 13]
A=[ 1 2 3 9 5] B=[ 6 10 4 13 7]
A=[ 1 2 10 7 5] B=[ 6 3 13 4 9]
A=[ 1 2 10 13 6] B=[ 5 3 7 9 4]
A=[ 1 5 9 13 6] B=[ 2 7 3 10 4]
A=[ 1 6 4 7 5] B=[ 2 13 3 10 9]
A=[ 1 6 9 12 5] B=[ 2 8 3 10 4]
A=[ 1 5 4 8 6] B=[ 2 12 3 10 9]
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