◆神奈川県 リリ さんからの解答
【問題１】3，4，0，1，
0，1，2，3，
2，3，4，0，
4，0，1，2
【問題２】3，4，0，1，2，
0，1，2，3，4，
2，3，4，0，1，
4，0，1，2，3，
1，2，3，4，0
【問題３】
タイルをs[0],s[1],s[2],s[3],s[4]と表す。
(s[0]〜s[4]は0，1，2，3，4のそれぞれ異なる数でどんな順番でも可）
タイルの最初の行を
s[0]s[1]s[2]s[3]s[4]s[0]s[1]s[2]s[3]s[4]s[0]s[1]s[2]...とn個並べる。
これに続く行は上のタイル列をタイル２個分左にずらして並べる。
2行目 s[2]s[3]s[4]s[0]s[1]s[2]s[3]s[4]s[0]...
3行目 s[4]s[0]s[1]s[2]s[3]s[4]s[0]s[1]s[2]...
以下、n行目までこれを繰り返す。
このとき、
a行1列目のタイルは s[mod(2(a-1),5)]
a行b列目のタイルはs[mod[(mod[2(a-1),5]+mod[b-1,5]),5]
で表される。
◆山梨県 Footmark さんからの解答
【問題１】０１２３
３４０１
１２３４
４０１２
【問題２】０１２３４
３４０１２
１２３４０
４０１２３
２３４０１
【問題３】
色の決め方は次の２通りのどちらかが簡単。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答
【問題１】2，0，3，1，
1，4，2，0，
0，3，1，4，
4，2，0，3
【問題２】1，2，3，4，0，
4，0，1，2，3，
2，3，4，0，1，
0，1，2，3，4，
3，4，0，1，2
【問題３】
X(i,j)＝(i,j)のマス目の色とすると
X(i,j) ≡2a-b (mod 5) または X(i,j) ≡2b-a (mod 5)
色と数字のマッピングを考えると
塗る方法数＝2*(5!)=240方法 (a,bが十分大きいとき）
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答
◆東京都 通りすがり さんからの解答
【問題１】1，2，3，4，
3，4，0，1，
0，1，2，3，
2，3，4，0
これの色を入れ替えたものと、それらの鏡像（裏返したもの）。
【問題２】1，2，3，4，0，
4，0，1，2，3，
2，3，4，0，1，
0，1，2，3，4，
3，4，0，1，2
これの色を入れ替えたものと、それらの鏡像（裏返したもの）。
【問題３】
(i,j)座標のマスの色をc(i,j)(=0,1,2,3,4)とすると、
a,b≧4の時、
c(i,j) = (i+2j) % 5
((i+2j)を5で割った余り。0≦i＜a, 0≦j＜b) ---(1)
または、
c(i,j) = (i+3j) % 5
(0≦i＜a, 0≦j＜b) ---(2)
（(2)は(1)の鏡像（裏返したもの））
である。
【証明】
４×４マスの場合に示せば、それより大きいマスの場合は、その中の任意の４×４マスについて 考えれば、簡単にわかる。
条件１，２より、次の条件３がわかる。
条件３：下の図で、11の色は他の00〜22の色とは異なる。00, 10, 20,
01, 11, 12,
20, 21, 22
４×４マスの場合、00, 10, 20, 30,
01, 11, 12, 31,
20, 21, 22, 32,
30, 31, 32, 33
上の図で、11を中心に条件１，２を、12を中心に条件３を適用すると、
c(1,2)=c(0,0) または、c(2,0)
また同様に、22を中心に条件１，２を適用すると、
c(1,2)=c(3,1) または、c(3,3) となる。
c(1,2)=c(2,0)=c(3,1)とすると、21を中心に条件２に矛盾。
c(1,2)=c(0,0)=c(3,3)とすると、22に上と同様のことを考えると、
c(2,1)≠c(1,2)より、c(2,1)=c(2,0)=c(3,1)となり矛盾。
よって、
c(1,2)=c(0,0)=c(3,1) ---(1*)
または、
c(1,2)=c(2,0)=c(3,3) ---(2*)
となる。
全体を９０度ごとに回転したものを考えることで、
(1*)の場合、(1)、(2*)の場合、(2)となる。
◆東京都 友葉 さんからの解答
一般解だけ示します。
M * N の長方形に五色の色を塗り分ける。
この色を、0, 1, 2, 3, 4 で表す。
また、(i, j) の位置の色を、c(i, j) で表す。
次のように再帰的に色を定義する。
c(0, 0) = 0
c(i, j+1) = c(i, j) + 2 mod 5
c(i+1, j) = c(i, j) + 1 mod 5
このとき、任意の 3 * 3 の正方形で、条件を満たしていることを言えば良い。
c(i, j) = 0 としても以下は一般性を失わない。
| (i, j) | (i, j+1) | (i, j+2) | 0 | 2 | 4 | |
| (i+1,j) | (i+1,j+1) | (i+2,j+1) | c===> | 1 | 3 | 0 |
| (i+2,j) | (i+2,j+1) | (i+2,j+2) | 2 | 4 | 1 |
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１、２】
【問題３】
色番号＝a+2*b mod ５
およびその色交換や反転したもの。
∵下図[1]の枠を中心および端として条件１を適用すると、下図「緑」の枠は[1]と同じ色にできない。
従って、条件２のためには下図破線内の３×３枠のうち、[2]か[3]の一方は[1]と同じ色である｡
いま[2]であるとする。[3]は上下反転で対称になる。
同様に破線枠内で[4]には[2]と[5]が対応し、[2]が使えないので[5]と[4]は同じ色でなければならない。
以上を繰り返せば破線枠内の色配置が決定する。
この破線枠を中心に周辺の３×３枠は同様にして一意に決まり選択の余地は無い。
よって色配置は問題１、２解答のような一定方向の桂馬飛び配置のみである。
◆東京都 You.O さんからの解答
第ａ行ｂ列のマス目を(a,b)で表し、このマス目の色番号をＣ(a,b)で表すことにする。
【問題１】
与えられた条件１により、５つのマス目
(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)の色はすべて異なるので、これらのマス目の色番号をそれぞれ、
Ｃ(1,2)=０，Ｃ(2,1)=１，Ｃ(2,2)=２，Ｃ(2,3)=３，Ｃ(3,2)=４とする。
このとき条件２により、４つのマス目
(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)の色番号の組み合わせは、
（Ｃ(1,1)，Ｃ(1,3)，Ｃ(3,1)，Ｃ(3,3)）＝(3，4，0，1），（4，1，3，0）の２通りしかない。
この組み合わせを決めてしまうと、条件１および条件２によって残りのマス目の色は自動的に（一意に）決定される。
これらの場合について、４行×４列すべてのマス目の色の塗り方を図１および図２に示す。
実際には、５つのマス目(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)の色の決め方は
５！＝１２０（通り）あり、その各々に対して４つのマス目
(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)の色の決め方が２通りずつあるから、
左上の３行×３列のマス目について、その色の決め方は
１２０×２＝２４０（通り）となる。
この９つのマス目の色を決定すると、残りのマス目の色は一意的に定まるから、色の塗り方の総数も２４０通りであることがわかる。
【問題２】
問題１と同様、左上の３行×３列のマス目について、その色の決め方は２４０通りあり、この９つのマス目の色を決定すると、残りのマス目の色は一意的に定まるから、色の塗り方の総数はやはり２４０通りとなる。
５つのマス目(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)の色番号がそれぞれ
Ｃ(1,2)=0，Ｃ(2,1)=1，Ｃ(2,2)=2，Ｃ(2,3)=3，Ｃ(3,2)=4の場合について、５行×５列すべてのマス目の色の塗り方（２通り）を図３および図４に示す。
【問題３】
問題１，問題２と同様に考えると、色の塗り方の総数はマス目の大きさにかかわらず２４０通りであることがわかる。
そして、その塗り方の必要十分条件は次の通りである。
（T）すべての(a,b)に対してＣ(a,b)∈｛0，1，2，3，4｝
（U）Ｃ(1,2)，Ｃ(2,1)，Ｃ(2,2)，Ｃ(2,3)，Ｃ(3,2)はすべて異なる
（V）次の（@），（A）のいずれかが成り立つ
（@）（p=a+1 かつ q=b+2）または（p=a+2 かつ q=b-1）ならばＣ(a,b)=Ｃ(p,q)
（A）（ｐ=a+2 かつ q=b+1）または（p=a-1 かつ q=b+2）ならばＣ(a,b)=Ｃ(p,q)
実際には、問題２で条件を満たすように５行×５列のマス目の色を塗ることができたならば、残りのマス目についてはその５行上または５列左のマス目と同じ色を塗ればよい。
つまり、条件を満たすように色を塗った５行×５列のマス目を単位として、それらをタテ・ヨコに並べることによって、任意の大きさのマス目に対する色の塗り方が得られる。
ただし、行（または列）の数が５に満たない場合については、５行（５列）のマス目に色を塗った状態から不要な行（列）を取り除けばよい。
２行×１２列のマス目の塗り方の例を図５に示す。
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