◆富山県の中学校３年生 tyaki さんからの解答
【問題２とおまけ２】9 4 8
2 1 3
6 7 5
合計が16
4 3 7
8 2 5
6 1 9
合計が17
5 9 4
1 3 2
8 6 7
合計が18
9 5 3
1 4 7
8 6 2
合計が19
9 2 7
4 5 6
3 8 1
合計が20
8 3 7
4 6 5
2 9 1
合計が21
3 4 2
8 7 9
6 5 1
合計が22
4 2 6
9 8 7
1 5 3
合計が23
1 6 2
8 9 7
4 3 5
合計が24
◆熊本県 jentle さんからの解答
【問題１】
Ａ+Ｅ+Ｉ＝Ｂ+Ｅ+Ｈ＝Ｃ+Ｅ+Ｇ＝Ｄ+Ｅ+Ｆ＝Ｋとします。
全部足して
Ａ+Ｂ+Ｃ+Ｄ+４Ｅ+Ｆ+Ｇ+Ｈ+Ｉ
＝４５+３Ｅ
＝４Ｋ (１〜９の和は４５より）
これを満たすものは自然数Ｅ、Ｋの組は、
Ｅ＝１でＫ＝１２、
このときはＡ+Ｉ、Ｂ+Ｈ、Ｃ+Ｇ、Ｄ+Ｆは１１となるから
２と９、３と８、４と７、５と６の組をいれていけばＯＫ。
Ｅ＝５でＫ＝１５、
このときはＡ+Ｉ、Ｂ+Ｈ、Ｃ+Ｇ、Ｄ+Ｆは１０となるから
１と９、２と８，３と７，４と６の組をいれていけばＯＫ。
Ｅ＝９でＫ＝１８、
このときはＡ+Ｉ、Ｂ+Ｈ、Ｃ+Ｇ、Ｄ+Ｆは９となるから
１と８、２と７，３と６，４と５の組をいれていけばＯＫ。
おまけ１の答えは対称な物，あと、例えば，ＡとＩだけを入れ替えたものをはずしていけば、３通りとなります。
【問題２】
さっきと同じように
Ａ＋Ｂ＋Ｅ＋Ｄ
＝Ｂ＋Ｃ＋Ｆ＋Ｅ
＝Ｄ＋Ｅ＋Ｈ＋Ｇ
＝Ｅ＋Ｆ＋Ｉ＋Ｈ
＝Ｂ＋Ｆ＋Ｈ＋Ｄ
＝Ｘ
とします。
これを全部足して
Ａ+３Ｂ+Ｃ+３Ｄ+４Ｅ+３Ｆ+Ｇ+３Ｈ+Ｉ
＝４５+２（Ｂ+Ｄ+Ｆ+Ｈ）+３Ｅ
＝５Ｘ
となります。
ここでＢ+Ｄ+Ｆ+Ｈ＝Ｘを代入して
４５+３Ｅ＝３ＸよりＸ＝１５+Ｅ・・・(1)となります。
ここからは１〜９の数を３で割った余りで考えました。
３で割ると０余る数が３つ、１余る数が３つ、２余る数が３つできることになります。
これを実際に３×３の正方形に入れてみました。
合計が０になる(つまり３の倍数になる)ものは(1)よりＥも０なので1 1 0 1 2 1
1 0 2 0 0 0
0 2 2 2 1 2
の二つ、このとき左のものは解がない。
(Ａ+Ｂ+Ｄ＝１+４+７＝１２、Ｆ+Ｈ+Ｉ＝２+５+８＝１５より）
右のほうは4 8 1 7 2 4 7 5 1
3 9 6 6 3 9 3 6 9
5 7 2 8 1 5 8 4 2
の３つでした。
合計が１になるものは(1)よりＥも１なので0 0 1 0 2 0
0 1 2 1 1 1
1 2 2 2 0 2
の二つ、これも左のものは解がない。
右のほうは9 2 6 9 5 3 6 8 3
4 1 7 1 4 7 1 7 4
8 3 5 8 6 2 5 9 2
の３つでした。
合計が２になるものは0 0 2 0 1 0
0 2 1 2 2 2
2 1 1 1 0 1
の二つ、これも左のものは解がない。
右のほうは9 1 6 9 4 3 6 7 3
5 2 8 2 5 8 2 8 5
7 3 4 7 6 1 2 8 5
の３つでした。
というわけでおまけ２のほうは対称の物を除くと全部で９つになりました。
ちょっとつかれました。
まさか魔方陣で，ここまで楽しめるとは思いませんでした。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１とおまけ１】
合計値は３種類で配置は下記等
∵45 = A+B+・・・＋I = ４和−３E より
E＝１ (mod 4)
すなわち E=1 or 5 or 9 の３種類の可能性があり、実際各々解が存在する。
【問題２とおまけ２】
下記９通り
∵ 未知数９個に対し、条件の４方程式および合計４５であることの５線形方程式がある。
よって、４個をパラメータとして他は得られる。
ここでは辺中央のB、D、F、Hをパラメータとして方程式を整理すると、下図が得られる。
なお、その対称性から、B>D,B>F,B>H and D>F に限定できる。
方程式(1)(2)に着目すると (B,D,F) の組み合わせは
(9,5,4) (9,5,2) (9,4,1) (9,2,1)
(8,6,5) (8,6,2) (8,5,1) (8,2,1)
(8,6,4) (8,6,3) (8,4,1) (8,3,1)
(8,5,4) (8,5,3) (8,4,2) (8,3,2)
(7,6,5) (7,6,3) (7,5,2) (7,3,2)
の２０種類に限られる。
(BDF)が決まると(AC)が決まり、Hは高々４種類可能であるが、さらに
Eが１〜9：B+D+F+H≦25，Iが１〜9：F+H＞5 を適用 して下表分だけ検査すればよい。
その結果9種類が残った。
Eの各値（１〜9）につき１種類となっている。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】【おまけ１】
Ａ＋Ｅ＋Ｉ＝Ｂ＋Ｅ＋Ｈ＝Ｃ＋Ｅ＋Ｇ＝Ｄ＋Ｅ＋Ｆ=k
| 0＜E＝ | 4 3 |
*k-15＜10 |
k=12→E=1
k=15→E=5
k=18→E=9
それぞれに４８通りある。 K= 12
1 )
2 3 4
5 1 6
7 8 9
2 )
2 3 4
6 1 5
7 8 9
3 )
2 3 5
4 1 7
6 8 9
4 )
2 3 5
7 1 4
6 8 9
5 )
2 3 6
4 1 7
5 8 9
6 )
2 3 6
7 1 4
5 8 9
7 )
2 3 7
5 1 6
4 8 9
8 )
2 3 7
6 1 5
4 8 9
9 )
2 4 3
5 1 6
8 7 9
10 )
2 4 3
6 1 5
8 7 9
11 )
2 4 5
8 1 3
6 7 9
12 )
2 4 6
8 1 3
5 7 9
13 )
2 4 8
5 1 6
3 7 9
14 )
2 4 8
6 1 5
3 7 9
15 )
2 5 3
7 1 4
8 6 9
16 )
2 5 4
8 1 3
7 6 9
17 )
2 5 7
8 1 3
4 6 9
18 )
2 5 8
7 1 4
3 6 9
19 )
2 6 3
7 1 4
8 5 9
20 )
2 6 4
8 1 3
7 5 9
21 )
2 6 7
8 1 3
4 5 9
22 )
2 6 8
7 1 4
3 5 9
23 )
2 7 5
8 1 3
6 4 9
24 )
2 7 6
8 1 3
5 4 9
25 )
3 2 4
5 1 6
7 9 8
26 )
3 2 4
6 1 5
7 9 8
27 )
3 2 5
4 1 7
6 9 8
28 )
3 2 5
7 1 4
6 9 8
29 )
3 2 6
4 1 7
5 9 8
30 )
3 2 6
7 1 4
5 9 8
31 )
3 2 7
5 1 6
4 9 8
32 )
3 2 7
6 1 5
4 9 8
33 )
3 4 5
9 1 2
6 7 8
34 )
3 4 6
9 1 2
5 7 8
35 )
3 5 4
9 1 2
7 6 8
36 )
3 5 7
9 1 2
4 6 8
37 )
3 6 4
9 1 2
7 5 8
38 )
3 6 7
9 1 2
4 5 8
39 )
3 7 5
9 1 2
6 4 8
40 )
3 7 6
9 1 2
5 4 8
41 )
4 2 5
3 1 8
6 9 7
42 )
4 2 5
8 1 3
6 9 7
43 )
4 2 6
3 1 8
5 9 7
44 )
4 2 6
8 1 3
5 9 7
45 )
4 3 5
9 1 2
6 8 7
46 )
4 3 6
9 1 2
5 8 7
47 )
4 8 5
9 1 2
6 3 7
48 )
4 8 6
9 1 2
5 3 7
K= 15
1 )
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2 )
1 2 3
6 5 4
7 8 9
3 )
1 2 4
3 5 7
6 8 9
4 )
1 2 4
7 5 3
6 8 9
5 )
1 2 6
3 5 7
4 8 9
6 )
1 2 6
7 5 3
4 8 9
7 )
1 2 7
4 5 6
3 8 9
8 )
1 2 7
6 5 4
3 8 9
9 )
1 3 2
4 5 6
8 7 9
10 )
1 3 2
6 5 4
8 7 9
11 )
1 3 4
8 5 2
6 7 9
12 )
1 3 6
8 5 2
4 7 9
13 )
1 3 8
4 5 6
2 7 9
14 )
1 3 8
6 5 4
2 7 9
15 )
1 4 2
7 5 3
8 6 9
16 )
1 4 3
8 5 2
7 6 9
17 )
1 4 7
8 5 2
3 6 9
18 )
1 4 8
7 5 3
2 6 9
19 )
1 6 2
7 5 3
8 4 9
20 )
1 6 3
8 5 2
7 4 9
21 )
1 6 7
8 5 2
3 4 9
22 )
1 6 8
7 5 3
2 4 9
23 )
1 7 4
8 5 2
6 3 9
24 )
1 7 6
8 5 2
4 3 9
25 )
2 1 3
4 5 6
7 9 8
26 )
2 1 3
6 5 4
7 9 8
27 )
2 1 4
3 5 7
6 9 8
28 )
2 1 4
7 5 3
6 9 8
29 )
2 1 6
3 5 7
4 9 8
30 )
2 1 6
7 5 3
4 9 8
31 )
2 1 7
4 5 6
3 9 8
32 )
2 1 7
6 5 4
3 9 8
33 )
2 3 4
9 5 1
6 7 8
34 )
2 3 6
9 5 1
4 7 8
35 )
2 4 3
9 5 1
7 6 8
36 )
2 4 7
9 5 1
3 6 8
37 )
2 6 3
9 5 1
7 4 8
38 )
2 6 7
9 5 1
3 4 8
39 )
2 7 4
9 5 1
6 3 8
40 )
2 7 6
9 5 1
4 3 8
41 )
3 1 4
2 5 8
6 9 7
42 )
3 1 4
8 5 2
6 9 7
43 )
3 1 6
2 5 8
4 9 7
44 )
3 1 6
8 5 2
4 9 7
45 )
3 2 4
9 5 1
6 8 7
46 )
3 2 6
9 5 1
4 8 7
47 )
3 8 4
9 5 1
6 2 7
48 )
3 8 6
9 5 1
4 2 7
K= 18
1 )
1 2 3
4 9 5
6 7 8
2 )
1 2 3
5 9 4
6 7 8
3 )
1 2 4
3 9 6
5 7 8
4 )
1 2 4
6 9 3
5 7 8
5 )
1 2 5
3 9 6
4 7 8
6 )
1 2 5
6 9 3
4 7 8
7 )
1 2 6
4 9 5
3 7 8
8 )
1 2 6
5 9 4
3 7 8
9 )
1 3 2
4 9 5
7 6 8
10 )
1 3 2
5 9 4
7 6 8
11 )
1 3 4
7 9 2
5 6 8
12 )
1 3 5
7 9 2
4 6 8
13 )
1 3 7
4 9 5
2 6 8
14 )
1 3 7
5 9 4
2 6 8
15 )
1 4 2
6 9 3
7 5 8
16 )
1 4 3
7 9 2
6 5 8
17 )
1 4 6
7 9 2
3 5 8
18 )
1 4 7
6 9 3
2 5 8
19 )
1 5 2
6 9 3
7 4 8
20 )
1 5 3
7 9 2
6 4 8
21 )
1 5 6
7 9 2
3 4 8
22 )
1 5 7
6 9 3
2 4 8
23 )
1 6 4
7 9 2
5 3 8
24 )
1 6 5
7 9 2
4 3 8
25 )
2 1 3
4 9 5
6 8 7
26 )
2 1 3
5 9 4
6 8 7
27 )
2 1 4
3 9 6
5 8 7
28 )
2 1 4
6 9 3
5 8 7
29 )
2 1 5
3 9 6
4 8 7
30 )
2 1 5
6 9 3
4 8 7
31 )
2 1 6
4 9 5
3 8 7
32 )
2 1 6
5 9 4
3 8 7
33 )
2 3 4
8 9 1
5 6 7
34 )
2 3 5
8 9 1
4 6 7
35 )
2 4 3
8 9 1
6 5 7
36 )
2 4 6
8 9 1
3 5 7
37 )
2 5 3
8 9 1
6 4 7
38 )
2 5 6
8 9 1
3 4 7
39 )
2 6 4
8 9 1
5 3 7
40 )
2 6 5
8 9 1
4 3 7
41 )
3 1 4
2 9 7
5 8 6
42 )
3 1 4
7 9 2
5 8 6
43 )
3 1 5
2 9 7
4 8 6
44 )
3 1 5
7 9 2
4 8 6
45 )
3 2 4
8 9 1
5 7 6
46 )
3 2 5
8 9 1
4 7 6
47 )
3 7 4
8 9 1
5 2 6
48 )
3 7 5
8 9 1
4 2 6
【問題２】【おまけ２】
Ａ＋Ｂ＋Ｅ＋Ｄ
＝Ｂ＋Ｃ＋Ｆ＋Ｅ
＝Ｄ＋Ｅ＋Ｈ＋Ｇ
＝Ｅ＋Ｆ＋Ｉ＋Ｈ
＝Ｂ＋Ｆ＋Ｈ＋Ｄ
＝k
| k=9+ | 2 5 |
*(2*(B+D+F+H)+3*E) |
それぞれに1通りで、合計9通りある。K= 16
1 )
5 3 8
7 1 4
6 2 9
K= 17
1 )
4 3 7
8 2 5
6 1 9
K= 18
1 )
4 2 7
9 3 6
5 1 8
K= 19
1 )
2 6 8
7 4 1
3 5 9
K= 20
1 )
1 6 7
8 5 2
3 4 9
K= 21
1 )
1 5 7
9 6 3
2 4 8
K= 22
1 )
2 4 3
9 7 8
5 1 6
K= 23
1 )
1 5 3
9 8 7
4 2 6
K= 24
1 )
1 6 2
8 9 7
4 3 5
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