数学の部屋へもどる◆北海道 ミノミノ さんからの解答
【問題１】
A=0,B=7,C=5,D=9,E=4,F=8,G=6,H=3,I=1,J=2とすると条件をみたしています。
【問題３】
A=9,B=1,C=3,D=6,E=8,F=5,G=2,H=7,H=4,J=0とすると条件をみたしています。
【問題４】
A+B+C=E+F=G+H+I+J=D+H=B+E+I=Tとおく。
A+B+C=E+F=G+H+I+J=D+H=T
であるから、
(A+B+C)+(E+F)+(G+H+I+J)+(D+H)
=(A+B+C+D+E+F+G+H+I+J)+H
=45＋H
=4T
よりH=4T-45であり、0≦H≦9であるから、
0≦4T-45≦9
| すなわち | 45 4 |
≦T≦ | 54 4 |
となる。 |
これをみたすTはT=12,13以外は考えられない。
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
【問題１】
0 7 5
9 4 8
2 3 1 6
0 7 5
9 4 8
6 3 1 2
【問題２】合計が１２
0 4 8
9 7 5
2 3 1 6
0 4 8
9 7 5
6 3 1 2
0 7 5
9 4 8
2 3 1 6
0 7 5
9 4 8
6 3 1 2
1 6 5
9 4 8
0 3 2 7
1 6 5
9 4 8
7 3 2 0
2 4 6
9 7 5
0 3 1 8
2 4 6
9 7 5
8 3 1 0
2 6 4
9 5 7
0 3 1 8
2 6 4
9 5 7
8 3 1 0
4 6 2
9 5 7
0 3 1 8
4 6 2
9 5 7
8 3 1 0
5 1 6
9 4 8
0 3 7 2
5 1 6
9 4 8
2 3 7 0
5 6 1
9 4 8
0 3 2 7
5 6 1
9 4 8
7 3 2 0
5 7 0
9 4 8
2 3 1 6
5 7 0
9 4 8
6 3 1 2
6 1 5
9 4 8
0 3 7 2
6 1 5
9 4 8
2 3 7 0
6 4 2
9 7 5
0 3 1 8
6 4 2
9 7 5
8 3 1 0
8 4 0
9 7 5
2 3 1 6
8 4 0
9 7 5
6 3 1 2
【問題３】合計が１３
0 4 9
6 8 5
2 7 1 3
0 4 9
6 8 5
3 7 1 2
0 8 5
6 4 9
2 7 1 3
0 8 5
6 4 9
3 7 1 2
1 3 9
6 8 5
0 7 2 4
1 3 9
6 8 5
4 7 2 0
2 3 8
6 9 4
0 7 1 5
2 3 8
6 9 4
5 7 1 0
2 8 3
6 4 9
0 7 1 5
2 8 3
6 4 9
5 7 1 0
3 1 9
6 8 5
0 7 4 2
3 1 9
6 8 5
2 7 4 0
3 8 2
6 4 9
0 7 1 5
3 8 2
6 4 9
5 7 1 0
5 8 0
6 4 9
2 7 1 3
5 8 0
6 4 9
3 7 1 2
8 3 2
6 9 4
0 7 1 5
8 3 2
6 9 4
5 7 1 0
9 1 3
6 8 5
0 7 4 2
9 1 3
6 8 5
2 7 4 0
9 3 1
6 8 5
0 7 2 4
9 3 1
6 8 5
4 7 2 0
9 4 0
6 8 5
2 7 1 3
9 4 0
6 8 5
3 7 1 2
【問題４】１２，１３以外の解はなし。
9 解なし 10 解なし 11 解なし 14 解なし 15 解なし 16 解なし 17 解なし 18 解なし 19 解なし 20 解なし 21 解なし 22 解なし 23 解なし 24 解なし 25 解なし 26 解なし 27 解なし 28 解なし 29 解なし 30 解なし 31 解なし 32 解なし 33 解なし 34 解なし 35 解なし 36 解なし 37 解なし 38 解なし 39 解なしプログラムを組んで検索しました。
【おまけ】
答え あけましておめでとう
ピッタリですね。
◆愛知県の中学校２年生 たちつてトシ坊 さんからの解答
【問題１】
０−７−５ ｜ ９ ４−８ ｜ ｜ ２−３−１−６【問題４】
問題の図を、仮に下のようにアルファベットで表すとします。
Ａ−Ｂ−Ｃ ｜ Ｄ Ｅ−Ｆ ｜ ｜ Ｇ−Ｈ−Ｉ−−−Ｊまず、合計が11の場合
Ａ+Ｂ+Ｃ＝11
Ｂ+Ｅ+Ｉ＝11
Ｅ+Ｆ＝11
Ｇ+Ｈ+Ｉ+Ｊ＝11
Ｄ+Ｈ＝11
また、Ａ〜Ｊは、０〜９の数字に対応しているので、全て加えると４５になります。
これらのことから、
Ｂ+Ｅ+Ｈ+Ｉ＝10 と
Ｂ+Ｅ+Ｉ＝11 より、Ｈ＝-1
という矛盾する結論が出てきてしまうので、合計が11になることはありません。
次に、合計が14の場合
同様に、
Ｂ+Ｅ+Ｈ+Ｉ＝25 と
Ｂ+Ｅ+Ｉ＝14 より、Ｈ＝11
という矛盾する結論が出てきてしまうので、合計が14になることもありません。
合計が10以下の場合と15以上の場合は、証明するまでもありません。
よって、合計は必ず12または13になります。
【おまけ】
０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ あ け ま し て お め で と う使われている文字で、すぐに予想がついてしまいました。
◆東京都 浜田 明巳 さんからの解答
エクセルのマクロでプログラムを組みました．
結果を表示する場合には一番手頃なソフトです．
各行の１列目の数が合計を，２列目以降の数がＡ〜Ｊまでの数を表します．
合計が１２になる場合が２４通り，１３になる場合も２４通りあります．
他の数が合計になることはありません（Macro1）．
おまけの問題は，予想通り
あけましておめでとうございます
でした（Macro2）．
12 5 1 6 9 4 8 0 3 7 2
12 5 1 6 9 4 8 2 3 7 0
12 6 1 5 9 4 8 0 3 7 2
12 6 1 5 9 4 8 2 3 7 0
12 1 6 5 9 4 8 0 3 2 7
12 1 6 5 9 4 8 7 3 2 0
12 5 6 1 9 4 8 0 3 2 7
12 5 6 1 9 4 8 7 3 2 0
12 0 7 5 9 4 8 2 3 1 6
12 0 7 5 9 4 8 6 3 1 2
12 5 7 0 9 4 8 2 3 1 6
12 5 7 0 9 4 8 6 3 1 2
13 0 8 5 6 4 9 2 7 1 3
13 0 8 5 6 4 9 3 7 1 2
13 2 8 3 6 4 9 0 7 1 5
13 2 8 3 6 4 9 5 7 1 0
13 3 8 2 6 4 9 0 7 1 5
13 3 8 2 6 4 9 5 7 1 0
13 5 8 0 6 4 9 2 7 1 3
13 5 8 0 6 4 9 3 7 1 2
12 2 6 4 9 5 7 0 3 1 8
12 2 6 4 9 5 7 8 3 1 0
12 4 6 2 9 5 7 0 3 1 8
12 4 6 2 9 5 7 8 3 1 0
12 0 4 8 9 7 5 2 3 1 6
12 0 4 8 9 7 5 6 3 1 2
12 2 4 6 9 7 5 0 3 1 8
12 2 4 6 9 7 5 8 3 1 0
12 6 4 2 9 7 5 0 3 1 8
12 6 4 2 9 7 5 8 3 1 0
12 8 4 0 9 7 5 2 3 1 6
12 8 4 0 9 7 5 6 3 1 2
13 3 1 9 6 8 5 0 7 4 2
13 3 1 9 6 8 5 2 7 4 0
13 9 1 3 6 8 5 0 7 4 2
13 9 1 3 6 8 5 2 7 4 0
13 1 3 9 6 8 5 0 7 2 4
13 1 3 9 6 8 5 4 7 2 0
13 9 3 1 6 8 5 0 7 2 4
13 9 3 1 6 8 5 4 7 2 0
13 0 4 9 6 8 5 2 7 1 3
13 0 4 9 6 8 5 3 7 1 2
13 9 4 0 6 8 5 2 7 1 3
13 9 4 0 6 8 5 3 7 1 2
13 2 3 8 6 9 4 0 7 1 5
13 2 3 8 6 9 4 5 7 1 0
13 8 3 2 6 9 4 0 7 1 5
13 8 3 2 6 9 4 5 7 1 0
Option Explicit
Sub Macro1()
Dim A As Integer
Dim B As Integer
Dim C As Integer
Dim D As Integer
Dim E As Integer
Dim F As Integer
Dim G As Integer
Dim H As Integer
Dim I As Integer
Dim J As Integer
Dim wa As Integer
Dim kaisuu As Integer
kaisuu = 0
For E = 0 To 9
For F = 0 To 9
If E <> F Then
wa = E + F
For B = 0 To 9
If E <> B And F <> B Then
I = wa - B - E
If I >= 0 And I <= 9 And E <> I And F <> I And B <> I Then
For A = 0 To 9
If E <> A And F <> A And B <> A And I <> A Then
C = wa - A - B
If C >= 0 And C <= 9 And E <> C And F <> C And B <> C And I <> C And A <> C Then
For H = 0 To 9
If E <> H And F <> H And B <> H And I <> H And A <> H And C <> H Then
D = wa - H
If D >= 0 And D <= 9 And E <> D And F <> D And B <> D And I <> D And A <> D And C <> D And H <> D Then
For G = 0 To 9
If E <> G And F <> G And B <> G And I <> G And A <> G And C <> G And H <> G And D <> G Then
J = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 - A - B - C - D - E - F - G - H - I
If G + H + I + J = wa Then
kaisuu = kaisuu + 1
Cells(kaisuu, 1).Value = wa
Cells(kaisuu, 2).Value = A
Cells(kaisuu, 3).Value = B
Cells(kaisuu, 4).Value = C
Cells(kaisuu, 5).Value = D
Cells(kaisuu, 6).Value = E
Cells(kaisuu, 7).Value = F
Cells(kaisuu, 8).Value = G
Cells(kaisuu, 9).Value = H
Cells(kaisuu, 10).Value = I
Cells(kaisuu, 11).Value = J
End If
End If
Next G
End If
End If
Next H
End If
End If
Next A
End If
End If
Next B
End If
Next F
Next E
End Sub
Sub Macro2()
Dim あ As Integer
Dim け As Integer
Dim ま As Integer
Dim し As Integer
Dim て As Integer
Dim お As Integer
Dim め As Integer
Dim で As Integer
Dim と As Integer
Dim う As Integer
Dim 繰り上がり(1) As Integer
Dim n(9) As Integer
Dim 答 As Integer
Dim m As Integer
Dim deta As Integer
Dim mm As Integer
答 = 0
For で = 0 To 9: n(0) = で
For と = 0 To 9: n(1) = と
If dame(1, n()) = 0 Then
め = (で * と) Mod 10: n(2) = め
If dame(2, n()) = 0 Then
繰り上がり(0) = (で * と) \ 10
For け = 1 To 9: n(3) = け
If dame(3, n()) = 0 Then
For ま = 1 To 9: n(4) = ま
If dame(4, n()) = 0 And (け * と + 繰り上がり(0) + で * ま) Mod 10 = で Then
繰り上がり(1) = (け * と + 繰り上がり(0) + で * ま) \ 10
て = け * ま + 繰り上がり(1): n(5) = て
If dame(5, n()) = 0 Then
う = (め - で + 10) Mod 10: n(6) = う
If う > 0 And dame(6, n()) = 0 And (10 * け + で) + (10 * う + う) = 100 * け + 10 * け + め Then
お = ((10 * ま + と) * う - (100 * ま + ま)) / 10: n(7) = お
If dame(7, n()) = 0 And (10 * ま + と) * う = 100 * ま + 10 * お + ま Then
あ = ((10 * う + う) + う - (100 * け + と)) / 10: n(8) = あ
If dame(8, n()) = 0 And (10 * う + う) + う = 100 * け + 10 * あ + と Then
n(9) = 9: For m = 0 To 8: n(9) = n(9) + m - n(m): Next m: し = n(9)
If し > 0 And (100 * て + 10 * で + め) - (100 * け + 10 * あ + と) = 100 * し + 10 * め + と And (100 * け + 10 * け + め) + (100 * ま + 10 * お + ま) = 100 * し + 10 * め + と Then
答 = 答 + 1
For m = 0 To 9
deta = 0
mm = 0
While deta = 0 And mm <= 9
If n(mm) = m Then
Cells(答, m + 1).Value = 逆(mm)
deta = 1
End If
mm = mm + 1
Wend
Next m
End If
End If
End If
End If
End If
End If
Next ま
End If
Next け
End If
End If
Next と
Next で
End Sub
Private Function dame(ByVal m As Integer, ByRef n() As Integer) As Integer
Dim mm As Integer
dame = -(n(m) < 0 Or n(m) > 9)
mm = 0
While dame = 0 And mm < m
dame = -(n(mm) = n(m))
mm = mm + 1
Wend
End Function
Private Function 逆(ByVal n As Integer) As String
Select Case n
Case 8
逆 = "あ"
Case 3
逆 = "け"
Case 4
逆 = "ま"
Case 9
逆 = "し"
Case 5
逆 = "て"
Case 7
逆 = "お"
Case 2
逆 = "め"
Case 0
逆 = "で"
Case 1
逆 = "と"
Case Else
逆 = "う"
End Select
End Function
◆長野県 Mr.D さんからの解答
【問題１】
（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ,Ｉ,Ｊ）
＝（0,7,5,9,4,8,2,3,1,6）
【問題２】
（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ,Ｉ,Ｊ） ＝（2,4,6,9,7,5,0,3,1,8）,（2,4,6,9,7,5,8,3,1,0）, （6,4,2,9,7,5,0,3,1,8）,（6,4,2,9,7,5,8,3,1,0）, （2,6,4,9,5,7,0,3,1,8）,（2,6,4,9,5,7,8,3,1,0）, （4,6,2,9,5,7,0,3,1,8）,（4,6,2,9,5,7,8,3,1,0）, （1,6,5,9,4,8,0,3,2,7）,（1,6,5,9,4,8,7,3,2,0）, （5,6,1,9,4,8,0,3,2,7）,（5,6,1,9,4,8,7,3,2,0）, （5,1,6,9,4,8,0,3,7,2）,（5,1,6,9,4,8,2,3,7,0）, （6,1,5,9,4,8,0,3,7,2）,（6,1,5,9,4,8,2,3,7,0）, （0,4,8,9,7,5,2,3,1,6）,（0,4,8,9,7,5,6,3,1,2）, （8,4,0,9,7,5,2,3,1,6）,（8,4,0,9,7,5,6,3,1,2）, （0,7,5,9,4,8,2,3,1,6）,（0,7,5,9,4,8,6,3,1,2）, （5,7,0,9,4,8,2,3,1,6）,（5,7,0,9,4,8,6,3,1,2）の24通り
●1
Ａ-Ｂ-Ｃ（１行目とします。）のライン、
Ｅ-Ｆ（２行目）のライン、
Ｇ-Ｈ-Ｉ-Ｊ（３行目）のラインに分けて考えます。
●2
0から9までの数の中から３つの数を組み合わせて（たして）12を作るには、
0-3-9 0-4-8 0-5-7 1-2-9
1-3-8 1-4-7 1-5-6
2-3-7 2-4-6 3-4-5
の10通りの組み合わせがあります。
（これを１行目候補とします。）
●3
２つの数の組み合わせでは、
3-9 4-8 5-7
の3通りだけです。
（２行目候補）
●4
４つの数の組み合わせでは、
0-1-2-9 0-1-3-8 0-1-4-7
0-1-5-6 0-2-3-7 0-2-4-6
0-3-4-5 1-2-3-6 1-2-4-5
の9通りです。
（３行目候補）
●5
１行目候補と２行目候補と３行目候補を組み合わせて、0から9までの数がだぶらないように組み合わせます。
すると、
2-4-6と5-7と0-1-3-8
2-3-7と4-8と0-1-5-6
1-5-6と4-8と0-2-3-7
1-3-8と5-7と0-2-4-6
0-4-8と5-7と1-2-3-6
0-5-7と4-8と1-2-3-6
の６通りがあります。
（これを第１次候補とします）
●6
第１次候補の組み合わせを見ると、9が一つも入っていません。
たして12になる組み合わせでは、常にＤ＝9となるようです。
すると、常にＨ=3となります。
よって、第１次候補の中で、３行目候補に3が入っていないものをはずすと、
2-4-6と5-7と0-1-3-8 （この組み合わせをａとします）
1-5-6と4-8と0-2-3-7 （ｂ）
0-4-8と5-7と1-2-3-6 （ｃ）
0-5-7と4-8と1-2-3-6 （ｄ）の組み合わせが残ります。
（第２次候補）
●7
今度は、縦の列の、Ｂ-Ｅ-Ｊの組み合わせがたして１２になるように考えます。
第２次候補の１行目候補と２行目候補と３行目候補の中から１つずつを組み合わせて１２になるように考えると、
ａでは、4-7-1 6-5-1 の組み合わせがあります。
ｂでは、6-4-2 1-4-7
ｃでは、4-7-1
ｄでは、7-4-1 です。
●8
第２次候補に縦の列についての組み合わせを考え合わせると、前述の２４通りの組み合わせができます。
【問題３】
問題２と同様に考えると、
（Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ,Ｇ,Ｈ,Ｉ,Ｊ） ＝（2,3,8,6,9,4,0,7,1,5）,（2,3,8,6,9,4,5,7,1,0）, （8,3,2,6,9,4,0,7,1,5）,（8,3,2,6,9,4,5,7,1,0）, （2,8,3,6,4,9,0,7,1,5）,（2,8,3,6,4,9,5,7,1,0）, （3,8,2,6,4,9,0,7,1,5）,（3,8,2,6,4,9,5,7,1,0）, （1,3,9,6,8,5,0,7,2,4）,（1,3,9,6,8,5,4,7,2,0）, （9,3,1,6,8,5,0,7,2,4）,（9,3,1,6,8,5,4,7,2,0）, （3,1,9,6,8,5,0,7,4,2）,（3,1,9,6,8,5,2,7,4,0）, （9,1,3,6,8,5,0,7,4,2）,（9,1,3,6,8,5,2,7,4,0）, （0,4,9,6,8,5,2,7,1,3）,（0,4,9,6,8,5,3,7,1,2）, （9,4,0,6,8,5,2,7,1,3）,（9,4,0,6,8,5,3,7,1,2）, （0,8,5,6,4,9,2,7,1,3）,（0,8,5,6,4,9,3,7,1,2）, （5,8,0,6,4,9,2,7,1,3）,（5,8,0,6,4,9,3,7,1,2）の24通り
【問題４】
ありません。
●1
0から9までの数を全部たすと４５になります。
合計の数（行や列の合計）をkとすると、横の３行とＤの合計が４５になるので、
3k＋Ｄ=45 がいえます。
●2
Ｄには、最大で9，最小で0が入るので、
36≦3k≦45
つまり、12≦k≦15 です。
●3
k=15だとすれば、
Ｅ-ＦやＤ-Ｈの組み合わせの候補は、6-9と7-8 しかありません。
残りの数では、明らかに１５は作れませんので、k≠15です。
●4
k=14だとすると、
Ｅ-ＦやＤ-Ｈの組み合わせの候補は、6-8と5-9 があり、
この条件でＡ-Ｂ-Ｃの候補は 3-4-7 がありますが、
残りの数が0と1と2なので、これをどう組み合わせても、
Ｇ-Ｈ-Ｉ-Ｊのラインが１４になりません。
よって、k≠14です。
●5
つまり、k=12 , 13 です。
【おまけ】
あけましておめでとう
（今年もよろしくお願いします。）
◆ 問題へもどる
◆ 今週の問題へ