◆熊本県の中学校３年生 田呂丸 さんからの解答
【問題】
○が船 Tを虎とする。
| 島 | 隣国 | |||
| A a1 a2 B b1 b2 C T | ○ | ― | ||
| A a1 a2 B b1 b2 | ― | ○ | C T | |
| A a1 a2 B b1 b2 C | ○ | ― | T | |
| A a1 B b1 b2 | ― | ○ | a2 C T | |
| A a1 B b1 b2 C T | ○ | ― | a2 | |
| B b1 b2 C T | ― | ○ | A a1 a2 | |
| A B b1 b2 C T | ○ | ― | a1 a2 | |
| b1 b2 C T | ― | ○ | A a1 a2 B | |
| B b1 b2 C T | ○ | ― | A a1 a2 | |
| B b1 b2 | ― | ○ | A a1 a2 C T | |
| A B b1 b2 | ○ | ― | a1 a2 C T | |
| b1 b2 | ― | ○ | A a1 a2 B C T | |
| B b1 b2 | ○ | ― | A a1 a2 C T | |
| b2 | ― | ○ | A a1 a2 B b1 C T | |
| b2 C T | ○ | ― | A a1 a2 B b1 | |
| T | ― | ○ | A a1 a2 B b1 b2 C | |
| C T | ○ | ― | A a1 a2 B b1 b2 | |
| ― | ○ | A a1 a2 B b1 b2 C T |
◆福岡県 古豚 さんからの解答
【問題】
Ｃ 虎 →Ｃ →Ｃ b1 →Ｃ 虎 →Ｂ b2 →Ｂ
→Ａ Ｂ →Ａ →Ｃ 虎 →Ｂ →Ａ Ｂ →Ａ
→Ａ a1 →Ｃ 虎 →Ｃ a2 →Ｃ →Ｃ 虎
【おまけ１】
長方形Ａのタテ、ヨコの長さを ｘ、ｙ（ｘ＜ｙ）、
長方形Ｂの長い方の辺の長さを ｚ とする。
条件より
3*（ｘ+ｙ）＝3+ｚ
ｘ*ｙ＝3*3*ｚ
だから、ｚを消去すると
ｘ*ｙ＝9*（3*ｘ+3*ｙ-3）
ｘ*ｙ-27*ｘ-27*ｙ+27＝0
（ｘ-27）*（ｙ-27）＝702
ｘ、ｙは正整数だから
ｘ-27＞-26、ｙ-27＞-25
の整数だから、702の約数から
（ｘ-27、ｙ-27）＝
（1、702）、（2、351）、（3、234）
（6、117）、（9、78）、（13、54）
（18、39）、（26、27）
したがって
（ｘ、ｙ、ｚ）＝
（28、729、2268）、（29、378、1218）
（30、261、870）、（33、144、528）
（36、105、420）、（40、81、360）
（45、66、330）、（53、54、318）
の8通りが考えられます.
【おまけ２】
おまけ1と同様に考えると
ｎ*（ｘ+ｙ）＝3*ｎ*ｚ
ｘｙ＝ｎ*3*ｚ
から
（ｘ-3*ｎ2）*（ｙ-3*ｎ2）
＝9*n4-9*n
＝9*2*(n-1)*(n2+n+1)
となるので、
ｘ-3*ｎ2、ｙ-3*ｎ2を9*2*(n-1)*(n2+n+1)の約数に等しいことから、求めることができます。
◆宮城県 アンパンマン さんからの解答
【問題】
Ｃ 虎 →Ｃ →Ｃ b1 →Ｃ 虎 →Ｂ b2
→Ｂ →Ａ Ｂ →Ａ →Ｃ 虎 →Ｂ →Ａ Ｂ
→Ａ →Ａ a1 →Ｃ 虎 →Ｃ a2 →Ｃ →Ｃ 虎
【おまけ１】
a,bはAの辺の長さとします。
a<b
3,cはBの辺の長さとします。
3<c
3+c=3(a+b)
ab=3(3c)=9(3(a+b)-3)
(a-27)(b-27)=27*26
(a-27,b-27)=
(1,702),(2,351),(3,234),(6,117),
(9,78),(13,54),(18,39),(26,27)
(a,b,c)=
(28,729,2268),(29,378,1218),(30,261,870),
(33,144,528),(36,105,420),(40,81,360),
(45,66,330),(53,54,318)
【おまけ２】
3+c=n(a+b)
ab=n(3c)=3n(n(a+b)-3)
(a-3n2)(b-3n2)=9n(n3-1)=gh,
g<h
a=g+3n2,
b=h+3n2
c=n(g+h)+6n3-3
◆東京都 藤本 さんからの解答
【問題】
Ｃ 虎 →Ｃ →Ｃ a1 →Ｃ 虎 →Ａ a2 →Ａ
→Ａ Ｂ →Ｂ →Ｃ 虎 →Ａ →Ａ Ｂ →Ｂ
→Ｂ b1 →Ｃ 虎 →Ｃ b2 →Ｃ →Ｃ 虎
【おまけ１】
Ａの２辺の長さを i,j
Ｂの２辺の長さを p,q とする
題意より
3(i + j) = p + q ・・・(1)
ij = 3pq ・・・(2)
ここで P = 3 であるから (2)より
ij = 9q
これを(1)に代入して
3(i + j) = 3 + ij/9
ゆえに
(i - 27)(j - 27) = 702
ここで
702 = 2 * 3 * 3 * 3 * 13
で かつ i,jは 正の整数であるから i,j,p,qは 以下の組のいずれかである
(i,j,p,q) =
(29,378,3,1218),
(30,261,3, 870),
(33,144,3, 528),
(36,105,3, 420),
(40, 81,3, 360),
(45, 66,3, 330),
(53, 54,3, 318)
【おまけ２】
3+c=n(a+b)
一般には
n(i + j) = p + q ・・・(3)
ij = npq ・・・(4)
ここで P = n であるから (4)より
ij = n*n*q
これを(1)に代入して
n(i + j) = n + ij/n*n
後は、おまけ１と同様にして ７とおりの解が求められる
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題】
【おまけ１】
問題を方程式にすると
Ａ：a×c a≦c
Ｂ：b×d b=3 b<d
(1) ac = 3×bd
(2) 3×(a+c) =(b+d)
であるが、b=3 と(2)よりdは３の倍数。
よってd=3fとして(3)(4)の自然数解を求める。
(3) ac=27f
(4) a+c = 1+f 1<f
(3)−27×(4)＋272により fを消すと
(a−27)×(c−27)=27*26=3*3*3*2*13
0＜a≦cの条件で組み合わせを考えると下記の８ケースがある。
|
2*3*3*3*13 |
Ａ |
Ｂ |
|||
|
a-27 |
c-27 |
a |
c |
d=3f |
ｂ |
|
1 |
702 |
28 |
729 |
2268 |
3 |
|
2 |
351 |
29 |
378 |
1218 |
3 |
|
3 |
234 |
30 |
261 |
870 |
3 |
|
6 |
117 |
33 |
144 |
528 |
3 |
|
9 |
78 |
36 |
105 |
420 |
3 |
|
13 |
54 |
40 |
81 |
360 |
3 |
|
18 |
39 |
45 |
66 |
330 |
3 |
|
26 |
27 |
53 |
54 |
318 |
3 |
【蛇足】b=1 b=2の場合は以下である。
|
2*3*13 |
A |
B |
|||
|
a-9 |
c-9 |
a |
c |
d |
ｂ |
|
1 |
78 |
10 |
87 |
290 |
1 |
|
2 |
39 |
11 |
48 |
176 |
1 |
|
3 |
26 |
12 |
35 |
140 |
1 |
|
6 |
13 |
15 |
22 |
110 |
1 |
|
2*2*2*3*13 |
A |
B |
|||
|
a-18 |
c-18 |
a |
c |
d |
ｂ |
|
1 |
312 |
19 |
330 |
1045 |
2 |
|
2 |
156 |
20 |
174 |
580 |
2 |
|
3 |
104 |
21 |
122 |
427 |
2 |
|
4 |
78 |
22 |
96 |
352 |
2 |
|
6 |
52 |
24 |
70 |
280 |
2 |
|
12 |
26 |
30 |
44 |
220 |
2 |
【おまけ２】
問題を方程式にすると
Ａ：a×c
Ｂ：b×d
(5) ac = n×bd
(6) n×(a+c) =(b+d)である。
(5)−nb×(6)＋b2n4により dを消すと
(7)
(a−bn2 )×(c−bn2 )
= b2×(n3-1)×n
=(-1)2×b2×n×(n-1) ×(n2 +n+1)
従って、a,cは(7)式右辺の因数を２組に分けたものの各積に
bn2を足したもののうち、a,c何れも正のものの組である。
実際には負数の積に分けた場合には a,c≧1より
左辺
≦(bn2-1)2
=b2n4−2bn2+1
= b2×(n3-1)×n+1- bn2
=右辺+(1- bn2)
よって、a=c=b=n=１の場合を除き(7)は成立しない｡
従って、n＞1のとき、bを任意に与え、各bにつき
b2×n×(n-1)×(n2 +n+1)=ＸＹ を
2つの整数Ｘ>0、Ｙ>0の積に分ける場合数だけ解があって、
a=X+ bn2
c=Ｙ+ bn2
d=ac/nb
が解である｡
n=１の場合は 同一形状(a=b,c=d)のみであり、
各bに対して解は無数(c=d任意)である｡
なお、bをX,Yに一つずつ割り振ったものは
b=１の解の倍数解である｡
◆宮城県 Ohmi さんからの解答
【問題】
| 移動 | 隣国 | ||
| → | Ｃ 虎 | C,虎 | |
| Ｃ | ← | 虎 | |
| → | Ｃ a1 | a1,C,虎 | |
| Ｃ 虎 | ← | a1 | |
| → | Ａ a2 | A,a1,a2 | |
| Ａ | ← | a1,a2 | |
| → | Ａ Ｂ | A,a1,a2,B | |
| Ｂ | ← | A,a1,a2 | |
| → | Ｃ 虎 | A,a1,a2,C,虎 | |
| Ａ | ← | a1,a2,C,虎 | |
| → | Ａ Ｂ | A,a1,a2,B,C,虎 | |
| Ｂ | ← | A,a1,a2,C,虎 | |
| → | Ｂ b1 | A,a1,a2,B,b1,C,虎 | |
| Ｃ 虎 | ← | A,a1,a2,B,b1 | |
| → | Ｃ b2 | A,a1,a2,B,b1,b2,C | |
| Ｃ | ← | A,a1,a2,B,b1,b2 | |
| → | Ｃ 虎 | A,a1,a2,B,b1,b2,C,虎 | |
17回かかりました。
【おまけ１】
長方形A:縦x、横y (x<y)
長方形B:縦a(=3)、横bとする。
条件より、
（面 積） xy＝3＊3＊b ・・・(1)
（周の長さ） 2*3(x+y)=2*(3+b) ・・・(2)
| (1)より、 b＝ | xy 9 | ・・・(3) |
(2)に代入して
| 3(x+y)= | 27+xy 9 | ・・・(4) |
(3)を整理すると
xy-27x-27y+27=0 ・・・(5)
ここから
| x= | 27y-27 y-27 | =27+ | 702 y-27 | ・・・(6) |
ここで、xは自然数であることから
（y-27）は702(=2*33*13)の約数でなければならない。
さらに x＜y であることも考慮して
考えられる（y-27）の値は
y-27=702,351,234,117, 78, 54, 39, 27の8つ。
(3),(6)よりそれぞれの場合のy,x,bを求めると（Excel使用）
| y | 729 | 378 | 261 | 144 | 105 | 81 | 66 | 54 |
| x | 28 | 29 | 30 | 33 | 36 | 40 | 45 | 53 |
| b | 2268 | 1218 | 870 | 528 | 420 | 360 | 330 | 318 |
| a | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
の8通りとなる。
ちなみにAの面積Sa,Bの面積Sb,
ならびにAの周La,Bの周Lbの値は（Excel使用）
| Sa=x*y= | 20412 | 10962 | 7830 | 4752 | 3780 | 3240 | 2970 | 2862 |
| Sb=3*b= | 6804 | 3654 | 2610 | 1584 | 1260 | 1080 | 990 | 954 |
| Sa/Sb= | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
| La=2*(x+y)= | 1514 | 814 | 582 | 354 | 282 | 242 | 222 | 214 |
| Lb=2*(3+b)= | 4542 | 2442 | 1746 | 1062 | 846 | 726 | 666 | 642 |
| Lb/La= | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 |
となる。
【おまけ２】
| 縦 | 横 | |
| 長方形A： | x | y |
| 長方形B： | n | b |
とする。
条件より
（面積） x*y=n2*b ・・・（7）
（周長） n(x+y)=n+b ・・・（8）
【おまけ1】と同様に
| b= | xy n2 | ・・・(9) |
xy-n3x-n3y+n3=0 ・・・（10）
が得られる。
ここで（10）を整理すると
| y= | n3x-n3 x-n3 |
| y=n3+ | n6-n3 x-n3 |
| y=n3+ | n3(n-1)(n2+n+1) x-n3 |
よって、yが整数であるためには
x-n3がn3(n-1)(n2+n+1)の約数でなければならない。
よって、そのような組合せを求めると、重複を考慮して同じく8通りある。
その時のx,y,a,b,の値は以下の通り。（一部Mathematica使用）
| No | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x-n3 | 1 | n | n-1 | n2+n+1 |
| y-n3 | n3(n-1)(n2+n+1) | n2(n-1)(n2+n+1) | n3(n2+n+1) | n3(n-1) |
| x | (n+1)(n2-n+1) | n(n2+1) | n3+n-1 | (n+1)(n2+1) |
| y | n6 | n2(n3+n-1) | n3(n2+n+2) | n4 |
| a | n | n | n | n |
| b | n4(n+1)(n2-n+1) | n(n2+1)(n3+n-1) | n(n2+n+2)(n3+n-1) | n2(n+1)(n2+1) |
| No | 5 | 6 | 7 | 8 |
| x-n3 | n2 | n(n-1) | n(n2+n+1) | (n-1)(n2+n+1) |
| y-n3 | n(n-1)(n2+n+1) | n2(n2+n+1) | n2(n-1) | n3 |
| x | n2(n+1) | n(n2+n-1) | n(2n2+n+1) | 2n3-1 |
| y | n(n3+n2-1) | n2(n+1)2 | n2(2n-1) | 2n3 |
| a | n | n | n | n |
| b | n(n+1)(n3+n2-1) | n(n+1)2(n2+n-1) | n(2n-1)(2n2+n+1) | 2n(2n3-1) |
おわり。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからのコメント
宮城県 Ohmi さんのおまけの２の解答について
ｎを素数としても
｛n=5 なら n-1=2*2 ｝
｛n=7 なら n*n+n+1=57=3*19 ｝
等になるので、組み合わせはもっと沢山あります。
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