◆千葉県の小学生 緑川 敦 さんからの解答
【問題１】 １
【問題２】 ３
【問題３】 ３３
【感想】
問題１,２は,簡単だったけど,問題３はちょっと難しかった｡
◆千葉県 緑川 正雄 さんからの解答
【問題４の回答】 ６４１
【問題４の理由】
(1)
1〜4までの数字が並んでいるとき、
2,4,1が消えて3が残る。
(2)
1〜8までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,6,8までの4個の数字を消した後に残る4個の数字
7,5,3,1の3番目[(1)より]
即ち、7-2×(3-1)=3
(3)
1〜16までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,16までの8個の数字を消した後に残る8個の数字
15,13, …,3,1の3番目[(２)より]
即ち、15-2×(3-1)=11
(4)
1〜32までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,32までの16個の数字を消した後に残る16個の数字
31,29,....,3,1の11番目[(3)より]
即ち、31-2×(11-1)=11
(5)
1〜63までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,62までの31個の数字を消した後に残る32個の数字
63,61,....,3,1の11番目[(4)より]
即ち、63-2×(11-1)=43
(6)
1〜126までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,126までの63個の数字を消した後に残る63個の数字
125,123,....,3,1の43番目[(5)より]
即ち、125-2×(43-1)=41
(7)
1〜251までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,250までの125個の数字を消した後に残る126個の数字
251,249,....,3,1の41番目[(6)より]
即ち、251-2×(41-1)=171
(8)
1〜501までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,500までの250個の数字を消した後に残る251個の数字
501,499,....,3,1の171番目[(7)より]
即ち、501-2×(171-1)=161
(9)
1〜1001までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,1000までの500個の数字を消した後に残る501個の数字
1001,999,....,3,1の161番目[(8)より]
即ち、1001-2×(161-1)=681
(10)
1〜2001までの数字が並んでいるとき、最後に残る数字
2,4,…,2000までの1000個の数字を消した後に残る1001個の数字
2001,1999,....,3,1の681番目[(9)より]
即ち、2001-2×(681-1)=641
◆東京都 藤本 さんからの解答
【問題１】
1 が残る
2,4,6,3,5 の順に消える
【問題２】
3 が残る
2,4,6,5,1,7 の順に消える
【問題３】
33 が残る
解法：
ここまでは力ずくで求めました
消える順は省きます。
【問題４】
641 が残る
解法：
１から２５ぐらいまでの消え方を解析した結果、以下の方法で求めました。
2001=210+29+28+27+26+24+1
と書いたとき に べきが２以上の偶数の項を省いてえられる
29+27+1=641
が最後に残る
一般的には
１〜Ｎの数がならんでいるとき
|
となるのではないでしょうか？
（証明はできていません）
◆福岡県 Mulls さんからの解答
【問題４】
P1=1、2、3、、、2001を→方向に消した場合
2ｎ-1（ｎ＝1、2、、、1001）が残る
次に2001から←方向に消す場合
2001＝2ｎ-1 （ｎ＝2*501-1）であるので
2(2ｎ−1)-1 （ｎ＝1、2、、、501）が残る
このｎの列をP2＝1、2、、、501とし、上記の操作を繰り返す。
→方向
残る数字は1、3、、、501 2ｋ−1（ｋ＝1、2、、251）
←方向
501＝2ｋ−1 （ｋ＝2*126-1）であるので
2(2ｋ−1)-1 （ｋ＝1、2、、、126）
同様にこのｎを次の列P3＝1、2、、、126とする。
→方向
残る数字は1、3、、、125 2ｎ−1（ｍ＝1、2、、63）
→方向
125＝2ｍ−1 （ｍ＝2*32-1）であるので
2(2ｍ−1)-1 （ｍ＝1、2、、、32）
ここまでくればすぐに紙に書いて答えが出る。
答えは11
上記から
P4＝4(4(4N-3)-3)-3（N＝1、2、、、32）
N＝11なので、最後に残る数字は641である。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１】
６のとき １
【問題２】
７のとき ３
【問題３】
５０のとき ３３
【問題４】
２００１のとき ６４１
往復を１セットにして、左から４個づつくぎり、右に残る４の剰余個により左側のどこが残るか計算すればよい。
［ ］：ガウス記号を用いて下式で残る番号がわかる。
Ｎ0＝初項（ 例：２００１ ）
| Ｒm＝２×［ | (Ｎm−１) mod ４ ２ | ］ |
| Ｎm+1＝［ | Ｎm−１ ４ | ］＋１ |
| 答え＝１＋ | Nm+1=1になるmまで Σ m=0 | {４m×Ｒm} |
◆広島県 清川 育男 さんからの解答
１〜２００２までの全結果です。
◆東京都 じっさん さんからの解答
【問題１】
偶数と、それから１引いた奇数は、結果が同じになります。
１
【問題２】
３
２，４，６，５，１，７の順に消えて、３が残ります。
【問題３】
３３
１回目で２，４，６，．．．，５０が消え、
２回目で４７，４３，３９，．．．，３が消え、
３回目で５，１３，２１，．．．，４５が消え、
４回目で４１，２５，９が消え、
５回目で１７，４９が消え、
６回目で１が消え、３３が残ります。
【問題４】
６４１
手順：
１．元の数字から１を引く。
例：２００１→２０００
２．２進数にする。
例：2000(10)→11111010000(2)
３．下から奇数の位の数をゼロにする。
例：11111010000(2)→01010000000(2)
４．１０進数にする。
例：01010000000(2)→640(10)
５．１を足す。
例：６４０→６４１
考え方：
奇数回目は、下から２個目，４個目，．．．偶数個目が消えます。
偶数回目は、右から消すので，
奇数個の時は、下から偶数個目が消えます。
偶数個の時は、下から奇数個目が消えます。
次に、最初に１からｎまで並んでいる場合にｋ回目の開始時に偶数個残っているのか奇数個残っているのかを考えます。
１回目は、ｎを２で割って、
余りが１の場合、奇数個です。
余りが０の場合、偶数個です。
２回目は、ｎを４で割って、
余りが１，２の場合、奇数個です。
余りが３，０の場合、偶数個です。
３回目は、ｎを８で割って、
余りが１，２，３，４の場合、奇数個です。
余りが５，６，７，０の場合、偶数個です。
４回目は、ｎを１６で割って、
余りが１〜８の場合、奇数個です。
余りが９〜１５，０の場合、偶数個です。
ｋ回目は、ｎを２kで割って、
前半、つまり余りが１〜２k-1の場合、奇数個です。
後半、つまり余りが２k-1＋１〜２k−１，０の場合、偶数個です。
考えやすくするために、最初にｎから１を引きます。
すると、余り０〜２k-1−１が前半、残りが後半になります。
これを２進法で示すと、１つ下の桁が０の場合前半、１の場合後半になります。
また、
奇数回目は、余りに関わらず、必ず前半が残ります。
偶数回目は、余りが前半の場合は前半、余りが後半の場合は後半が残ります。
従って、元の数から１を引いて２進数で表した後、
奇数回目、すなわち下から奇数桁目は全て前半が残るので０にする。
偶数回目、すなわち下から偶数桁目はそのまま残るので０，１はそのままにする。
最後に、最初に引いた１を足して元に戻す。
で、上に書いた手順（１〜５）になります。
ちなみに、手順３終了時の２進数は、桁数が何回の操作で１個になるかを示し、下からｋ桁目がｋ回目の操作を示します。
各桁については、０が前半が残ることを示し、１が後半が残ることを示します。
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