『今週の問題』第112回　解答

◆福井県の小学生　酒井　美由紀 さんからの解答

【問題１】

５左、３右、４左、６右

【問題２】

４左、７右、５左、８右、２右

【問題３】

９右、４左、７左、５右、２右、８右

８本のが解ったら、２本増えると一番はしに１組持っていくとあとは８本と同じになるので、解き方は８本のときと全く同じです。
４本増えて１２本になったときも端に２組先に作ってしまうと残りは８本になるので簡単に出来ました。
前にしたことがあるマッチ棒あそびだったので、わたしにもできました。

◆静岡県の中学校３年生　なべ さんからの解答

２ｎの場合

左側（右側でもよい）から４番目のマッチ棒を左に移動し，２本にする。
２本になったところを除き，左側から４番目のマッチ棒を左に移動し，２本にする。

同様に繰り返し操作し，左側に２本ずつのマッチ棒の束ができていく。

残り８本になったところで，左側から５番目を左に移動し，左側から３番目（８本のままのときの）を右に移動し，１番目を右，８番目を左に移動すれば完了する。

◆宮崎県の高校生　Fractaly さんからの解答

【問題１】

８本のとき

(1) 5，左　(2) 3，右
(3) 6，右　(4) 4，左

【問題２】

10本のとき

(1) 7，右　(2) 4，右
(3) 6，左　(4) 3，左
(5) 5，右

【問題３】

12本のとき

(1) 4，左　(2) 9，右
(3) 7，左　(4) 5，右
(5) 8，右　(6) 6，左

これだけ出されても回答としてよくわからないと思います。

最後に移動するのは重ねた２本の上を通過させなければいけません。
そのために間にはさむ２本のマッチを作ることを考えます。
すると、それを作るために移動させるマッチは２本の組を越えるか、バラバラの２本を越えるかです。
しかし、ここで、飛び越えてできた２本の組の上を通過させないといけないことは明らかなのでバラバラの２本を飛び越えることになるわけです。

つまり、
　１，１，１，１，１、１，１，１
→１，２，１，１，０，１，１，１

となればよいのです。

ここですぐに２本の組を飛び越えてはいけません。
この問題は左右対称に移動させるとうまくいくようです。
ですから、
→１，２，０，１，０，１，２，１のように、右にも同じ形を作ります。

すると、後は簡単です。
続いて、いきなり2ｎの話ですが、実は８本ができれば終わりなのです。

なぜなら、右端、もしくは左端、（両端でも）どちらでもいいのですが、８本になるまで端に寄せればいいのです。
８本なら同じ手順で解けます。

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答

【問題１】

８本

(1) 5，左　(2) 3，右　(3) 1，右　(4) 6，右

その他合計１６通り。問題２参照。

【問題２】

１０本＝８本＋２本

(1) 4，左　(2) 7，左　(3) 5，右
(4) 2，右　(5) 8，右

１．最初の手は基本的には
「(1)４,左」か「(1)７,右」の２通りである。
ただし、２．の一方の最初の手と順序を交換可能であり、
計算上２＋０．５＋０．５＝３手とすればよい。

すると端に２本移動できないものがあるので、８本の問題と同じである。
以下残り８本の移動に関し、問題１の番号で述べる。

２．８本の場合の最初の2手は
「(2)４,右(3)6,左」　か「(2)５,左(3)３,右」の２通りしかない。
ここで　１−２移動不可−１　１−２移動不可−１の状態になるので

３．「１」をどれか移動するケースとして(4)４通りある。

４．最後に残り２本の何れか移動の(5)２通りの選択肢が有る。

以上から　全部で　３×２×４×２＝４８通りある。

【問題３】

１２本　＝8本＋2本＋2本

(1) 4，左　(2) 6，左　(3) 9，左
(4) 7，右　(5) 3，右　(6) 10，右

全部で　９４４通り。
これは単に計算機(c++ 85行)によりました。

確認に用いたＣ＋＋言語のプログラム match2.cpp だそうです。
試してみてください。

【おまけ】

1. 左から４番目を左に移動することにより、左端に２本重なった状態になる。
   従って，これら２本は無いのと同じであり、２本減少した状態になる。

2. 以上を繰り返すことにより、いずれ８本(n=4)残された状態が残る。

3. ここで問題１の手順を行う。

◆鹿児島県　ともひろ さんからの解答

【問題１】

１本の状態を「I」、２本の状態を「X」とする。

	1	2	3	4	5	6	7	8
	I	I	I	I	I	I	I	I
(1) 4，右	I	I	I		I	I	X	I
(2) 6，左	I	X	I		I		X	I
(3) 3，左	X	X			I		X	I
(4) 5，右	X	X					X	X

【問題２】

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	I	I	I	I	I	I	I	I	I	I
(1) 7，右	I	I	I	I	I	I		I	I	X
(2) 4，右	I	I	I		I	I		X	I	X
(3) 6，左	I	X	I		I			X	I	X
(4) 3，左	X	X			I			X	I	X
(5) 5，右	X	X						X	X	X

【問題３】

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

(1) 9，右

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

X

(2) 7，右

I

I

I

I

I

I

I

I

X

X

(3) 4，右

I

I

I

I

I

X

I

X

X

(4) 6，左

I

X

I

I

X

I

X

X

(5) 3，左

X

X

I

X

I

X

X

(6) 5，右

X

X

X

X

X

X

【おまけ】

右端から２本ずつの束を作っていき、左から８本が１本ずつ並んである状態まで続ける。
空白部分をのぞけば、動かし方は【問題１】と変わらないので、【問題１】の解通りに動かす。

【感想】

最終４手『(n-3手) 4，右　(n-2手) 6，左　(n-1手) 3，左　(n手) 5，右　』を同じにするために、右端から２本ずつにしました。

プログラム（JIS Full BASIC）です。
試してみてください。

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