◆宮城県 アンパンマン さんからの解答
【問題１−１】 ５のカード
【問題１−２】 ８のカード
【問題１−３】
先手、最初は４あるいは６を選びます。
４の場合3,6,9組と 5,10組があります。
後手がこの二組の中から選ぶ場合、先手が残りの組から選ぶ。
そうじゃない場合（つまり7か8の場合）、先手が残りのカード（7か8）を選ぶ。
６の場合4,8組と 5,10組があります。
後手がこの二組の中から選ぶ場合、先手が残りの組から選ぶ。
そうじゃない場合（つまり7か9の場合）、先手が残りのカード（7か9）を選ぶ。
【問題２】
a,dは偶数、b,cは奇数とします。
(c-b,a-d)=p (c-bとa-dの最大公約数）、
(c+b,a+d)=qとします。
| c2-b2=a2-d2より (c-b,a+d)= | c-b p |
| (c2-b2,a+d)=a+d より | c-b a+d | = | p ― q |
| (a-d)2+(c-b)2 (a+d)2+(c+b)2 |
| ={ | (c-b)(c+b) a+d | } | 2+ | (c-b)2 (a+d)2+(c+b)2 |
| = | (c-b)2 (a+d)2 |
| = | p2 q2 |
両辺に１を足すと
| 2(a2+b2+c2+d2) (a+d)2+(c+b)2 | = | p2+q2 q2 |
a2+b2+c2+d2＝2n より
| n= | p2+q2 4 | ･ | (a+d)2+(c+b)2 q2 |
p,qは偶数なので
| p2+q2 4 | は整数＞２（ｎは奇数）。 |
ｑはc＋bとa＋dの最大公約数なので
| (a+d)2+(c+b)2 q2 | は整数です（＞２）。 |
上記よりｎは２つの約数の積で表せます。
◆熊本県 ＥＬＦ さんからの解答
【問題１−１】 ５
【問題１−２】 ８
【問題１−３】
先手が有利。
勝利条件は自分の手の後に偶数枚のカードを残すこと。
・先手が６を選んだ場合。
１，２，３が選べないので、残りは６枚。
このうち、４と８，５と１０は互いに約数と倍数の関係にあることに注意する。
後手が４を選んだら５を選び、７を選んだら９を選び、８を選んだら１０を選ぶ（ペアの逆は省略）ことで勝利が確定する。
・先手が４を選んだ場合。
１，２が選べないので、残りは７枚。
ただし、３と６，３と９，５と１０は互いに約数と倍数の関係にあり、３が重複しているのがポイントとなる。
後手が３を選んだら１０を選び、５を選んだら６または９を選び、７を選んだら８を選ぶ（ペアの逆は省略）ことで勝利が確定する。
先手が１，２，３のいずれかを選ぶと、後手が６を選ぶことにより必敗。
先手が５を選ぶと、後手が１０を選ぶことにより必敗。
先手が７を選ぶと、後手が４を選ぶことにより必敗。
先手が８，１０を選ぶと、後手が７を選ぶことにより必敗。
先手が９を選ぶと、後手が２を選ぶことにより必敗。
よって、必勝パターンは先手が４か６を選んだ場合に限る。
◆福岡県 古豚 さんからの解答
【問題１−１】 ５
【問題１−２】 ８
【問題１−３】
先手必勝。
先手は最初に 4または6を取る。
後は、後手の取り方によって最善手をつくせば先手が勝つ。
全てを並べて考えました。
規則性は見つけることができませんでした。
【問題２】
ａ，ｂ，ｃ，ｄのうち、
ａとｃは偶数、ｂとｄは奇数、
ａ−ｃ、ｄ−ｂは正の数とする。
ａ＋ｃ，ｂ＋ｄの最大公約数をＧ、
ａ−ｃ，ｄ−ｂの最大公約数をｇとする。
| ｎ＝ | Ｇ2＋ｇ2 ４ | × | (ａ＋ｃ)2＋(ｄ＋ｂ)2 Ｇ2 |
で表されます。
偶数、奇数の条件から、
| ｎ＝ | Ｇ2＋ｇ2 ４ | は整数であることは明らか。 |
また、（a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)から、
（a+c)＝ｐＧ、(d+b)＝ｑＧ
(a-c)=ｑｇ、(d-b)＝ｐｇとおいて、
| Ｇ2＋ｇ2 ４ | × | (ａ＋ｃ)2＋(ｄ＋ｂ)2 Ｇ2 | ＝ｎ |
は証明できます。
◆愛知県 Y.M.Ojisan さんからの解答
【問題１−１】 ５
【問題１−２】 ８
【問題１−３】
先手有利
初手「６」必勝
あとは 三山崩しの方法。
（１個+２個+２個＋１個）
なお、初手「４」も先手必勝手だが、
３−６−９の山が三山崩しで２個の山と等価である説明がちょっとだけ煩雑なので省略。
【問題２】
ｎ＝ａ2＋ｂ2＝ｃ2＋ｄ2 ―――(1)
を満足する ((a,b),(c,d))の組み合わせを 偶奇性で分類すると、下記３タイプである。
(ア)((偶数,偶数),(偶数,偶数))
(イ)((偶数,奇数),(偶数,奇数))
注((偶数,奇数),(奇数,偶数))はc d交換で(イ)に集約
(ウ)((奇数,奇数),(奇数,奇数))
注((偶数,偶数),(奇数,奇数))は (1)を満足しない。
(ア)の場合は n＝２×（２×整数） であり２つの約数の積に分解できる｡
(イ)と(ウ)の場合を以下に述べる｡
図に示すように、
(0,0) (a,b) (a+c,b+d)(c,d)を頂点とする４角形を考えるとき(1)により
一辺が
のひし形である。
対角線長の半分をそれぞれh1 、 h2とする。
このとき、a,b,c,d＞0としてよいので、
h1＞h2 である。 ―――(2)
ひし形の面積を２Ａとおくとき、h1と h2が直交するので下式が成立する。
Ａ＝h1× h2＝｜ad−bc｜／２ ―――(3)
重心は (a+c,b+d)/2 であって,(イ)(ウ)何れの場合も下記により格子点上である｡
(a+c,b+d)/2＝（偶数,偶数）/2 =（整数、整数） ―――(4)
また(3)より
｜ad-bc｜
＝｜偶数−偶数｜＝偶数 (イ)の場合
＝｜奇数−奇数｜＝偶数 (ウ)の場合
であるので Ａ＝偶数／２は整数である。―――(5)
また、ひし形（h1と h2が直交）なので
n=r2=h12+h22 ―――(6)
さらに 重心が格子点上であるから
h12＝{((a+c)/2)2+((b+d)/2)2}}=整数1
h22＝{((a-c)/2)2+((b-d)/2)2}}=整数2
整数1＞整数2であり、(3)Ａ＝(h1×h2)より
Ａ2＝h12 ×h22=整数1×整数2 ―――(7)
＜蛇足注＞
Ａが素数であるためには整数2は１でなければならないが、そのためには
a=c b=d+1等でなければならず(1)を成立させ得ない｡
よってＡは合成数である。
●h12：整数1とh22：整数2に共約数αがあるとき nは下記のように約数の積に分解できる｡
n= h12+h22=α×(h12/α+h22/α) ―――(8)
＜蛇足注＞
h12/α と h22/α は(7)よりそれぞれ平方数である。
●一方 h12：整数1とh22：整数２に共約数がないと仮定すると(7)より
h1、h2は整数で 互いに素 でなければならない。―――(9)
重心座標を(gx,gy)とするとき、
△(0,0)-(gx,0)-(gx,gy) と △(gx,gy)-(gx,b)-(a,b) は
相似比 h1:h2で相似である。
即ち下式でなければならない。
gx ＝ h1/h2 ×(gy-b)
gy ＝ h1/h2 ×(a-gx)
ところが(4)よりgx,gyは整数でなければならず、
h1とh2は互いに素なので、
(gy-b) (a-gx)はh2の倍数である必要がある。
一方 0＜(gy-b)と(a-gx)＜h2 であり h2の倍数にできない。
すなわち、整数1と整数2に共約数がないとの仮定は正しくなく、共約数αが必ず存在する｡
＞＞＞ 以上からnは必ず約数の積に分解できるといえる。
なお、その約数の一部はh12とh22の共約数である。
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