『今週の問題』第102回　解答

◆愛知県　Y.M.Ojisan さんからの解答

【問題１−１】

５→（７→８）→（９→？）

答え　６

∵　下記先手必勝手順に乗っているので、９の相棒の６をけす。

【問題１−２】

先手が有利である。

∵　「５」を除く「１」〜「９」は下記４ペア２グループにその和の値で分けられる。

(5)群：＝｛　１−４　、２−３　｝
(15)群：＝｛　６−９　、７−８　｝

先手は最初に５をとった後、後手に対し各ペアを消去するように、手を打つ。
最終的に(5)群が１個残れば、
全合計４５−５＝４０で、その時点で先手勝ちである。

一方(15)群が１個残った場合、後手は最大でも９しか取れないので

45-(15-9)=39＜40

であって、勝てない。

当然最後の１個を先手がとれば
４５＞４０であって勝ちである。

【問題２】

(1)問題の単純化

最終的に偶奇性で判断するので、全てmod 2で考えればよく、初めから

１＿０＿１＿０　、、、、、、　１＿０　　全部で１００個
を対象に考えればよい。

また置くべき記号も　＋と−は同じ効果なので、
排他論理和：に統一し　×は論理和：×　としてこれら２個の演算記号を置くと考える。

(2)判定

先手は
(A) １０＿１＿、、、、、１＿０　＝　１Ｆ

(B) １×０＿１＿．．．．．１＿０　＝　Ｆ

を選択でき、手数が偶数個残っていて真似碁ができるので、先手有利と考えられる。

(3)先手必勝法

先手は(A)の手を打つ。

Ｆは両側が「０」であるので、「１」は必ず
　0＿１＿0　の形で存在する。

従って、後手が どこかの　「１」に対して
　0１＿0 　0×１＿0 の何れの手を打っても、
先手は「１」を挟んで反対の＿に×を入れることにより、

0１×0＝00 ≡０
ないし
0×１×0＝０　にすることが出来る。

つまり　後手＋先手一組につき、
＿０＿１＿０＿ →　＿０＿　と同等である。

よって、Ｆは
Ｆ₄₉　→　Ｆ₄₈ →。。。。。。Ｆ₀＝０　と変化し
（F_nは「１」がｎ個の0_1_0_1…._0パターン）　

結局　(A) １Ｆ₀＝１　で　先手必勝。　

◆広島県　清川　育男 さんからの解答

【問題１−１】

２ ３ １ ２ １ ３
先手は６を選択する。合計は３５。
残りのカードは、１、２、３、４。

後手は残りどのカードを選んでも４０には出来ない。

１（３６）−−＞４（４０）
２（３７）−−＞３（４０）または ４（４１）
３（３８）−−＞２（４０）または ４（４２）
４（３９）−−＞１（４０）または ２（４１） または ３（４２）  

【問題１−２】

１手目に５を選べば先手必勝のゲームである。

途中で後手が最善手を選ばなければ７手で先手の勝ち。
途中で先手が最善手を選ばなければ８手で後手の勝ち。
お互いに最善手を選べば９手で先手の勝ちとなる。

１−４、２−３、６−９，７−８をペアとして考える。

例えば後手が１を選べば、続けて先手は４を選ぶ。この逆も可。

このように、後手の手に対してペアとなる手を選んでゲームが進行すれば、
９手で先手が４５を確保して勝ちとなるゲームと言うことになります。

【問題２】

アンダーラインの個所は９９個であるから最後の９９手目は先手番となる。

＊を入れると隣り合った数は偶数となる。
±を入れると隣り合った数は奇数となる。

例えば、１手目を
１＋２　３・・・・・・１００

でスタートすれば、アンダーラインの残り個所は９８個。

　２○３・・・・・９９○１００

後手の選んだ演算子と同じ選んだ演算子を５１を中心点として対称な個所に入れていけばよい。
すなわち後手の手をまねすればよい。

ただし、５０△５１○５２の個所は、△と○の少なくとも１方は（＊）を入れるようにする。

１＋偶数 は奇数となる。
したがって先手必勝となる。

◆新潟県　酔いどれ天使 さんからの解答

【問題１】

考え方としては、先手はまず５を取り、
次に、後手−先手のカードの合計が５または１５になるようにとって行けば、先手が勝てます。
つまり、問い１−１については先手は６を取ればいいわけです。

では、具体的に考えていきます。

足して　５になる組み合わせ（Ａとします）は、
（１、４）、（２、３）の２通り
足して１５になる組み合わせ（Ｂとします）は、
（６，９）、（７，８）の２通り

このＡ、Ｂの組み合わせは、以下の６通りになります。

Ａ　Ａ　Ｂ　Ｂ ， Ａ　Ｂ　Ａ　Ｂ ， Ａ　Ｂ　Ｂ　Ａ，
Ｂ　Ｂ　Ａ　Ａ ， Ｂ　Ａ　Ｂ　Ａ ， Ｂ　Ａ　Ａ　Ｂ

ここで、最後の組み合わせがＡとなる場合、
そのときまでの数字の合計は４０となります。
つまり、その前の先手の７手目を取った時点で
合計が４０となり、先手が勝ちます。

また、最後の組み合わせがＢとなる場合、
そのときまでの数字の合計は３０となります。
ここで、残ったカードは６，７，８，９のいずれか２枚になるので、
後手がどのカードを取っても最大で３９までとなります。

よって、先手が最後のカードを取れば
合計が４５となり、先手が勝ちます。

以上の考察により、このゲームは先手必勝と結論できます。

【問題２】

結論から言えば、このゲームも先手必勝です。

必勝法は、

(1)まず第１手目に、１と２の間に＋もしくは−を入れる。

(2)次に、後手が奇数と偶数の間に＋、−、×を入れた場合、奇数の前に×を入れる。
また、偶数と奇数の間に＋、−、×を入れた場合、奇数のあとに×を入れる。

この２点です。

このままでは考えづらいので、最小サイズの１，２，３，４の４つの数字で試してみます。

まず、１と２の間に＋（−）を入れます。
（ここでは＋の場合を扱います。）
１＋２，３，４

仮に、後手が２と３の間に＋、−、×を入れたとします。

１＋２＋３，４
１＋２−３，４
１＋２×３，４

そして、先手は３と４の間に×を入れます。

１＋２＋３×４＝１５
１＋２−３×４＝−９
１＋２×３×４＝２５

となり、先手の勝ちです。

また、後手が３と４の間に＋、−、×を入れた場合、先手は２と３の間に×を入れます。

１＋２×３＋４＝１１
１＋２×３−４＝３
１＋２×３×４＝２５

となり、これも先手の勝ちです。

初手に＋ではなくて−を入れても結果は同じです。

考え方としては、１と２の間に＋（−）を入れたので、
２から１００までのグループを偶数にしてしまえばよいということです。
なぜならば、奇数（この場合は１）から偶数を加減すると奇数になり、先手が勝てるからです。

そのためには、奇数に偶数をかけて偶数（のグループ）にする必要があります。
言うまでもありませんが、偶数に偶数を加減乗算しても偶数だからです。

以上の考察により、このゲームも先手必勝と結論できます。

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