◆愛知県 知多高弓道部 さんからの解答。
【問題１】
点ＰからＢＣに平行線は１本しか引けないから点ＰＱが中点になるのは明らか。
【問題２】
ＡＰ上にＰＣ＝ＰＱとなる点Ｃを取れるとすると、不成立になる。
それは、ＢＣ＜ＡＢならば可能。
【問題３・４】
(1)と(2)は対等な条件なので問題１、問題２と同じになります。
【問題５】
「ＢＣが他の２辺より長ければ」という条件を付けるのでどうでしょうか。
「３つを満たせば」というのはあっけなさすぎるので。
しかしどうも特に図形は論理の落とし穴がありそうであまり自信がないのですが。
中点連結定理を習ったとき、その名前の立派さと証明というものに出会ったこととで、大人になったような気分だったのを思い出します。
あのころは図形を好きだったのですが、大学に行ってすっかり幾何が苦手になってしまいました。
でも嫌いというわけではないのです。
◆宮城県 甘泉法師 さんからの解答。
【問題１】
平行線の同位角はひとしいので、△APQと△ABCは相似です。
相似比が１：２なので、
「(1)かつ(4) → (2)」と「(1)かつ(4) → (3)」がなりたちます。
【問題２】
「(2)かつ(3) -/-> (1)」の例
明らかに(2)かつ(3)かつ(1)である線分PQを引くことができます。
角Cが鈍角でQP ＜ AQの場合に、Qから上記線分と同じ長さの線分をもうひとつひくことができます。
「(2)かつ(3) -/-> (4)」の例
この２本の線分について、同じ点をとおる平行線はひとつしかひけないことから
「(2)かつ(3) -/-> (4)」は明らかです。
【問題３】
(1)と(2)は底辺でない２辺のどちらをかんがえるかだけの違いなので、先の考察での役割をかえるだけで次がわかります。
「(1)かつ(3) -/-> (2)」
「(1)かつ(3) -/-> (4)」
【問題４】
(1)と(2)は底辺でない２辺のどちらをかんがえるかだけの違いですから、
「(1)かつ(4) → (2)」が成り立つので「(2)かつ(4) → (1)」は成り立つ。
「(1)かつ(4) → (3)」が成り立つので「(2)かつ(4) → (3)」は成り立つ。
【問題５】
以上で考えた正しい命題をあらためてかきます。
(1)かつ(2) → (3)
(1)かつ(2) → (4)
(1)かつ(3) -/-> (2)
(1)かつ(3) -/-> (4)
(1)かつ(4) → (2)
(1)かつ(4) → (3)
(2)かつ(3) -/-> (1)
(2)かつ(3) -/-> (4)
(2)かつ(4) → (1)
(2)かつ(4) → (3)
(3)かつ(4) → (1)
(3)かつ(4) → (2)
◆島根県の中学校３年生 支離滅裂 さんからの解答。
【問題１】
△ABCと△APQで
同位角より
∠ABC＝∠APQ…１
∠ACB＝∠AQP…２
１，２より二組の角がそれぞれ等しいので
△ABC∽△APQ
相似な図形の辺の比は全て等しいので
辺AB:辺AP＝辺AC:辺AQ＝辺BC:辺PQ＝2:1
∴QはACの中点であり、辺2PQ＝BCである。
【問題２】
これは、【問題１】で証明した相似と言う事が使えないので成り立たない。
具体的には、∠ACBと∠AQPが等しい事が言えないので成り立たない。
【問題３】
これは、【問題２】と同じ事を言っているので、成り立たない。
具体的には、∠ABCと∠APQが等しい事が言えないので成り立たない。
【問題４】
これは、【問題１】と同じ事を言っているので、成り立つ。
【問題５】
(1) ＰはＡＢの中点
(2) ＱはＡＣの中点
(3) ２ＰＱ＝ＢＣ
(4) ＰＱとＢＣは平行
という４つの条件のうち２つを満たせば、他の２つの条件も満たす。
↓
四つの条件の内（4）と、もう一つの条件を満たせば、それ以外の条件も満たす