◆静岡県 ヨッシーさんからの解答。
【問題１】
１×１の正方形が ５×４＝２０
２×２の正方形が ４×３＝１２
３×３の正方形が ３×２＝ ６
４×４の正方形が ２×１＝ ２ の合計４０個
【問題２】
左側の５×２のマスを含む正方形は１×１の正方形８個のみ。
よって、それ以外の５×４の部分で出来る正方形４０個（【問題１】より）と合わせて、
８＋４０＝４８（個）。
【問題３】・１×１
ａ×ｂ＝ａｂ
・２×２
(ａ−１)(ｂ−１)＝ａｂ−(ａ＋ｂ)＋１2
・３×３
(ａ−２)(ｂ−２)＝ａｂ−２(ａ＋ｂ)＋２2
・・・・・・
・ｂ×ｂ
(ａ−ｂ＋１)(ｂ−ｂ＋１)＝ａｂ−(ｂ−１)(ａ＋ｂ)＋(ｂ−１)2
正方形の個数は
ｂ×ａｂ−｛１+２+・・(ｂ−１)｝(ａ＋ｂ)+｛１2+２2+・・(ｂ−１)2｝
| ＝ａｂ2− | ｂ(ｂ−１)(ａ＋ｂ) ２ | + | ｂ(ｂ−１)(２ｂ−１) ６ |
| ＝ | ｂ(ｂ＋１)(３ａ−ｂ＋１) ６ | （個） |
ちなみに、ａ＝ｂだと、２乗和の公式
| ａ(ａ＋１)(２ａ＋１) ６ |
になります。よく考えれば、当たり前ですが。
◆大分県の小学生 べっち さんからの解答。
【問題１】
１目盛四方が２０個
２目盛四方が１２個
３目盛四方が６個
４目盛四方が２個
２０＋１２＋６＋２＝４０
答 ４０個
【問題２】
４８個（数えました）
◆北海道の中学校２年生 ぴよこ さんからの解答。
【問題１】
４０個（問題２の解答を使いました。）
【問題２】
１×１が２８個
２×２が１２個
３×３が６個
４×４が２個
の合計４８個
◆東京都 鳳 奥人 さんからの解答。
【問題１】
| サイズ（１辺） | １ | ２ | ３ | ４ | 計 |
| 個 数 | ２０ | １２ | ６ | ２ | ４０ |
【問題２】
まず、赤い部分も含めた全体では・・・
| サイズ（１辺） | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | 計 |
| 個 数 | ３０ | ２０ | １２ | ６ | ２ | ７０ |
うち、赤い部分を「含む」ものは、
| サイズ（１辺） | １ | ２ | ３ | ４ | ５ | 計 |
| 個 数 | ２ | ８ | ６ | ４ | ２ | ２２ |
よって、赤い部分を含まない正方形は ７０−２２＝４８（個）。
【問題３】
１辺のサイズは１〜ｂですね。サイズ（１辺） 個数
１ ａ×ｂ
２ （ａ−１）×（ｂ−１）
３ （ａ−２）×（ｂ−２）
： ：
： ：
ｎ {ａ−(ｎ−１)}×{ｂ−(ｎ−１)}
： ：
： ：
ｂ−１ （ａ−ｂ＋２）× ２
ｂ （ａ−ｂ＋１）× １
・・・なのですが、この和を求めるということなのですよね。
| だから | b Σ n=1 | {a-(n-1)}{b-(n-1)} なのですが、 |
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題３】
ａ×ｂの長方形の格子点の数は(ａ＋１)×(ｂ＋１)です。
そこで、各格子点が正方形の右上の頂点となる場合を考えます。
明らかに、１番左側と１番下側のL字型に並んだ各格子点には正方形は存在しません。
そこでL字型を１つ右上にずらすと、L字型に並んだ各格子点には辺長１の正方形が１つ存在します。
さらにL字型を１つ右上にずらすと、L字型に並んだ各格子点には辺長１と辺長２の正方形の２つが存在します。
さらにL字型を１つ右上にずらすと、L字型に並んだ各格子点には辺長１と辺長２と辺長３の正方形の３つが存在します。
このように、L字型に並んだ格子点を１つ右上にずらすたびに存在する正方形の数は１つずつ増えていきます。
仮に、７×４の長方形を例にすると、各格子点が右上の頂点となる正方形の数は以下になります。
そこで、この各格子点における正方形の存在数を、以下のように２つの部分に分割します。
01234444 01234 444
01233333 01233 333
01222222 = 01222 ＋ 222
01111111 01111 111
00000000 00000 000
分割された左側をＬ、右側をＲとします。
すると、Ｌは以下のようにさらに展開できます。
01234 01111 00111 00011 00001
01233 01111 00111 00011 00000
Ｌ= 01222 = 01111 + 00111 + 00000 + 00000
01111 01111 00000 00000 00000
00000 00000 00000 00000 00000これは、与えられたａ,ｂで表すと、明らかに１2+２2+・・ｂ2 です。
| ∴ Ｌ＝ | ｂ(ｂ＋１)(２ｂ＋１) ６ |
また、Ｒも与えられたａ,ｂで表すと、
明らかに１＋２＋・・ｂの(ａ−ｂ)倍です。
| ∴ Ｒ＝ | (ａ−ｂ)ｂ(ｂ＋１) ２ |
よって、
求める正方形の数
| ＝Ｌ＋Ｒ |
| ＝ | ｂ(ｂ＋１)(２ｂ＋１) ６ | ＋ | (ａ−ｂ)ｂ(ｂ＋１) ２ |
| ＝ | ｂ(ｂ＋１)(３ａ−ｂ＋１) ６ |
| 【答え】 | ｂ(ｂ＋１)(３ａ−ｂ＋１) ６ | 個 |
◆北海道の小学生 abe さんからの解答。
【問題２】
48個
1*1 28
2*2 12
3*3 6
4*4 2
◆神奈川県の小学生 達也 さんからの解答。
sは面積です。
【問題１】
s=1→20
s=4→12
s=9→6
s=16→2
20+12+6+2=40
40個
【問題２】
s=1→28
s=4→12
s=9→6
s=16→2
28+12+6+2=48
48個
【問題３】
s=1*1→a*b
s=2*2→(a-1)*(b-1)
s=3*3→(a-2)*(b-2)
… …
s=(b-1)*(b-1)→ (a-(b-2))*(b-(b-2))
s=b*b→(a-(b-1))*(b-(b-1))
a*b+(a-1)*(b-1)+(a-2)+(b-2)+…+(a-(b-1))*(b-(b-1))=c
c個
◆滋賀県の中学校２年生 kazuya さんからの解答。
【問題１】
面積１の正方形 ４×５＝２０(個)
面積４の正方形 ３×４＝１２(個)
面積９の正方形 ２×３＝ ６(個)
面積１６の正方形 １×２＝ ２(個)
計 ４０個
【問題２】
面積１の正方形 ２８個
面積４の正方形 １２個
面積９の正方形 ６個
面積１６の正方形 ２個
計 ４８個