◆滋賀県 ippei さんからの解答。
【問題１】
線分ABの垂直2等分線と線分BCを1：3に内分する点からBCに立てた垂線が交わる点が求めるP
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題１】
【答え】
ＡＤの中点をＭとする。
求める点ＰはＢＭの中点。
[ 証明 ]
明らかに、△ＰＡＢ：△ＰＣＤ＝１：３。
△ＰＡＢの面積をＳとすると、
△ＰＡＢ＋△ＰＣＤ＝△ＰＢＣ＋△ＰＤＡ＝４Ｓ。
すると、△ＰＢＣ＝△ＰＤＡ故、△ＰＢＣ＝２Ｓ。
よって、△ＰＡＢ：△ＰＢＣ＝１：２。
以上より、△ＰＡＢ：△ＰＢＣ：△ＰＣＤ＝１：２：３。
証明終わり。
◆千葉県 なのはな子 さんからの解答。
【問題２】
4つの三角形の面積比が1：2：3：4
１+２+３+４＝１０
正方形を１０で割り切れる数の正方形に分割すればできる。
◆山梨県 Footmark さんからの解答。
【問題２】
反時計回りか時計回りに、面積比を１：２：３：４にするのは、
１＋３≠２＋４ と、２組の向かい合った三角形の面積和が異なるため不可。
反時計回りか時計回りに、面積比を１：２：４：３にするのは、
１＋４＝２＋３ と、２組の向かい合った三角形の面積和が等しいため可能。
【問題３】
● 正六角形
反時計回りか時計回りに、面積比を１：２：３：６：５：４とすると、
１＋６＝２＋５＝３＋４＝７ と、３組の向かい合った三角形の面積和が等しいため、一見【問題２】同様可能に思える。
ところが、向かい合った三角形の面積比は３組とも互いに素である。
それ故、どうしても正六角形の各対辺間を７(＝１＋６＝２＋５＝３＋４)等分しなければならない。
すると、各組６本ある３組の７等分線において、どの交点も左図のように３直線の交点とはならない。
逆に、３直線の交点にすると、今度は右図のように正六角形とはならない。
よって、条件を満たす点Ｐは存在しない。
[ 補足 ]
正２ｎ角形(ｎは３以上の整数)においては、
それ故、この２条件を満たしても、必ずしも点Ｐが存在するとは限らない。
（一例） 反時計回りか時計回りに、面積比が１：２：３：５：４：３は不可。
● 正五角形
正奇数角形となると、「向かい合った三角形の面積和がいずれも等しい。」は利用できない。
そこで、以下のようにする。
まず、任意の正五角形の中心から各頂点を通る５本の半直線を引く。
（図の青線）
次に、中心からの距離が１：２：３：４：５(順序は問題としない)である５つの点を異なる半直線上にとる。
（図の青点）
さらに、その点を通り半直線に垂直な５本の直線を引く。
（図の黒線）
すると、５角とも等しい五角形が必ず形成される。
元の正五角形の中心を点Ｐとすると、明らかに点Ｐが存在するなら形成された五角形は正五角形の筈である。
ところが、５点を５つの半直線上にどのように割り振っても正五角形は形成されない。
（五角形が１番歪にならないのは、明らかに１,３,５,４,２の並びのときなので、このときの吟味だけでも十分。）
よって、条件を満たす点Ｐは存在しない。