◆千葉県の高校生 ガウチ さんからの解答。
両辺をabc倍すると
bc+ac=ab
右辺はaの倍数なので左辺もaの倍数でなければならない。
acはaの倍数だからbcがaの倍数であるという事になる。
これはa,b,cは互いに素であることに矛盾。
よってこのようなa,b,cが存在しない事が示された。
◆大阪府 電電虫 さんからの解答。
| １ ａ |
＋ | １ ｂ |
＝ | １ ｃ |
| ａ＋ｂ ａｂ |
＝ | １ ｃ |
問題の読み間違いでしょうか?
解がないのはどうも腑に落ちないのですが…
【出題者からのコメント】
どうやら、問題に落ち度があったようです。
「ａ，ｂ，ｃが互いに素」 の部分を、「ｂ，ｃが互いに素」 と訂正させていただきます。
申し訳ございませんでした。
◆大阪府 電電虫 さんからの解答。
与式をabc倍すると
c(a+b)=ab
b,cは互いに素なので
a=kc (kは自然数)とおける。
このとき式を変形すると
c(kc+b)=kcb
kc+b=kb
kc=b(k-1)
b:c=k:(k-1)
だからb=kt、c=(k-1)t（tは自然数）
しかしb,cは互いに素なので
t=1
b=k,c=k-1
連続二整数は互いに素なので条件を満たしている。
以上より
a=n(n-1)、b=n、c=n-1
(但し n＞1 とする)