◆東京都 かえる さんからの解答。
ｎ＜３のときは明らかに ０
以下ｎ≧３で考える
求める三角形の数
⇔
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｎ かつ ｘ≧ｙ≧ｚ≧１ の整数解の数・・・（１）
ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｎ かつ ｘ，ｙ，ｚ≧１ の整数解の数は、
ｎ個の○を並べて、そのｎ−１の○と○の間に、重複を許さずに２つの仕切りを入れる場合の数だから、
| n-1Ｃ2＝ | （ｎ−１）（ｎ−２） ２ |
・・・（２） |
| ｘ＝ｙは１以上［ | ｎ−１ ２ |
］以下の全ての整数を取りうるから、 |
| ［ | ｎ−１ ２ |
］個・・・（３） |
| { | （ｎ−１）（ｎ−２） ２ |
−３・［ | ｎ−１ ２ |
］＋２}／６＋［ | ｎ−１ ２ |
］ |
| ＝ | （ｎ−１）（ｎ−２） １２ |
＋［ | ｎ−１ ２ |
］／２＋ | １ ３ |
種類 |
| （ｎ−１）（ｎ−２） １２ |
＋［ | ｎ−１ ２ |
］／２種類 ・・・【答】 |
| [n/3] z=1 | {［ | ｎ−ｚ ２ |
］−（ｚ−１）}種類 |
【感想】
６とか２０とか具体の数のときは数え上げれば簡単ですが、一般の場合を式で表そうとすると大変で すね。
◆千葉県の高校生 Playcity さんからの解答。
【自作問題】
対応する弧の長さの組み合わせのみによって三角形の形は決定するので、
「ｎ等分したときの三角形の数⇔ｎ−３を３つの０以上の整数に分ける場合の数」
が成り立つ。
ここでは、わかりやすくｎ−３個の球を３つの箱に分ける場合の数と問題を書き換えておく。
ところで、ｎ≦２のとき、三角形はできず、
３≦ｎ≦５のときは、ｎ＝６ｍ＋ｋとしたとき
ｍ＝０となってしまうので、ｎ≧６とする。
【１】ｎ＝６ｍ⇔ｎ−３＝６ｍ−３のとき
まず、３つの箱を区別（Ａ，Ｂ，Ｃとする）して考えると、
３種からｎ−３個を選ぶ重複組み合わせとなるから、このときの場合の数は
| n-3Ｈ3＝n-1Ｃ2＝ | (６ｍ−１)(６ｍ−２) ２ |
＝１８ｍ2−９ｍ＋１・・・(1) 通りである。 |
以下、これを箱を区別しない場合に変換していく。
（ア）全ての箱が同じ数にする方法は、共に１通り。
（イ）２つの箱が同じ数にする方法は、箱を区別しないときは３ｍ−２通りであり、
箱を区別するとその３倍となるから、(1)のうち９ｍ−６通りは３で割る必要がある。
（ウ）全ての箱が異なる数にする方法は、箱を区別すると箱を区別しない場合の６倍の方法があるので、
(1)のうち(1)−(ア)−(イ)通りは６で割る必要がある。
(ア)〜(ウ)より、求める場合の数は
| １＋(３ｍ−２)＋ | (１８ｍ2−９ｍ＋１)−１−(９ｍ−６) ６ |
＝３ｍ2 通りである。 |
【２】ｎ＝６ｍ＋１⇔ｎ−３＝６ｍ−２のとき
【１】と同様に考える。
箱を区別すると、
| n-3Ｈ3＝n-1Ｃ2＝ | ６ｍ(６ｍ−１) ２ |
＝１８ｍ2−３ｍ・・・(2) |
（ア）に相当する方法はない。
（イ）に相当する方法は３ｍ通りだから、(2)のうち９ｍ通りは３で割ればよい。
（ウ）に相当する方法は、(2)−(イ)通りを６で割ればよい。
以上より、求める場合の数は
| ３ｍ＋ | (１８ｍ2−３ｍ)−９ｍ ６ |
＝３ｍ2＋ｍ 通りである。 |
【３】ｎ＝６ｍ＋２⇔ｎ−３＝６ｍ−１のとき
箱を区別した場合、
| n-3Ｈ3＝n-1Ｃ2＝ | (６ｍ＋１)６ｍ ２ |
＝１８ｍ2＋３ｍ・・・(3) 通りである。 |
（ア）に相当する方法はない。
（イ）に相当する方法は３ｍ通りだから、(3)のうち９ｍ通りは３で割ればよい。
（ウ）に相当する方法は、(3)−(イ)通りを６で割ればよい。
以上より、求める場合の数は
| ３ｍ＋ | (１８ｍ2＋３ｍ)−９ｍ ６ |
＝３ｍ2＋２ｍ 通りである。 |
【４】ｎ＝６ｍ＋３⇔ｎ−３＝６ｍのとき
【１】〜【３】と同様にすると、３ｍ2＋３ｍ＋１ 通りである。
【５】ｎ＝６ｍ＋４⇔ｎ−３＝６ｍ＋１のとき
【１】〜【３】と同様にすると、３ｍ2＋４ｍ＋１ 通りである。
【６】ｎ＝６ｍ＋５⇔ｎ−３＝６ｍ＋２のとき
【１】〜【３】と同様にすると、３ｍ2＋５ｍ＋２ 通りである。
ｎ＝３，４，５のときも、上の式に当てはまる。
以上より、求める三角形の数は、
ｎ＝６ｍ＋ｋ(ｍ＝０，１，２・・・ かつ ｋ＝０，１，２，３，４，５ かつ ｎ≧３)と示したとき、