◆東京都 かえる さんからの解答。
【問題１】
△ＰＢＣ、△ＰＣＡ、△ＰＡＢの面積をそれぞれｌ、ｍ、ｎと置けば、
ＢＤ：ＤＣ＝ｎ：ｍ
ＣＥ：ＥＡ＝ｌ：ｎ
ＡＦ：ＦＢ＝ｍ：ｌ
△ＰＥＦ＝△ＰＥＡ＋△ＰＦＡ−△ＡＥＦ
| ＝ｍ・ | ｎ ｎ＋ｌ |
＋ｎ・ | ｍ ｌ＋ｍ |
−（ｌ＋ｍ＋ｎ）・ | ｍ ｌ＋ｍ |
・ | ｎ ｎ＋ｌ |
| ＝ | ｌｍｎ （ｎ＋ｌ）（ｌ＋ｍ） |
同様にして、
| △ＰＦＤ＝ | ｌｍｎ （ｌ＋ｍ）（ｍ＋ｎ） |
| △ＰＤＥ＝ | ｌｍｎ （ｍ＋ｎ）（ｎ＋ｌ） |
| ｌｍｎ （ｎ＋ｌ）（ｌ＋ｍ） | ＝５ |
| ｌｍｎ （ｌ＋ｍ）（ｍ＋ｎ） | ＝８ |
| ｌｍｎ （ｍ＋ｎ）（ｎ＋ｌ） | ＝９ |
△ＡＢＣ＝ｌ＋ｍ＋ｎ＝６０＋３０＋２０＝１１０・・・（答）
【問題２】
円Ｏ：ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 （ｒ＞０）
直線ｍ：ｙ＝ｍ （ｍ＞ｒ）
点Ｐ（ｐ，ｍ）
点Ａ：（０，±ｒ） 直線ｎ：ｙ＝±ｒ（複合同順）
と置く。
直線ＰＱ、ＰＲはｘ軸と平行でないので、
（ｘ−ｐ）＋ｔ（ｙ−ｍ）＝０・・・(1)と書ける。
これが円Ｏと接する ⇔ 原点との距離がｒ
より、点と直線の距離の公式を用いて、
| ┃−ｐ−ｔｍ┃ (１＋ｔ2)1/2 | ＝ｒ |
| ｔ＝ | −ｍｐ±ｒ(ｍ2＋ｐ2−ｒ2)1/2 ｍ2−ｒ2 | ・・・(2) |
（ア）点Ａ：（０，ｒ） 直線ｎ：ｙ＝ｒ・・・(3)の場合
(1)に(2)を代入して(3)と連立すれば、
| （Ｑ、Ｒのｘ座標）＝ | ｐｒ±ｒ(ｍ2＋ｐ2−ｒ2)1/2 ｍ＋ｒ |
| ＱＡ×ＲＡ＝−（Ｑのｘ座標）・（Ｒのｘ座標）＝ | ｒ(ｍ−ｒ) ｍ＋ｒ |
従って、ｐの値、すなわち点Ｐの位置によらず、ＱＡ×ＲＡは一定
（イ）点Ａ：（０，−ｒ） 直線ｎ：ｙ＝−ｒ・・・(4)の場合
(1)に(2)を代入して(4)と連立すれば、
| （Ｑ、Ｒのｘ座標）＝ | −ｐｒ±ｒ(ｍ2＋ｐ2−ｒ2)1/2 ｍ−ｒ |
| ＡＱ×ＡＲ＝−（Ｑのｘ座標）・（Ｒのｘ座標）＝ | ｒ(ｍ＋ｒ) ｍ−ｒ |
従って、ｐの値、すなわち点Ｐの位置によらず、ＱＡ×ＲＡは一定
以上より、題意は示された。